книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Содержание 13

11.1. Частотные характеристики непериодических сигналов . . . . . . . . . . . 507

11.2. Расчет переходных процессов при помощи частотных характеристик сигналов и электрических цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

12.1. Переходные и импульсные характеристики электрических цепей. . . . 510

12.2. Расчет переходных процессов в цепях при помощи интеграла Дюамеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

12.3. Расчет переходных процессов в цепях при действии последовательности импульсов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

13.1. Уравнения и системы параметров четырехполюсников . . . . . . . . . . . 516 13.2. Схемы, эквивалентные четырехполюснику. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 13.3. Экспериментальное определение параметров четырехполюсника . . . 521 13.4. Соединение четырехполюсников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 13.5. Передаточные функции четырехполюсников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 13.6. Обратные связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 14.1. Характеристические параметры четырехполюсника . . . . . . . . . . . . . . 530 14.2. Электрические фильтры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 14.3. Электрические фильтры нижних частот типов k è m . . . . . . . . . . . . . 534 14.4. Электрические фильтры нижних частот. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 14.5. Устойчивость в электрических цепях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 15.1. Синтез двухполюсников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 15.2. Синтез четырехполюсников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 17.1. Расчет установившихся режимов длинной линии . . . . . . . . . . . . . . . . 541 17.2. Неискажающая длинная линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 17.3. Режимы холостого хода и короткого замыкания длинной линии . . . . . 543 18.1. Переходные процессы в одной длинной линии . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 18.2. Переходные процессы при соединении нескольких длинных линий . . 545 18.3. Отражение волн от конца длинной линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 19.1. Параметры элементов нелинейных электрических цепей . . . . . . . . . . 552 19.2. Транзистор как элемент электрической цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 19.3. Нелинейные свойства ферромагнитных материалов . . . . . . . . . . . . . 555 19.4. Аппроксимация нелинейных характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

20.1. Последовательное, параллельное и смешанное соединение нелинейных элементов электрических цепей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

20.2. Методы расчета нелинейных электрических цепей . . . . . . . . . . . . . . 558

14 Содержание

20.3. Нелинейные магнитные цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

21.1. Формы кривых тока и напряжения в нелинейных цепях. Метод эквивалентных синусоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

21.2. Катушка и трансформатор с ферромагнитным сердечником.

Явление феррорезонанса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

21.3. Методы гармонического баланса и кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

22.1. Устойчивость состояния равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 22.2. Автоколебания в нелинейных электрических цепях . . . . . . . . . . . . . . 561 22.3. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях . . . . . . . . . . . . . . 562 22.4. Метод фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 Алфавитный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

О структуре учебника

Курс «Теоретические основы электротехники» включает в себя четыре части. Первая, сравнительно короткая, именуемая «Основные понятия и законы теории электромагнитного поля и теории электрических и магнитных цепей», содержит обобщения понятий и законов из области электромагнитных явлений

èразвитие формулировок и определений основных понятий и законов теории электрических и магнитных цепей. Эта часть, связывая курсы физики и теорети- ческих основ электротехники, одновременно формирует у читателя правильные физические представления о процессах, происходящих в электрических и магнитных цепях и в электромагнитных полях. Она помогает также глубже понять излагаемые в последующих частях курса математические формулировки и методы решения задач.

Вторая и наибольшая по объему часть курса, именуемая «Теория линейных электрических цепей», содержит последовательное изложение этой теории, сопровождаемое значительным количеством примеров. Здесь излагаются основные свойства линейных электрических цепей и различные подходы к расчету установившихся и переходных процессов в таких цепях. Основное внимание уделяется методам анализа, позволяющим рассчитывать характеристики электромагнитных процессов в электрических цепях, структура и параметры которых известны. Вместе с тем, рассмотрены также и основные подходы к задачам синтеза и диагностики цепей, актуальность которых растет в настоящее время. Применение методов этих разделов учебника позволяет создавать электриче- ские цепи с наперед заданными свойствами, а также определять параметры или диагностировать состояние реальных устройств.

