книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ

Глава девятнадцатая

Элементы нелинейных электрических цепей, их характеристики и параметры

19.1. Особые свойства нелинейных электрических цепей

Нелинейными электрическими цепями являются цепи, параметры которых зависят от тока и напряжения. Как отмечалось в § 3.5, т. I, строго говоря, все электрические цепи нелинейны. Однако во многих практических случаях эта нелинейность столь слабо выражена, что при анализе процессов в цепи ею можно пренебречь. Это дает возможность развить теорию линейных электрических цепей переменного тока, изложенную в предыдущей части, и с успехом применять ее для расчета многих электротехнических устройств.

Однако существуют элементы цепи, нелинейность характеристик которых выражена весьма резко. Цепи, содержащие такие элементы, именуемые нелинейными цепями, обладают рядом новых свойств, которые отсутствуют у линейных цепей. Эти свойства позволяют создать основанные на них автоматиче- ские системы управления и регулирования, устройства для преобразования электромагнитной энергии, устройства для производства электрических измерений и передачи информации, быстродействующие вычислительные машины и т. д.

Использование несимметричных нелинейных элементов, обладающих при одном направлении тока малым сопротивлением и при другом направлении тока большим сопротивлением, например кенотронов, ртутных и полупроводниковых вентилей, газотронов, дает возможность осуществить выпрямление переменного тока, т. е. преобразование переменного тока в постоянный ток.

Исключительное значение имеет возможность создания управляемых нелинейных элементов, например трехэлектродных электронных ламп, тиратронов с управляющей сеткой, трехэлектродных полупроводниковых приборов и т. п., имеющих, кроме двух главных электродов, между которыми проходит основной

324 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

ток, еще дополнительный, управляющий электрод. Используя такие нелинейные элементы, получаем возможность осуществить преобразование постоянного тока в переменный ток, усиление переменного тока, преобразование частоты переменного тока.

Наличие в цепи нелинейного элемента приводит к тому, что при синусоидальном напряжении на зажимах цепи ток в ней при установившемся режиме изменяется по периодическому, но несинусоидальному закону. И наоборот, при синусоидальном токе в цепи напряжение на ее зажимах оказывается несинусоидальным. Это свойство нелинейных цепей переменного тока позволяет осуществить преобразование частоты переменного тока.

Своеобразные явления, называемые иногда явлениями феррорезонанса, возникают в цепи переменного тока, содержащей конденсаторы и индуктивные катушки с нелинейными характеристиками. На этой основе осуществляются стабилизаторы напряжения или тока.

Весьма важным обстоятельством, как увидим дальше, является возможность неустойчивых состояний в нелинейных цепях, которые при соответствующих условиях приводят к возбуждению незатухающих колебаний в этих цепях. Устойчивость возникающих в цепи периодических процессов, т. е. ограничение амплитуды колебаний, в свою очередь, определяется нелинейностью характеристик элементов, входящих в состав цепи. Важными примерами таких колебательных систем являются ламповые генераторы, а также генераторы релаксационных колебаний.

Теоретическое исследование процессов в нелинейных электрических цепях оказывается много сложнее исследования процессов в линейных цепях. Процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями, которые составляются на основе первого и второго законов Кирхгофа.

Для аналитического решения этих уравнений необходимо выразить аналитически характеристики всех нелинейных элементов цепи. При этом большей частью оказывается, что можно выбрать различные аналитические выражения, приближенно изображающие характеристики элементов. От удачного выбора приближенных аналитических выражений характеристик зависит возможность аналитического решения задачи.

Для анализа процессов в нелинейных цепях с успехом могут быть применены графический или графоаналитический методы. Эти методы могут дать более точный результат, так как в них используются действительные характеристики нелинейных элементов, заданные графически в виде кривых. Однако такие методы не дают возможности получить общие связи, позволяющие анализировать изменение характера процессов в цепи при изменении ее параметров.

