Контрольные работы 1

Министерство образования и науки Украины

ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АВТОМОБИЛЬНОДОРОЖНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

иконтрольные задания

кконтрольным работам 1,2 по высшей математике

для студентов всех специальностей

Утверждено методическим советом университета, протокол № 3 от 10.12.2008 г.

Харьков

ХНАДУ

2009

Составители: А.В.Макаричев О.В. Небратенко В.А. Нестеренко И.Л. Разницын

Кафедра высшей математики

2

Настоящее издание содержит задания контрольных работ по высшей математике, которые студенты факультета заочного обучения всех специальностей выполняют на 1 курсе.

Номер варианта равен числу N = ji где i – последняя а j – предпоследняя

цифра номера зачетной книжки. Во всех заданиях k – последняя цифра текущего года.

3

КОНТРОЛЬНАЯ РОБОТА № 1

Задание 1. Подставив i и j своего варианта, вычислить определитель

	i2 + 2i + 2	ji+j+i+1	−ik −i − k −1
1)	ij +i + j +1	j2 + 2 j + 2	− jk − j − k −1
	−ik −i −k −1 − jk − j −k −1		k 2 + 2k + 2
	−2i + j +8	−2i+2j −3	− 2i + 2 j − 4
2)	−2 j + 2k + 4 −4 j +3k +16		− 4 j + 4k +8
	j +i −2k −2 i + 2 j −3k −3		i + 2 j − 4k + 6

Задание 2. Подставив i и j своего варианта. Решить систему уравнений методом Крамера

(k −1)x1 +(10 − j)x2 = −i −1

1) −(i +1)x2 +(k +1)x3 =10 − j(10 − j)x3 −(i +1)x1 = k +1

Решить систему уравнений методом Гаусса

( j +1)x1 −(i +1)x2 + 2x3 = 2(i − j)

2) (3 +i)x1 −(2 + j)x2 −(i + j)x3 = 4i −3 j +1

(2 + j)x1 −(i +3)x2 − 2x3 = j +1

( j +1)x1 −(i + 2)x2 + ( j +1)x3 = j2 + 2 j −i2 −3i −1 3) ( j +3)x1 −(i +1)x2 + 2(i +1)x3 = j2 + 4 j −i2 − 2i + 2

( j +7)x1 +(1−i)x2 −(6i + 2 j +8)x3 = j2 +8 j −i2 +8

( j +3)x1 +(1−i)x2 + 2x3 = 4(i +1)

4) (i +1)x1 −( j +1)x2 −(i + j +1)x3 = i − j

(2 j +3i +9)x1 −(2i +3 j +1)x2 + (1−3i −3 j)x3 =11i −3 j

Задание 3. Даны точки:

A1 (i −5; j −6; i + j −9); A2 ( j −5; i −6;i − j);

A3 (i −6; j −4;i − j − 4); A4 ( j − 4;i −5;i + j −10); A5 (i + j −8;i − j + 2; j −i −1).

4

Найти:

1) векторы A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 и их длины;

2)A2 A1 A3 ;

3)Площадь треугольника A1 A2 A3 ;

4)Объем пирамидыA1 A2 A3 A4 .

Задание 4. Даны точки:

при	i ≠ j	M1 (i −5, j −6),	M 2 ( j −5,i −6),	M3 (i −6, j − 4);
при	i = j	M1 (i −5,i −6),	M2 (i −6,i − 4),	M3 (i − 4,i − 2)

Найти:

1)уравнение М2 М3;

2)уравнение медианы, проходящей через вершину М1;

3)уравнение высоты, проходящей через вершину М2;

4)уравнение прямой, проходящей через точку М1, параллельно М2М3.