Третья часть курса называется «Теория нелинейных электрических и магнитных цепей». В ней излагаются свойства нелинейных электрических и магнитных цепей и методы расчета происходящих в них процессов. Параметры нелинейных цепей зависят от тока, напряжения или магнитного потока, и это приводит к существенному усложнению математических моделей нелинейных элементов

èметодов анализа процессов в нелинейных цепях. Вместе с тем эти вопросы имеют большое значение в связи с широким использованием элементов цепей с нелинейными характеристиками в современных устройствах.

Последняя, четвертая, часть — «Теория электромагнитного поля». Многие электротехнические проблемы не могут быть полностью рассмотрены при помощи теории цепей и должны решаться с привлечением методов теории электромагнитного поля. Прежде всего, эти методы необходимы для расчета важнейших электромагнитных параметров электротехнических устройств, таких индуктивность, емкость, сопротивление, чем, однако, далеко не исчерпывается область их применения. Без использования современных методов теории электромагнитного поля невозможно рассмотрение вопросов излучения и распространения в пространстве электромагнитных волн, потерь в мощных энергетических устройствах, создания и использования устройств с высокой напряженностью электри- ческого или магнитного полей и т. п.

16 О структуре учебника

Наличие в учебнике первой части «Основные понятия и законы теории электромагнитного поля и теории электрических и магнитных цепей», дает возможность начать рассмотрение теории электромагнитного поля с общих уравнений, что позволяет подробно рассмотреть подходы к решению задач теории электромагнитного поля и примеры их решения в рамках ограниченного объема учебника.

В учебнике принята сквозная нумерация глав. В первый том учебника входит часть 1 «Основные понятия и законы теории электромагнитного поля и теории электрических и магнитных цепей» (главы 1–3) и начало части 2 «Теория линейных электрических цепей» (главы 3–8), во второй том — окончание части 2 «Теория линейных электрических цепей» (главы 9–18), а также часть 3 «Теория нелинейных электрических цепей» (главы 19–22), в третий том — часть 4 «Теория электромагнитного поля» (главы 23–30). Четвертый том содержит вопросы, упражнения и задачи по всем частям курса, а также набор расчетных заданий по всему курсу с методическими указаниями для их выполнения. В нем приведены также ответы на вопросы, решения упражнений и задач.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Глава девятая

Расчет переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами классическим методом

9.1. О переходных процессах в линейных электрических цепях

П е р е х о д н ы м называется п р о ц е с с, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. При установившихся режимах токи и напряжения в цепи теоретически могут существовать неограниченно долго, не изменяя своего характера, и при заданных конфигурации цепи и ее параметрах определяются только видом действующих в цепи ЭДС или, соответственно, видом заданных токов источников токов. Если в цепи действуют постоянные во времени ЭДС, то в установившемся режиме токи и напряжения во всех участках цепи должны быть также постоянными во времени. Когда ЭДС источников изменяются во времени по закону синуса с одной и той же частотой, то и токи, и напряжения в цепи в установившемся режиме должны быть синусоидальными функциями времени той же частоты. Если действующие в цепи ЭДС несинусоидальны, но изменяются периодически во времени с одним и тем же периодом, то токи и напряжения должны быть периодическими функциями времени с тем же периодом. Этими тремя видами ЭДС и токов исчерпывается перечень случаев установившихся режимов в цепи, причем постоянные и синусоидальные ЭДС и токи можно рассматривать как частные случаи периоди- ческих токов и ЭДС.

Отыскание токов и напряжений в установившемся режиме сводится к нахождению частных решений дифференциальных уравнений цепи. Способы нахождения этих частных решений были рассмотрены в главах 4, 5 и 8.

Для отыскания токов i(t) и напряжений u(t) в переходном процессе необходимо найти полные решения дифференциальных уравнений цепи. Как известно, полное решение i(t) линейного уравнения получается как сумма частного реше-

18 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

íèÿ i t) неоднородного уравнения, т. е. уравнения, содержащего заданные ЭДС или заданные напряжения, и решения i (t) однородного уравнения, которое получается из того же уравнения цепи, если принять в нем заданные ЭДС или напряжения равными нулю, т. е.

i(t) i (t) i (t).