Большое значение имеют приближенные методы, дающие возможность получить решения для тех или иных конкретных устройств с нелинейными элементами. Для решения нелинейных задач в области теории электрических цепей широко используются современные электронные вычислительные машины.

Глава 19. Элементы нелинейных электрических цепей, их характеристики и параметры

325

19.2. Элементы электрической цепи с нелинейными сопротивлениями, их параметры и характеристики

При действии в цепи постоянных ЭДС значение постоянного тока в ней определяется сопротивлениями r и проводимостями g участков цепи. Поэтому, рассматривая нелинейные элементы в цепи постоянного тока, в первую очередь будем интересоваться их сопротивлениями и проводимостями. Наличие индуктивностей и емкостей, как увидим дальше, имеет существенное значение для решения вопроса об устойчивости режима в такой цепи. Но и в цепи переменного тока для многих нелинейных элементов основное значение имеют их сопротивление и проводимость, а учет их индуктивности и емкости в определенном диапазоне частот имеет лишь второстепенное значение. В связи с этим в настоящем параграфе рассмотрим такие нелинейные элементы и их характеристики, у которых основными параметрами являются сопротивление и проводимость.

Будем называть зависимость напряжения на зажимах элемента с сопротивлением от тока в нем u f(i), а также обратную зависимость i !(u) х а р а к т е р и - с т и к а м и э л е м е н т а . Такие характеристики часто называют вольт-амперны- ми характеристиками (ВАХ). Одно из существенных своеобразий нелинейных цепей заключается в том, что вольт-амперные характеристики элементов могут неоднозначно отображать взаимные связи между токами и напряжениями. Так, например, ВАХ, которая имеет аналитическое выражение в виде u ai2, для любого заданного тока в элементе однозначно оïðåделяет напряжение на зажимах элемента. В то же время из выражения i ua следует, что для любого поло-

жительного напряжения ток имеет два значения. Более того, для u < 0 физиче- ски приемлемое решение в виде вещественных значений тока вообще отсутствует. Заметим, что нелинейный элемент с такой ВАХ не может быть пассивным. Действительно, при i < 0 имеем p ui ai3 < 0, и поэтому такой элемент для токов i < 0 является источником энергии.

Ðèñ. 19.1

С точки зрения однозначного и неоднозначного взаимного отображения токов и напряжений ВАХ можно разделить на следующие виды:

1. Монотонная ВАХ, для которой заданные в интервале – i токи в каждой точке характеристики однозначно определяют напряжения и в этом же интервале напряжения однозначно определяют токи (рис. 19.1, à). Частным случаем монотонной ВАХ является характеристика линейного элемента (на рис. 19.1, à штриховая линия).

326 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

2. Управляемая током ВАХ, для которой заданные в интервале – i токи в каждой точке характеристики однозначно определяют напряжения, но при заданном напряжении токи определяются неоднозначно (рис. 19.1, á). Обозна- чим такие ВАХ u f(i) èëè u R(i).

3. Управляемая напряжением ВАХ, для которой заданные в интервале – u напряжения в каждой точке характеристики однозначно определяют токи, но при заданном токе напряжения определяются неоднозначно (рис. 19.1, â). Обозначим такие ВАХ i !(u) èëè i G(u).

4. Неуправляемая ВАХ, для которой характерна многозначность и тока, и напряжения (рис. 19.1, ã).

Вольтамперные характеристики могут быть заданы в виде графиков, таблиц и аналитических выражений. Наиболее полное описание ВАХ можно осуществить в виде аналитических зависимостей, так как и графическая и табличная формы задания ВАХ недостаточно точны и имеют ограниченный диапазон изменения u è i. Привлекательность графического и табличного представлений заключается в том, что результаты экспериментальных исследований вольт-ам- перных характеристик наиболее просто оформить в виде графиков и таблиц.