	Задание 5. Даны точки:
A1 (i −5; j −6; i + j −9);	A2 ( j −5; i −6;i − j);
A3 (i −6; j −4;i − j −4);	A4 ( j − 4;i −5;i + j −10); A5 (i + j −8;i − j + 2; j −i −1)
Найти:

1)уравнение плоскостиA1 A2 A3 ;

2)уравнение прямойA1 A4 ;

3)уравнение плоскости, проходящей через точку А5 параллельно плос-

костиA1 A2 A3 ;

4) уравнение плоскости, проходящей через точку А5 перпендикулярно

прямойA1 A5 ;

5) уравнение плоскости, проходящей через прямую А1А4 перпендикулярно плоскости A1 A2 A3 ;

6)уравнение прямой, проходящей через точку А4 перпендикулярно плоскостиA1 A2 A3 ;

7)угол между прямой А1А4 и плоскостьюA1 A2 A3 .

5

Задание 6. Вычислить пределы

Приложение 1

Варианты заданий 2.1

№00

№ 01

1. lim (5x2 −3x + 4)

x→2

2. lim

x2 +5x −4

x +7

x→7

3.

lim

3x2 + 4x +5

2x3 + 4x2 +7

x→+∞

4.

lim

4x2 + 2x2 −3x4

3x3 + 4x −2

x→+∞

5. lim (

3x2 + 4x −3 − 3x2 −2x +7)

x→+∞

6.

lim

3x4 +5x −3 +3 2x3 +5x2 + 4

4 7x3 + 4x2 +3 − 7 3x5 +7x4 −5

x→+∞

7. lim

3x2 −7x −6

2x2 + x −21

x→3

8. lim

3

4x − 3 x +6

x + 2 − 2

x→2

9. lim sin 3x

x→0

tg2x

10. lim

1−sin x

π

x→

π

(

2

− x)2

2

11. lim

2x −1

x

2x +1

x→+∞

12. lim

e2x −1

3x

x→0

1. lim (2x2 +3x −1) (2x +12)

x→−3

2. lim

(x2 −9)(x +3)

x +5

x→5

3.

lim

3x2 − x + 4

2x3 −4x2 +3

x→+∞

4.

lim

3x5 + 4x4 −3x −2

7x3 −2x +5

x→+∞

5. lim

(

x3 + 2x +5 − x3 − x −1) x

x→+∞

6.

lim

3 7x1 −5x3 + 4 + 2 x3 −4x +5

6 3x8 +7x7 +5 − 5 x4 + 2x3 − x

x→+∞

7. lim

x2 +6x +8

x3 +8

x→−2

8. lim

3x +1 − 2x + 2

8x +1 −3

x→1

9. lim

arcsin2 x

xsin x

x→0

10. lim

cos3x −cos x

x→0

cosx −1

2x +3

1

11. lim

x−1

5x

x→1

12. lim x[ln(x+2) −ln x]

x→+∞

6

№02

1.lim (3x2 −2x +5)

→4x

2. lim (x −3)(2x +5)

x→−2

3.

lim

2x2 −4x +3

4x3 +7x −5

x→+∞

4.

lim

3x3 −2x +5

2x3 + 4x

−3

x→+∞

5. lim (

x2 +3x −5 −

x2 − x +10)

x→+∞

6.

lim

3

5x

4

−3x

3

+7 +x+

5

x

2

−4x

2

+3

5

2

6

x→+∞

x

+3x−2

+

x+5

7. lim

x + 2

−

x2 −7x

x

2

−2x −

3

x→3

x −3

8. lim

1+ x −

1− x

x

x→6

9. lim sin 5x

x→0

sin3x

10. lim sin x −sin a

x→α

x −a

11. lim

4x +1

2x

4x

x→+∞

12. lim

e7 x −e−x

sinx

x→0

№ 03

1. lim

(x2

−4)(x + 2)

x +5

x→4

2. lim (x2 + 2x −3)

x→1

3.

lim

4x2 +3x −2

5x3 +3x −1

x→+∞

4.

lim

7x3 +5x −3

x→+∞ 2x5 + 4x2 +5

5. lim

(

7x2 +5x −4 −

7x2 − x +6)

x→+∞

6.