Ïðè t òîê i t) стремится к нулю, так как процесс в цепи, обладающей конечным сопротивлением, должен затухать при отсутствии в цепи источников ЭДС. Поэтому ток i t) называют с в о б о д н ы м т о к о м, так как он определяется из уравнений при отсутствии источников ЭДС.

Свободный ток возникает вследствие того, что при включении или выключе- нии цепи или любом другом внезапном изменении в ней имеющиеся запасы энергии в полях цепи от предыдущего установившегося режима не соответствуют запасам энергии в полях, которые должны были бы быть в новом установившемся режиме после происшедших изменений в цепи.

Так как свободный ток i (t) стремится к нулю, то ток i(t) стремится к i (t). Следовательно, частное решение i t) является т о к о м у с т а н о в и в ш е г о с я р e ж и м а, который устанавливается после происшедших изменений в цепи.

9.2. Общий путь расчета переходных процессов в линейных электрических цепях

Общий путь расчета переходных процессов в любой сколь угодно сложной линейной электрической цепи заключается в следующем. Составляем дифференциальные уравнения цепи согласно первому и второму законам Кирхгофа. Если заданными являются ЭДС источников, то неизвестными будут токи во всех p ветвях цепи. Пусть желаем найти ток ik â k-й ветви. Исключая последовательно все остальные токи, получим одно дифференциальное уравнение, содержащее только ток ik и его производные до порядка n:

a

d n i

k

a

d n 1i

k

a

d 2 i

k

a

di

k

a i

f

(t),

n dtn

n 1 dtn 1

2 dt2

k

1 dt

0

k

ò. å.

n

d

s

ik

as

fk (t).

dts

s 0

Порядок n уравнения определяется конфигурацией цепи и характером ее эле-

ментов. Свободный член fk(t) содержит в себе заданные ЭДС.
Полный интеграл этого уравнения равен сумме частного решения i							, опреде-
						k
ляемого видом функции f	(t), и полного решения i однородного уравнения:
k						k
n		d s i	0, ò. å. i		i	i .
	a	k
				k
s		dts			k	k
s 0

Для определения i находим n корней характеристического уравнения:

k

n

an n an 1 n 1 as s a1 a0 as s 0.

s 0

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 19

В случае если все корни простые, имеем

e 1t

e 2t A

e n t

n

e s t ,

i A

k1

A

k 2

kn

A

ks

k

s 1

и, следовательно, искомое решение имеет вид

n

s t .

i

k

i

A

ks

e

k

s 1

Здесь Aks — произвольные постоянные интегрирования. Они определяются из физических начальных условий, о чем будет сказано в следующем параграфе.

В случае наличия кратных корней характеристического уравнения приведенное выше выражение для ik после определения всех величин Aks из начальных условий будет содержать неопределенности, раскрывая которые, получим выражение ik для этого случая.

Изложенный метод часто называют классическим.

Выше было сказано, что дифференциальные уравнения цепи составляются по первому и второму законам Кирхгофа, при этом общее число уравнений равно числу ветвей цепи. Можно составлять дифференциальные уравнения для контурных токов, и тогда число уравнений будет равно числу независимых контуров цепи, или же для узловых напряжений, и тогда число уравнений будет равно числу узлов цепи без единицы.

9.3. Метод переменных состояния

Другой путь расчета переходных процессов заключается в выделении таких искомых величин, которые определяют энергетическое состояние электрической цепи, так как переходный процесс и есть процесс смены одного установившегося энергетического состояния другим. Энергетическое состояние в линейных электрических цепях полностью определяется токами индуктивных катушек è напряжениями конденсаторов, поэтому естественно выбирать их в качестве величин, определяющих состояние цепи. Будем называть эти величины п е р е - м е н н ы м и с о с т о я н и я. Токи и напряжения резистивных элементов электрической схемы всегда могут быть выражены через переменные состояния при помощи составления и решения системы уравнений согласно законам Кирхгофа. Для этого достаточно рассмотреть некую новую цепь, где все индуктивности представлены источниками тока, а емкости — источниками ЭДС.