С т а т и ч е с к и м и называют характеристики, в которых каждая точка дает значения постоянного напряжения при соответствующем значении постоянного тока. Из них определяются с т а т и ч е с к о е с о п р о т и в л е н и е и с т а т и ч е - с к а я п р о в о д и м о с т ь нелинейного элемента:

r	u	f		(i)	è g			i	F (i).
			1			ñò
ñò	i							u	1

Д и н а м и ч е с к и м и называют характеристики, дающие связь между напряжением и током при достаточно быстрых изменениях тока. Они могут отли- чаться от статических характеристик, например, вследствие тепловой инерции

èдругих причин. Из них определяются д и н а м и ч е с к и е с о п р о т и в л е н и е

èп р о в о д и м о с т ь нелинейного элемента:

r lim

u

du

f

(i) è

g

lim

i

di

F

(i).

2

ä

2

ä

i 0

i di

u 0

u

du

При достаточно медленном изменении напряжения и тока динамические характеристики совпадают со статическими. Определенные из статических характеристик сопротивления и проводимости в виде производных du/di èëè di/du называют д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и. Обозначим их через rd è gd.

Для общности всегда будем говорить о динамических параметрах rä è gä, имея в виду, что при весьма медленных изменениях тока они совпадают с дифференциальными параметрами, т. е. rä rd è gä gd.

Имеют место очевидные соотношения

rñò gñò 1 è

rä gä 1,

но для нелинейных элементов, за исключением отдельных точек характеристик,

rñò rä è gñò gä.

Глава 19. Элементы нелинейных электрических цепей, их характеристики и параметры

327

Ðèñ. 19.2

Статическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона луча, проведенного из начала координат в данную точку характеристики (рис. 19.2):

rñò k tg .

Динамическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона касательной в данной точке характеристики:

rä k tg Π.

Ïðè ýòîì k v/a, ãäå v è à — масштабы напряжения и тока. Соответственно,

g			1	ctg ;	g			1	ctg Π.
	ñò					ä
			k					k

Все эти параметры изменяются при переходе от одной точки характеристики к другой. Для так называемых пассивных элементов, т. е. не содержащих источников энергии, всегда rñò > 0 è gñò > 0, íî rä è gä положительны, только когда данная точка характеристики лежит на ее восходящей части (рис. 19.2, à), и отрицательны, если данная точка лежит на падающей части характеристики (рис. 19.2, á).

19.3. Симметричные и несимметричные характеристики элементов с нелинейными сопротивлениями

По виду характеристики u f(i) различают симметричные и несимметричные элементы. У симметричных элементов характеристика изображается симметричной относительно осей кривой, т. е. сопротивление таких элементов зависит от тока одинаково для обоих направлений тока в элементе. Несимметричные элементы обладают несимметричной характеристикой, их сопротивление по-раз- ному зависит от тока при разных направлениях тока в элементе.

К симметричным элементам относятся, например, лампы накаливания и терморезисторы, тиритовые элементы, бареттеры, лампы с тлеющим разрядом, электрическая дуга между одинаковыми электродами.

Лампы накаливания работают при высокой температуре, и вследствие зависимости сопротивления нити накала от температуры сопротивление лампы при номинальном токе существенно отличается от ее сопротивления в холодном состоянии, т. е. при токах, которые много меньше номинального. На рис. 19.3 представлены характеристика лампы с вольфрамовой нитью (кривая 1), температурный коэффициент сопротивления которой положителен, и характеристика лампы с угольной нитью (кривая 2), имеющей отрицательный температурный коэффициент сопротивления.

328Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

Ñнелинейностью осветительной нагрузки электрических сетей приходится особенно считаться при исследовании таких вопросов, как влияние характери-

стик приемника на нагрузку генераторов при аварийных процессах, сопровождаемых обычно резкими колебаниями напряжения на приемниках.

