книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2

Ðèñ. 19.57

Ðèñ. 19.56

Ðèñ. 19.55

Глава 19. Элементы нелинейных электрических цепей, их характеристики и параметры

363

дальном напряжении, несколько отличается от характеристики, получаемой при синусоидальном токе.

Наложив на сердечник катушки дополнительную обмотку, питаемую постоянным током, получим несимметричный нелинейный индуктивный элемент, так как при одном направлении тока в основной обмотке МДС обеих обмоток будут суммироваться, а при другом — вычитаться.

Изменяя значение тока подмагничивания в дополнительной обмотке, получаем возможность изменять характеристику катушки со стороны зажимов основной обмотки, осу-

ществляя таким образом управляемый нелинейный индуктивный элемент. Такие элементы могут быть использованы в различных нелинейных устройствах, в частности в ферромагнитном усилителе мощности, о чем будет сказано в дальнейшем.

19.15. Конденсаторы с нелинейной характеристикой

Если диэлектрическая проницаемость диэлектрика конденсатора не зависит от напряженности электрического поля, то и емкость C конденсатора не зависит от напряжения на конденсаторе. Это соблюдается для большинства конденсаторов, применяемых на практике. Зависимость заряда q такого конденсатора от напряжения u выражается прямой линией (рис. 19.56). Говорят, что такой конденсатор имеет линейную характеристику q f(u) Cu.

Существуют вещества, называемые сегнетоэлектриками, для которых величина Υ сильно зависит от напряженности электрического поля. При некоторых значениях напряженности поля относительная диэлектрическая проницаемость этих веществ достигает весьма больших значений. Если при отсутствии внешнего электрического поля сегнетоэлектрик не был поляризован, то при увеличении напряженности поля E электрическое смещение D возрастает соответственно кривой, изо-

браженной на рис. 19.57. Связь между D è Å оказывается нелинейной. Диэлектри- ческая проницаемость Υr Υ/Υ0 с увеличением E сначала возрастает, достигает максимума и затем убывает. При периодическом из-

менении напряженности поля в пределах от +Em äî –Åm наблюдается так называемое явление д и э л е к т р и ч е - с к о г о г и с т е р е з и с а — кривая D f(E ) при уменьшении напряженности поля не совпадает с соответствующей кривой (рис. 19.58) при увеличении напряженности поля. При уменьшении напряженности поля до нуля сохраняются некоторая остаточная поляризация

и, соответственно, остаточное смещение Dr .

Наименование «сегнетоэлектрики» связано с наименованием вещества сегнетова соль, для которого впервые были обнаружены указанные свойства. Сегнетова соль представляет собой двойную натрокалиевую соль винной кислоты

Ðèñ. 19.58

364 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

(NaKC4H4O6 4H2O). Высокая поляризуемость наблюдается в кристаллах сегнетовой соли в направлении одной из ее кристаллографических осей. Эти особые свойства сегнетовой соли очень сильно зависят от температуры и проявляются только в диапазоне температуры от –18 до +22,5 ΤÑ.

Впервые глубокие исследования свойств сегнетоэлектриков были проведены И. В. Курчатовым и П. П. Кобеко.

К группе сегнетоэлектриков относится также метатитанат бария (TiO2 BaO), сегнетоэлектрические свойства которого открыты советским ученым Б. М. Вулом. Относительная диэлектрическая проницаемость Υr титаната бария при комнатной температуре превышает 1000. Он сохраняет свои сегнетоэлектрические свойства до температуры +80 ΤÑ.

Существование сегнетоэлектриков имеет принципиальное значение. Их свойства в группе диэлектриков в значительной степени аналогичны свойствам ферромагнитных веществ. Это дает основание дать физическое объяснение свойств сегнетоэлектриков, сходное с объяснением свойств ферромагнитных веществ (см. § 19.13). Предполагают, что отдельные области сегнетоэлектриков самопроизвольно поляризованы в определенном направлении. Внешне эта поляризация не проявляется, пока различные области поляризованы в противоположных направлениях. Под действием внешнего поля поляризация областей изменяется в направлении поля. Это изменение происходит очень мелкими скачками, соответствующими изменению направления поляризации отдельных областей. Вследствие этого изменения направления поляризации областей и происходит быстрое увеличение поляризованности вещества и значения электрического смещения D, что соответствует крутой части кривой D f(E ) на рис. 19.57. При некоторой напряженности поля достигается насыщение, когда почти все области самопроизвольной поляризации оказываются поляризованными в направлении поля. Соответственно, при достаточно больших напряженностях поля вели- чина D растет все медленней при увеличении E.