lim

3

5x2 −4x +3 + 2 x3 −4x2 +5

x2 +

3x2 +5x −3 + 4 x −3

x→+∞

7. lim

2x2 −5x −63

x2 −6x −7

x→7

8. lim

x −8

3

x − 4

x→64

9. lim 2arcsin x

x→0

3x

10. lim cos3x −cos5x

x→0

x2

3x

2

11. lim

x−2

x→2

4 + x

12. lim ln(a + x) −ln a

x→0

x

№ 04

1. lim (x + 4)(3x −6)

x→1

2. lim (x −3)(x +8)

x→3

x +3

3.

lim

7x3 +5x −3

x→+∞ 2x3 + 4x2 +5

4.

lim

10x2 −7x +8

x→+∞ 5x3 + x2 −10

5. lim

(

3x2 − x +5 −

3x2 + 2x −3)

x→+∞

6.

lim

6

6x7 + 2x5 + 4 − 3 4x2 −3

6 7x5 +6x4 −3 + 3 x +5

x→+∞

7

7. lim

3x2 −7x −40

x

2

−10x + 25

x→5

8. lim

x2 +1 −1

x2 +16 −4

x

→0

9. lim sin 3x

x

→0

sin2x

10. lim

sin2 x −sin2 λ

x2 −λ2

x→λ

11. lim

3x +

1 x+2

3x −

x→∞

1

12. lim

e2x −e3x

x

x→0

№ 05

1. lim (

1

x

2

−5x −6)

2

x→−2

2. lim

(x2 −4)(x + 2)

3x −4

x→4

3.

lim

−

7x4 −3x2 +5

6x3 +3x −4

x

→+∞

4.

lim

5x3 −2x2 + 4x −3

6x3 +5x +100

x→+∞

5. lim (

2x2 +5x −3 −

2x2 −3x + 4)

x

→+∞

6.

lim

3 6x5 −5x4 −3 + 5 x6 +5x +3

6 4x10 −7x3 +10 + x −3

x

→+∞

7. lim

x −1

−

x2 + x +1

2 +

+

x

→−

2

x + 2

x

3x

2

8. lim

3 x −1

x −1

x→1

9. lim

tgx

sin 3x

x

→0

10. lim cos x −cos a

x→a

x −a

3x −2

5x

11. lim

x−3

1+ 2x

x→3

12. lim

x[ln(x −2) −ln(x +3)]

x→+∞

№ 06

1. lim (2x −3)(x + 2)

x→−1

2. lim

(2 −4x)(5 + x)

x→−2

x −2

3.

lim

12x3 + 4x −7

3x2 +6x +3

x→+∞

4.

lim

7x2 −5x + 4

3x4 + 2x −2

x→+∞

5. lim

(

x2 +7x + 4 − x2 +3)

x→+∞

6.

lim

5x2 + 4x −2 + 4 x5 +3x2 −2

x7 +74x5 +10 + 7 x2 − x −2

x→+∞

7. lim

x2 −5x −6

6x2 −37x +6

x→6

8. lim

1+ x −1

3 1+ x −1

x→0

9. lim arcsin5x

x→0

arctg3x

sin(x − π)

10. lim

6

3

x→

π

−cos x

6

2

11. lim

x −1

2x

x→+∞ x +1

12. lim

e2x −e3x

x

x→0

8

					№ 07
	1. lim (−x2 + 2x − 1)
		x→3		6
	2. lim (			1 x +1)(x −5)
		x→4		2
	3. lim		6x2 +7x + 2
			5x2 −2x +5
		x→∞
	4.	lim			2x5 −4x +7
					6x7 + 2x −10
		x→+∞
	5. lim		( x3 + 4x +5 − x3 −1)
		x→+∞
	6.	lim			3x2 + 4x −2 + 6 x3 −4x +3
					3 7x3 +5x + 4 + x +5
		x→+∞