На принципе зависимости сопротивления от температуры специально создаются так называемые терморезисторы, имеющие обычно характеристику типа 2 на рис. 19.3. Они используются в приборах и аппаратах для компенсации изменения их сопротивления с изменением температуры, для измерения и для автоматического регулирования температуры, в реле с выдержкой времени и т. д. Выполняют также терморезисторы из полупроводникового материала, именуемые термисторами, обладающие

Ðèñ. 19.3	характеристикой, представленной на рис. 19.4,

значительная часть которой имеет падающий характер. Одна из конструкций термистора представляет собой шарик из смеси окислов металлов (окиси никеля, магния и др.) с добавкой тонкоизмельченного медного порошка для увеличе-

ния проводимости. Через этот шарик соединены две про-

волочки из иридиевой платины, служащие для подвода

тока. Все это устройство заключено в защитную стеклян-

ную оболочку. Такие термисторы применяются для элек-

трических измерений в технике высокой частоты.

В технике высокого напряжения находят применение

тиритовые нелинейные элементы, выполненные из кера-

мического материала — тирита. Связь между током и на-

пряжением для них можно выразить в виде | i | = A| u |n, ãäå

ï 3,5, причем характеристика является симметричной.

Следовательно, статическая и динамическая проводимо-

Ðèñ. 19.4

сти их имеют выражения

g

ñò

i

i

A

u

n 1 A

u

2,5 ;

u

u

g

ä

di

d

An

u

n 1 An

u

2,5 ,

i

d

du

u

т. е. проводимость возрастает с увеличением напряжения. Такая зависимость проводимости тиритовых элементов от напряжения дает возможность использовать их для защиты установок высокого напряжения — электрических станции, подстанций, трансформаторов и т. д. — от перенапряжений. Осуществляют так называемые тиритовые разрядники, представляющие собой столб T из тиритовых дисков, включаемые через искровой промежуток a параллельно с защищае-

Глава 19. Элементы нелинейных электрических цепей, их характеристики и параметры

329

мой установкой N обычно между проводом линии переменного тока высокого напряжения и землей (рис. 19.5).

При номинальном напряжении искровой промежуток не пробит и через разрядник ток не проходит. При повышении напряжения в линии выше номинального искровой промежуток пробивается и через тиритовый столб проходит большой ток, так как с повышением напряжения сопротивление разрядника резко падает. В итоге линия разряжается через тиритовый разрядник и напряжение на ней падает. При уменьшении напряжения сопротивление разрядника возрастает и ток через него резко падает. Резкое уменьшение тока приводит к прекращению газового разряда в искровом промежутке, а следовательно, к полному прекращению тока в цепи разрядника. На рис. 19.6 приведена примерная характеристика тиритовых дисков, используемых для разрядников. При увеличении напряжения в два раза по сравнению с номинальным ток увеличивается примерно в 10 раз.

Ðèñ. 19.5

Ðèñ. 19.6

Ðèñ. 19.7

Весьма большое практическое применение имеет электрическая дуга, являющаяся нелинейным элементом электрической цепи.

Явление, называемое электрической дугой, открыто профессором В. В. Петровым в 1802 г. На рис. 19.7 схематически изображена электрическая дуга между угольными электродами, горящая в воздухе при атмосферном давлении и питаемая от источника ЭДС. Активная часть K катода, излучающая электроны, имеет температуру 2700–3150 °С. Часть À анода, бомбардируемая электронами и имеющая обычно вогнутую форму, называется к р а т е р о м электрической дуги. Температура кратера достигает 3500–3900 °С. Между активной частью катода и кратером располагается сама дуга D, температура которой достигает 4800 °С. Газы и пары в занятом ею пространстве находятся в ионизированном состоянии. Таким образом, электрические заряды переносятся в дуге как электронами, так и ионами, но в основном ток определяется потоком электронов. Собственно дуга окружена ореолом B — оболочкой, в которой происходит сгорание паров и частиц угля, а также образование продуктов горения воздуха, т. е. окислов азота.