Âопытах с кристаллом сегнетовой соли большой толщины, описанных

È.В. Курчатовым, максимальное значение относительной диэлектрической проницаемости имело порядок 100 000 и насыщение достигалось уже при напряженности 30 В/см. У титаната бария насыщение достигается при значительно

больших напряженностях поля. Температура 22,5 ΤС для сегнетовой соли и, соответственно, 80 ΤС для титаната бария характерна тем, что при ней тепловым движением разрушается самопроизвольная поляризация областей и сегнетоэлектрик приобретает электрические свойства обычных диэлектриков.

Если диэлектриком в конденсаторе является сегнетоэлектрик, то зависимость q f (u) заряда q на обкладке конденсатора от напряжения è между обкладками будет нелинейной и аналогичной по характеру зависимости D f (E ), изображенной на рис. 19.57 и 19.58. В простейшем случае для плоского конденсатора, поле в котором однородно, кривые q f (u) è D f (E ) различаются толь-

Глава 19. Элементы нелинейных электрических цепей, их характеристики и параметры

365

ко масштабами, так как для плоского конденсатора q Ds è u Ed, ãäå s — поверхность обкладки и d — толщина диэлектрика.

Говорят, что такой конденсатор обладает нелинейной характеристикой q f(u). На рис. 19.59 изображена эта характеристика, соответствующая увеличению напряжения при условии, что при отсутствии напряжения диэлектрик не был поляризован. При периодическом изменении напряжения в пределах от +Um äî

–Um характеристика имеет вид петли гистерезиса, представленной на рис. 19.60. Кривая q f (u), проходящая через вершины петель гистерезиса, соответствующих различным значениям амплитуд напряжения Um, изображенная штриховой линией на рис. 19.60, близка к кривой q f (u) íà ðèñ. 19.59.

Ðèñ. 19.59 Ðèñ. 19.60

Площадь петли гистерезиса в соответствующем масштабе A u dq abs

(a è b — масштабы по осям абсцисс и ординат) равна потерям Wã энергии в диэлектрике конденсатора за один период изменения напряжения. Эти потери называют п о т е р я м и н а д и э л е к т р и ч е с к и й г и с т е р е з и с. В единице объема диэлектрика эти потери соответственно равны Wã E dD и определяются

в соответствующих масштабах площадью петли на рис. 19.58. Наличие этих довольно значительных потерь в таких веществах, как титанат бария, значительно затрудняет использование их при переменных полях, особенно при высоких частотах.

Необходимо различать статические характеристики è динамические характеристики конденсатора.

Статическая характеристика определяет собой значения не изменяющихся во времени зарядов конденсатора при соответствующих значениях не изменяющихся во времени напряжений. Практически она может быть получена путем измерения ряда значений зарядов q, соответствующих ряду значений напряжений u, причем при переходе от одного значения напряжения u к другому необходима достаточная выдержка времени, чтобы новое значение заряда q успело установиться. Это новое значение заряда q устанавливается не сразу вследствие явления так называемой д и э л е к т р и ч е с к о й в я з к о с т и. При достаточно быстром изменении напряжения явление диэлектрической вязкости приводит к тому, что зависимость q f (u) будет отлична от зависимости, определяемой из

366 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

статической характеристики. Связь q f(u) при этом изображается динамиче- ской характеристикой. В частности, при быстрых периодических изменениях напряжения динамические петли гистерезиса отличаются от статических. При достаточно медленном изменении напряжения динамические характеристики практически совпадают со статическими.

Нелинейный характер зависимости q f(u) приводит к тому, что емкость такого конденсатора зависит от напряжения u на его обкладках. При этом разли- чают так называемую с т а т и ч е с к у ю е м к о с т ь, определяемую как отношение q ê u:

Cñò uq

и д и н а м и ч е с к у ю е м к о с т ь, определяемую как предел отношения приращения заряда q к соответствующему приращению напряжения u при стремлении последнего к нулю:

Cä lim q dq .u 0 u du

Статическая емкость определяется из статической характеристики и для конденсатора с нелинейной характеристикой является функцией напряжения. Динамическая емкость определяется из динамической характеристики, и так как вид последней зависит от скорости изменения напряжения при различных его значениях, то динамическая емкость является функцией не только значения напряжения, но, вообще говоря, и его производных по времени. Статическая и динамическая емкости конденсатора с нелинейной характеристикой различаются между собой также и при достаточно медленном изменении напряжения, хотя и определяются при этом из одной и той же статической характеристики, причем в этом случае динамическая емкость Cä равна дифференциальной Cd. Это видно хотя бы из рис. 19.59, так как статическая емкость равна

Ññò uq k tg f1(u),

динамическая же емкость

Cä dudq k tgΠ f2 (u),

ãäå k зависит от масштабов по осям абсцисс и ординат.