Уравнения электрической цепи становятся дифференциальными благодаря тому, что токи в конденсаторах выражаются через производные зарядов, а напряжения индуктивных катушек — через производные потокосцеплений. Если к узлу, для которого записывается уравнение согласно первому закону Кирхгофа, подходит только одна ветвь с конденсатором, то это уравнение будет дифференциальным уравнением первого порядка. Если в контур, для которого записывается уравнение согласно второму закону Кирхгофа, войдет только одна индуктивная катушка, то оно также будет дифференциальным уравнением первого порядка. Такие условия можно обеспечить, если отнести все ветви с конденсаторами к ветвям дерева, а ветви с индуктивными катушками — к связям. Посколь-

20 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

ку ветвь дерева определяет сечение в графе схемы, для которого составляется баланс токов согласно первому закону Кирхгофа, то все уравнения сечений, определяемые ветвями дерева с конденсаторами, окажутся дифференциальными уравнениями первого порядка. Если ветвь дерева содержит резистор, то уравнение будет алгебраическим. Поскольку связи определяют контуры, то уравнения для напряжений в контурах согласно второму закону Кирхгофа при наличии в связях индуктивных катушек окажутся дифференциальными уравнениями первого порядка. Если связь содержит резистивный элемент, то уравнение будет алгебраическим. Исключив алгебраические уравнения путем их решения через переменные состояния, можно получить систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния. Обозначим переменные состояния буквами x1, x2,.., xn. Тогда транспонированная матрица-столбец переменных состояния будет Xt x1, x2,.., xn . В матричной форме система дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в виде

dtd X A1X B1V.

Квадратная матрица A1 порядка n определяется топологией электрической цепи и параметрами ее элементов. Столбцовая матрица V порядка p 1 определяется источниками ЭДС и токов в ветвях схемы, ее впредь будем называть в е к т о р о м в х о д н ы х в е л и ч и н. Прямоугольная матрица B1 порядка n p определяет вклад входных величин в баланс токов или напряжений.

Токи и напряжения на всех интересующих нас элементах и участках электри- ческой цепи могут быть выражены через переменные состояния. Обозначим систему интересующих нас величин буквой Y и назовем ее вектором в ы х о д - н ы х в е л и ч и н. Связь выходных величин, переменных состояния и входных величин в матричной форме может быть записана в виде

Y A2 X B 2 V.

Формально решение матричного дифференциального уравнения можно записать так:

t

X t [exp(A1t)]X0 [exp(A1(t B1V( ) d ,

0

ãäå exp (A1t) eA1t , X0 — матрица-столбец начальных значений переменных состояния.

Основная трудность этого подхода заключается в определении exp (A1t). Для вычисления этой величины может быть использована формула Сильвестра, согласно которой

			n
		n	(A1 i	1)
e	A1t		i 1, i r		e	r t	,
			n
		r 1	( r i )

i 1, i r

Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 21

ãäå i — корни характеристического уравнения det (A1 — 1) 0, они же — собственные значения матрицы A1; 1 — диагональная единичная матрица порядка n.

Изложенный метод расчета переходных процессов называется м е т о д о м п е р е м е н н ы х с о с т о я н и я, а совокупность системы дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния и уравнения для выходных величин — у р а в н е н и я м и с о с т о я н и я.

Заметим, что и в методе переменных состояния необходимо определять корни характеристического уравнения путем вычисления собственных значений матрицы A1. Вычисление собственных значений матриц также является трудоемкой процедурой и для сложных цепей должно быть выполнено при помощи ЭВМ. Но даже современные ЭВМ не позволяют решать эту задачу для очень сложных цепей, когда n больше нескольких тысяч. Однако важным является то обстоятельство, что относительно переменных состояния можно сформировать систему дифференциальных уравнений первого порядка и для численного решения такой системы непосредственно использовать стандартное математическое обеспечение цифровых вычислительных машин.

Итак, метод переменных состояния для определенного круга задач позволяет решить систему уравнений в более компактной и общей форме, формализуя весь процесс решения таким образом. что оказывается возможным получить это решение при помощи ЭВМ.