7. lim			x2 +8x +16
x→4 2x2 +17 x + 2
				2
8. lim				x −1 −2
				x −5
x→5
9. lim tg7x
x→0			x
10. lim cos x −cos3x
x→0				1−cos 2x
				2x −6	2
11. lim						x−4
				x −2
x→4
12. lim (x −5)					[ln(x −3) −ln(x +1)]
x→+∞
						№ 08

1. lim (3x2 −2x + 4)
	x→−1
2. lim (x + 4)(2x −7)
	x→3
3.	lim	−3x4 +5x +10
	x→+∞ 2x3 +15x + 21

4.

lim

17x3 −6x2 +3

3x3 − x +100

x→+∞

5. lim (

x2 + 4x +5 −

x2 −2x +1)

x→+∞

6.

lim

3 7x4 +5x2 −4 + 5 4x3 +5x2 −3

2x3 +3x −4 − 4 3x5 + 4x −2

x→+∞

7. lim

x2 −6x +5

x

2

−2x −15

x→5

8. lim

5 + 2x −3

3 − x −1

x→2

9. lim

arctg2 2x

xsin3x

x→0

10. lim

1 − x2

sin πx

x→1

11. lim lnx −1

x→A

x −e

12. lim

2x

x−1

2x −

x→+∞

3

№ 09

1. lim (2x +3)(4 − x)

x→−1

x −1

2. lim (3x2 − 4x −10)

x→1 2

3.

lim

4x5 −5x4 −3

3x3 +5x + 4

x→+∞

4.

lim

12x3 +7x2 −2

6x3 +5x +100

x→+∞

5. lim

(

x4 + 2x2 +8 −

x4 + x +3)

x→+∞

6.

lim

5x2 + 4x +3 +5 x6 + x −3

3 x3 +3x3 −5 + 4 2x6 + x5 +7

x→+∞

9

7. lim

9x2 −6x +1

3x2 + 2x −1

x→1 3

8. lim

1+ x −1

x2

x→0

9. lim (1− x)tg

πx

x→1

2

10. lim sin γx

x→0

sinβx

11. lim

x

+3

x+3

−2

x→+∞

x

12. lim

1−e−x

sin 2x

x→0

№ 10

1. lim (x −6)(

1 x +8)

x→−4

3

2. lim (2x −5)(3x −4)

x→2

x + 2

3.

lim

7x2 −14x +12

13x4 +7x −3

x→+∞

4.

lim

4x3 +18x −3

x→+∞ 3x3 +5x2 +10

5. lim (

x6 +3x3 −2 − x6 − 2x3 +5)

x→+∞

6.

lim

4 7x5 −4x2 −3 + 5 x3 +12x3 +17

3x2 + 4x −2 + 3 5x4 +3x5 +5

x→+∞

7. lim

2x2 − x −1

x→1 4x2 −7x +3

8. lim

1− x −3

2 + 3 x

x→−8

9. lim

arcsin(x+2)

x→−2

x2 +2x

10. lim	sin(x2 )
	(sin x)5
x→0
		3x +5		3x
11. lim				x+1
		x +3
x→−1
12. lim	(x +1)[ln(x + 2) −ln(x −1)]
x→+∞
				№ 11

1. lim (x2 −2x +3)

x→5

2. lim (4x +80)(x −5)

x→10

2x −10

3.

lim

3x2 −5x +14

x→+∞14x3 + 2x2 −3

4.

lim

6x5 + 4x +3

10x3 +5x2 −1

x→+∞

5. lim (

14x2 −3x +5 − 14x2 +5)

x→+∞

6.

lim

x2 + 4x3 −5 + 3 3x4 +5 −3

4 7x10 + x +10 − 6 x2 + x + 2

x→+∞

7. lim

8x3 −1

x→1 2 4x2 −4x +1

3

7 + x3 − 3 9 − x

8. lim

x −1

x→1

1

−sin

x

9. lim

2

π− x

x→π

10. lim cos x −cos5x

x→0

tg2 x

11. lim

(x +1)[ln(x +3) −ln(x + 4)]

x→+∞

x +5

x−3

12. lim

x+2

x→−2

2x +7

10