Конденсаторы с нелинейной характеристикой находят применение в устройствах автоматического управления. О некоторых возможных использованиях нелинейных свойств таких конденсаторов будет сказано дальше.

19.16. Источники ЭДС и источники тока с нелинейными характеристиками

В § 3.8, т. I было указано, что внешняя характеристика u f(i) реального источ- ника ЭДС может быть нелинейной. Это может быть результатом того, что или ЭДС e источника нелинейно зависит от тока i, или зависит от тока его внутрен-

Глава 19. Элементы нелинейных электрических цепей, их характеристики и параметры 367

нее сопротивление râí. Внешняя характеристика i f(u) реального источника тока также может быть нелинейной. На рис. 19.61 приведена нелинейная характеристика источника электромагнитной энергии с не изменяющимися во времени ЭДС и током. Выразив эту характеристику уравнением u e – i râí, рассматриваем источник энергии как источник ЭДС. Если условно принять e const (горизонтальная штриховая линия на рис. 19.61), то все изменение напряжения на зажимах источника при изменении тока i придется объяснить падением напряжения i râí внутри источника, причем мы должны считать внутреннее сопротивление источника нелинейным, т. е. полагать râí f(i). На эквивалентной схеме такого источника (рис. 19.62) величина râí является функцией тока i.

Выражая характеристику уравнением i – ugâí, рассматриваем этот же источник энергии как источник тока. Если принять = const (вертикальная штриховая линия на рис. 19.61), то мы должны считать нелинейной внутреннюю проводимость источника gâí f(u). На эквивалентной схеме такого источника (рис. 19.63) величина gâí является функцией напряжения u.

При расчете цепи, питаемой от таких источников, можно относить нелинейное внутреннее сопротивление источников ЭДС или, соответственно, нелинейную внутреннюю проводимость источников тока к приемной цепи, на которую работают источники. Очевидно, при этом приемная цепь становится нелинейной, даже если все остальные ее элементы имеют линейные характеристики. Источники же ЭДС и тока при этом рассматриваются как идеальные.

Ðèñ. 19.61

Ðèñ. 19.62

Ðèñ. 19.63

Ðèñ. 19.64

Для источников периодической во времени ЭДС, например синхронных генераторов, реальная внешняя характеристика также оказывается нелинейной. На рис. 19.64 приведена внешняя характеристика трехфазного синхронного генератора при активной нагрузке (cos !ïð 1), дающая зависимость действующего напряжения U на зажимах генератора от действующего тока I, отдаваемого генератором в приемник. Ход этой характеристики определяется реакцией якоря и активным и индуктивным падениями напряжения в обмотке статора от потоков рассеяния.

Глава двадцатая

Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

20.1. О расчете нелинейных электрических цепей при постоянном токе

При постоянном токе неизменными во времени являются потокосцепления и заряды, поэтому индуцируемые в цепи ЭДС и токи в конденсаторах равны нулю. По этой причине в схемах распределение токов и напряжений определяется резисторами и активными сопротивлениями обмоток индуктивных катушек и активными проводимостями неидеальных конденсаторов.

Система топологических уравнений для напряжений и токов ветвей цепи аналогична таковой для линейной электрической цепи (см. § 3.12, т. I) и может быть составлена согласно первому и второму законам Кирхгофа. Соответственно, и методы составления этих уравнений, и форма записи одинаковы для линейных и нелинейных цепей.

В матричной форме системы уравнений для токов в узлах и сечениях, а также для напряжений в контурах будут иметь вид (см. § 3.13–3.15, т. I)

Ai A=; Di D=; Cu Ce.

Здесь A — матрица соединений; D — матрица сечений; C — матрица контуров; i colon (i1, i2, ..., ip) — матрица-столбец токов в линейных и нелинейных элементах ветвей; = colon(=1,= 2 , ..., = p ) — матрица-столбец источников токов в ветвях; e colon (e1, e2, ..., ep) — матрица-столбец источников ЭДС в ветвях. Эти системы должны быть дополнены уравнениями, которые связывают напряжения и токи в элементах цепи. Для нелинейных цепей напряжения и токи связаны между собой нелинейными соотношениями, и поэтому в целом система уравнений цепи оказывается нелинейной. В матричной форме запишем эти нелинейные соотношения в виде

colon[f1(i1,u1); f2 (i2 ,u2 ); ; f p (ip ,u p )] 0

èëè F(i, u) 0.