Академик В. Ф. Миткевич в 1902–1905 гг. произвел ряд исследований электрической дуги, в которых он установил общие условия горения дуги, а также показал, что основными носителями тока в дуге являются электроны. Из опытов, поставленных В. Ф. Миткевичем, следует, что основным условием образования и существования электрической дуги является эмиссия электронов из катода. При термоэлектронной эмиссии (случай, исследованный В. Ф. Миткеви-

330 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

чем) необходима как обязательное условие горения дуги высокая температура катода. Высокая температура анода имеет второстепенное значение. Во время дальнейших исследований установлено, что в том случае, когда созданы условия для достаточно мощной автоэлектронной эмиссии из катода, возможно существование дуги и при холодном катоде. Таким образом, основным условием возникновения электрической дуги является достаточно мощная эмиссия электронов из катода.

Электрическая дуга находит применение в ряде областей электротехники. Изобретение в 1876 г. П. Н. Яблочковым его знаменитой электрической свечи положило начало широкому использованию электричества для освещения. В настоящее время как источник света электрическая дуга используется в прожекторах и проекционных аппаратах. В металлургии мощные дуги применяются в так называемых дуговых электрических печах. Весьма распространен метод электросварки электрической дугой, в своей основе данный Н. Г. Славяновым и Н. Н. Бенардосом. В химической промышленности дуга используется для фиксации атмосферного азота. Широко применяется электрическая дуга в приборах, служащих для выпрямления переменного тока.

Электрическая дуга имеет ярко выраженную нелинейную характеристику. С увеличением тока i падение напряжения u в дуге уменьшается, т. е. дуга имеет падающую характеристику (рис. 19.8). При одинаковых электродах характеристика дуги симметрична (рис. 19.9).

Для некоторых элементов при переменном тока зависимость u f(i) при увеличении тока не совпадает с зависимостью u f(i) при уменьшении тока. Так, на рис. 19.10 изображена характеристика электрической дуги между одинаковыми электродами при периодическом переменном токе. Напряжение u между электродами при возрастающем токе больше напряжения при убывающем токе, так как при увеличении тока процесс идет от менее ионизированного состояния и от меньших температур, чем при его убывании. Характеристики таких элементов зависят от частоты переменного тока.

Ðèñ. 19.8

Ðèñ. 19.9

Ðèñ. 19.10

К несимметричным нелинейным элементам относятся, например, электриче- ская дуга при неоднородных электродах, лампа с тлеющим разрядом при неодинаковых по форме электродах, ртутный вентиль, кенотрон, газотрон, полупроводниковый вентиль.

Ðèñ. 19.11

Глава 19. Элементы нелинейных электрических цепей, их характеристики и параметры

331

То обстоятельство, что основным носителем тока в электрической дуге является мощный поток электронов — частиц с отрицательным зарядом — и что для существования дуги необходима мощная эмиссия электронов из катода — отрицательного электрода, — приводит к заключению, что при разнородных электродах характеристика дуги должна быть несимметричной. Наиболее резко несимметрия проявляется, если один из электродов поставлен в условия, при которых из него возникает мощная эмиссия электронов, а другой электрод находится в условиях, при которых сколько-нибудь заметная эмиссия электронов из него невозможна. Например, один электрод нагрет до высокой температуры, достаточной для мощной термоэлектронной эмиссии, а другой искусственно поддерживается холодным, или у одного электрода могут образовываться высокие напряженности поля, достаточные для мощной автоэлектронной эмиссии, а у поверхности другого электрода такие напряженности поля не могут возникать. При таких условиях устройство проводит ток только в одном направлении и может служить для выпрямления переменного тока.

Весьма важным представителем таких устройств является ртутный вентиль, представляющий собой сосуд, из которого по возможности тщательно удален воздух и который заполнен парами ртути и имеет катодом жидкую ртуть, а в качестве анодов — железные или графитовые цилиндры. Электрическая дуга горит в парах ртути. Эмиссия электронов происходит из так называемого катодного пятна на поверхности жидкой ртути. Таким образом, ток при принятом его положительном направлении может проходить через ртутный вентиль только от анода к катоду. Катодное пятно обычно поддерживается от постороннего ис-

точника энергии с помощью дуги возбуждения, горящей между катодом и вспомогательными анодами, расположенными вблизи катода. Характеристика ртутного вентиля, т. е. зависимость напряжения u между главным анодом и катодом от тока i при наличии дуги возбуждения, показана на рис. 19.11.