9.4. Определение постоянных интегрирования из начальных условий

Будем называть коммутацией любое изменение в цепи, приводящее к возникновению переходного процесса или изменению режима ее работы; причем будем предполагать, что это изменение происходит мгновенно, т. е. совершается за интервал времени t 0. Это может быть включение цепи под действие источника ЭДС или отключение цепи от источника, замыкание цепи накоротко, скачкообразное изменение параметра цепи, изменение скачком амплитуды, частоты или фазы приложенного к цепи напряжения и т. д. Реальный процесс коммутации всегда длится конечное, хотя и весьма малое время t, в течение которого происходит изменение сопротивления выключателя от бесконечности до нуля при включении цепи и от нуля до бесконечности при отключении цепи или происходит изменение параметра цепи, амплитуды напряжения и т. д. Однако, не интересуясь процессом в течение этого времени t, а рассматривая лишь процесс после того, как коммутация закончена, т. е. абстрагируясь от действительной картины явления, будем полагать t 0. Условимся далее начало отсчета времени t 0 совмещать с моментом коммутации и обозначать через t –0 момент времени, непосредственно прилегающий к моменту коммутации, до коммутации, и через t +0 момент времени, также непосредственно прилегающий к моменту коммутации, но после коммутации.

В любой электрической цепи, в которой не могут развиваться бесконечно большие напряжения или протекать бесконечно большие токи, мгновенная мощность p — величина всегда конечная, и поэтому в таких цепях не может быть мгно-

22 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

венного изменения накопленной в электрических и магнитных полях энергии. Если изменение энергии во время коммутации за время t 0 обозначимW W(+0) – W(–0), то получим W p t 0 и, следовательно, W (+0) W(– 0).

Так как энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля индуктивной катушки равны

W	ý	Cu2 2 è W		ì	Li2 2,
		C			L
то равенство W 0 означает, что в момент коммутации имеются условия
uC ( 0) uC ( 0) è			iL ( 0) iL ( 0),

ò. å. в момент коммутации остаются неизменными напряжения на обкладках конденсаторов и токи в индуктивных катушках.

Так как в реальных физических цепях каждый элемент обладает и индуктивностью, и емкостью, то в них не могут скачком изменяться ни токи, ни напряжения. Однако если, абстрагируясь от действительности, пренебречь распределенной емкостью катушки, то получим, что напряжение на катушке может изменяться скачком. Точно так же, если полностью пренебречь индуктивностью конденсатора, то в нем ток может изменяться скачком.

Наконец, если в результате идеализации процессов теоретически окажется возможным появление длящихся бесконечно малое время бесконечно больших напряжений на последовательно включенных отдельных индуктивных участках цепи, хотя суммарное напряжение и остается конечным, или окажется возможным появление длящихся бесконечно малое время бесконечно больших токов в отдельных емкостных параллельно включенных ветвях цепи, хотя суммарный ток во всех ветвях и остается конечным, то условие W 0, вообще говоря, не будет иметь места, так как при этом величина p t 0 становится неопределенной. Эти особые случаи рассмотрим в § 9.11.

Если до коммутации к моменту t –0 существовали токи в катушках и напряжения на конденсаторах, определяемые процессом, происходившим до коммутации, то говорят, что имеют место н е н у л е в ы е н а ч а л ь н ы е у с л о в и я. В случае же, когда токи в катушках и напряжения на конденсаторах до коммутации были равны нулю, принято говорить, что имеют место н у л е в ы е н а - ч а л ь н ы е у с л о в и я.

Рассмотренные выше начальные условия

uC ( 0) uC ( 0) è iL ( 0) iL ( 0)

и служат для определения произвольных постоянных интегрирования Aks. С этой целью находим начальные значения тока ik и всех его производных до (n – 1)-й включительно, используя уравнения цепи и подставляя в них заданные начальные значения напряжений на конденсаторах и токов в катушках.

Имея решения для тока ik в форме

			n		e s t
i	k	i	A	ks
		k
			s 1