Для постоянных токов все уравнения будут алгебраическими, причем система уравнений с учетом нелинейных зависимостей между токами и напряжениями будет нелинейной.

Аналитическое решение системы нелинейных уравнений, даже когда нелинейные ВАХ заданы в аналитической форме, является весьма трудной задачей, и во многих случаях такое решение вообще отсутствует. По этой причине для решения задач теории нелинейных цепей приходится широко использовать различные приближенные методы решения, такие как метод итераций и графоаналитические методы. В последующих параграфах эти методы будут рассмотрены. Их рассмотрение представляет интерес также и потому, что во многих случаях сами характеристики нелинейных элементов бывают заданы графически.

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе

369

При решении нелинейных алгебраических уравнений электрических цепей может представлять интерес также проблема единственности решения. Рассмотрение особенностей вольт-амперных характеристик показывает, что вопрос единственности решения существенно зависит от типа ВАХ и от способа соединения нелинейного элемента с источником энергии или с внешней по отношению к этому элементу частью цепи. Как будет показано далее, выбором соответствующего дерева графа и отнесением ветвей с управляемыми током ВАХ к ветвям дерева и ветвей с управляемыми напряжением ВАХ — к связям графа можно обеспечить единственность решения.

В случаях, когда в цепи такое разделение невозможно, может иметь место множество состояний равновесия (множество решений). Однако, как увидим в последней главе этой части, состояния равновесия не всегда будут устойчивыми. В частности, неустойчивые состояния могут быть при наличии падающих участков в ВАХ нелинейных элементов. Исследование устойчивости потребует учета индуктивных и емкостных элементов цепи, так как при этом необходимо будет рассматривать переходные процессы, возникающие при отклонениях от состояния равновесия. Эти более сложные вопросы будут рассмотрены в гл. 22.

Сложность решения системы нелинейных уравнений электрических цепей постоянного тока предопределяет широкое применение для анализа процессов в них ЦВМ. Однако и эти мощные средства вычислений не решают в полной мере ряда проблем, среди которых следует отметить проблему получения полной совокупности решений системы нелинейных уравнений цепи, без знания которых невозможно дальнейшее исследование свойств цепи.

20.2. Последовательное, параллельное и смешанное соединения участков электрической цепи, содержащих нелинейные элементы и не содержащих источников ЭДС

Пусть электрическая цепь (рис. 20.1, à) состоит из двух последовательно соединенных нелинейных элементов, характеристики которых u1 F1(i1) è u2 F2(i2) известны. В этом случае

u = u1 u2 ; i1 i2 i.

Ðèñ. 20.1

Изобразив на рис. 20.1, á заданные характеристики отдельных элементов в виде кривых и складывая ординаты этих кривых для разных значений тока,

370 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

получаем точки характеристики u F(i), относящейся ко всей цепи в целом. Например, ab + ac ad. Располагая этой характеристикой, уже нетрудно находить значения i, u1 è u2 при любом заданном значении u. Очевидно, этот метод может быть распространен на любое число последовательно включенных нелинейных и линейных элементов.

Значения i1 è u2 можно найти также, если нелинейный элемент 1 и идеальный источник ЭДС рассмотреть в качестве реального источника с нелинейной вольтамперной характеристикой (рис. 20.2, à). Эта характеристика описывается формулой u0 E0 – u1, ãäå u1 F1(u1), и изображается на рис. 20.2, á падающей кривой. Очевидно, условие равенств u2 u0 è i1 i2 i, при котором имеет место равновесие состояния, и даст решение уравнения цепи. Графически точка равновесия есть точка b пересечения ВАХ реального источника (заключенного на рис. 20.2, à внутри вычерченного штриховой линией прямоугольника) и ВАХ нелинейного элемента 2. Напряжение u1 равно отрезку bd, напряжение u2 — отрезку ab, а ток — отрезку 0a. Íà ðèñ. 20.2, á штриховой линией изображена суммарная ВАХ из рис. 20.1, á.

Ðèñ. 20.2

Пусть электрическая цепь (рис. 20.3) состоит из двух параллельно соединенных нелинейных элементов с известными характеристиками. В этом случае

i i1 i2 ; u1 u2 u.

Складывая на рис. 20.4 абсциссы кривых u1 F1(i1) è u2 F2(i2), получаем точ- ки характеристики u F(i), относящейся ко всей цепи в целом. Например, ab + ac ad.