При горении дуги падение напряжения на вентиле невелико (15–30 В) и мало зависит от тока. Ток в ртутной дуге осуществляется не только движением электронов от катода к аноду, но и движением положительных ионов ртути в направлении от анода к катоду. Поэтому ртутные вентили принадлежат к ионным приборам. При изменении знака напряжения на вентиле обратный ток через вентиль ничтожен. Ртутные вентили изготовляются как сравнительно небольшой мощности — в запаянных стеклянных сосудах, так и очень большой мощности — в железных сосудах, откачиваемых насосами. Возможность построения ртутных вентилей на очень большие обратные напряжения, порядка сотен тысяч вольт, и одновременно на большие токи, порядка нескольких сотен ампер, имеет исключительное значение для создания преобразовательных устройств переменного тока в постоянный и обратно — на концах линий передачи энергии постоянного тока высокого напряжения, о чем будет речь в дальнейшем.

Несимметричным нелинейным элементом является также кенотрон — пустотная электронная лампа с двумя электродами. Катод кенотрона имеет высо-

332 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

кую температуру, достаточную для эмиссии электронов. С этой целью он накаливается от специального источника тока. Температура анода поддерживается довольно низкой, чтобы эмиссия электронов с его поверхности не происходила. В результате электронный ток может проходить в кенотроне только от катода к аноду, т. е. положительный ток может протекать только от анода к катоду. Кенотроны используются для выпрямления тока. Так как в кенотронах ток осуществляется движением только электронов, то кенотроны принадлежат к электронным приборам.

Характеристика кенотрона, т. е. зависимость тока i в нем от напряжения u между анодом и катодом, показана на рис. 19.12. При достижении напряжением u значения, при котором все электроны, излучаемые катодом, переносятся к аноду, ток i получает предельное значение is, называемое т о к о м н а с ы щ е н и я. Значе- ние тока насыщения можно увеличить, лишь повышая температуру катода. То обстоятельство, что ток не достигает тока насыщения при малых напряжениях, связано с наличием в пространстве между катодом и анодом

Ðèñ. 19.12 отрицательного объемного заряда электронов, находящихся в данный момент в этом пространстве и движущихся от катода к аноду. Этот отрицательный объемный заряд создает у катода

электрическое поле, противоположное полю положительно заряженного анода, что и приводит к ограничению тока при данном напряжении между анодом и катодом. В начальной части характеристики зависимость между i è u может быть представлена, как это можно вывести теоретически, в виде i ku3/2. Кенотроны легко выполнить на высокое напряжение, так как в них создан высокий вакуум. Существенным недостатком является значительное падение напряжения в них, связанное с появлением отмеченного выше отрицательного объемного заряда. Ионные приборы в этом отношении выгодно отличаются от кенотронов — падение напряжения в них невелико, так как положительный заряд ионов в значи- тельной мере компенсирует отрицательный заряд электронов.

К ионным приборам, используемым для выпрямления переменного тока, относятся, кроме упомянутых выше ртутных вентилей, также газотроны, представляющие собой, как и кенотроны, лампы с накаливаемым от постороннего источ- ника твердым катодом, но наполненные или одним из благородных газов, или парами ртути. В последнем случае в баллон вводится капля жидкой ртути, над поверхностью которой и образуются насыщенные пары ртути. Вид характеристики газотрона аналогичен виду характеристики ртутного вентиля (см. рис. 19.11).

Полупроводниковые диоды, обладающие также несимметричной характеристикой, будут рассмотрены отдельно (см. § 19.6).

19.4. Инерционные и безынерционные элементы с нелинейным сопротивлением

Характерной особенностью некоторых нелинейных элементов при переменном токе является значительная их инерционность, которая приводит к невозможности быстрого изменения их сопротивления. Такими инерционными нелинейны-