Ðèñ. 20.3

Ðèñ. 20.4

Ðèñ. 20.5

При смешанном соединении, состоящем из последовательного и параллельного соединений отдельных участков цепи, для получения характеристики всей

Глава 20. Расчет нелинейных электрических и магнитных цепей при постоянном токе 371

цепи в целом могут быть использованы те же приемы. На рис. 20.5 приведен пример смешанного соединения трех элементов, причем один из них, а именно третий элемент, обладает линейной характеристикой. Имеем уравнения

u u23 u2 u3 ; u3 r3 i2 ;

i i1 i2 (i3 i2 ; u23 u1 u).

Складываем сначала ординаты кривых u2 F2(i2) è u3 r3i3 r3i2 (рис. 20.6). Получаем кривую u F23(i2), изображающую характеристику последовательно соединенных второго и третьего элементов. Например, ab + añ ad. Складывая затем абсциссы кривых u F23(i2) è u F1(i1), изображающих характеристики параллельно соединенных ветвей, получаем характеристику u F(i) всей цепи. Например, gk + gd gm. Располагая совокупностью характеристик на рис. 20.6, нетрудно найти напряжения и токи на всех участках цепи, если задано одно из этих напряжений (è1, u2 èëè u3) или один из этих токов (i, i1 èëè i2).

Ðèñ. 20.6

Ðèñ. 20.7

Ðèñ. 20.8

В рассмотренных примерах все характеристики имели возрастающий характер, т. е. как статические, так и динамические сопротивления нелинейных элементов были положительными во всем диапазоне изменения токов в этих элементах. При этом решение задачи получалось однозначным, т. е. при заданном значении напряжения на зажимах цепи устанавливаются определенные значе- ния всех токов. При наличии характеристик с падающими участками, при которых динамическое сопротивление отрицательное, может оказаться, что решение будет многозначным, т. е. при заданном напряжении может быть несколько совокупностей токов в ветвях, удовлетворяющих в равной мере уравнениям Кирхгофа. Иными словами, может существовать несколько состояний равновесия. Рассмотрим пример цепи (рис. 20.7), состоящей из последовательно соединенных двух участков, первый из которых обладает линейной характеристикой è1 r1i1 (r1 const), а второй — нелинейной характеристикой u2 F2(i2) с падающим участком (рис. 20.8). При этом i1 i2 i. В рассматриваемом случае результирующая характеристика u F(i) также имеет падающий участок.

Если приложенное к зажимам цепи напряжение u таково, что горизонтальная линия (на рис. 20.8 штриховая линия), определяемая этим напряжением, пересекает характеристику в нескольких точках, то возможно несколько состояний

372 Часть 3. Теория нелинейных электрических и магнитных цепей

равновесия. На рис. 20.8 токи при равновесии определяются точками a1, a2, a3 и соответствующее им напряжение u1 — точками b1, b2 è b3, а напряжение u2 — точками c1, c2 è c3. Вопрос об устойчивости этих состояний будет рассмотрен в гл. 22.

20.3. Последовательное, параллельное и смешанное соединения участков электрической цепи, содержащих нелинейные элементы и источники ЭДС

Пусть имеется ветвь с последовательно соединенными нелинейным элементом и источником ЭДС (рис. 20.9), причем заданы характеристика uab F(i) нелинейного элемента, значение и направление ЭДС e. Напряжение на

всей ветви между точками a è c равно

	uac uab ubc	uab ebc .
	Это соотношение получается, если применить второй закон
	Кирхгофа к контуру, указанному на рис. 20.9 круговой стрелкой:
Ðèñ. 20.9	ebc uca uab uac uab	èëè uac uab ebc .

Åñëè ÝÄÑ e действует в направлении выбранного положительного направления тока, т. е. ebc > 0, то при положительном токе она способствует прохождению тока и при ebc < uab уменьшает значение uac. Íà ðèñ. 20.10, à изображена характеристика нелинейного элемента uab F(i) и отложена прямая, соответствующая ebc > 0. Здесь же нанесена результирующая характеристика uac F1(i) для всей ветви.

Íà ðèñ. 20.10, á произведено то же построение при ebc < 0, т. е. когда ЭДС источника в рассматриваемой ветви действует против принятого положительного направления тока.

Ðèñ. 20.10

Предположим, что электрическая цепь (рис. 20.11) между зажимами ab состоит из любого числа последовательно и параллельно соединенных участков, содержащих линейные и нелинейные элементы и источники ЭДС. К зажимам a è b приложено заданное напряжение uab. Задаемся положительными направлениями токов во всех ветвях цепи. Направления и значения ЭДС во всех ветвях, а также характеристики всех элементов заданы. Строим только что изложенным методом результирующие характеристики всех ветвей (рис. 20.12–20.16).