3. Методика вимірювання.

Характеристики затухаючих коливань математичного маятника визначаються за вимірюваними значеннями амплітуди коливань в початковий момент часу та через час t, а також за кількістю коливань за цей час.

Період коливань маятника визначається за формулою:

(14)

Амплітуда коливань в момент часу tвід початку коливань згідно формули (8) дорівнює:

З цієї формули отримаємо розрахункову формулу для коефіцієнта затухання:

(15)

З формули (13) час релаксації є величиною оберненою коефiцiєнту затухання. Тоді:

(16)

Підставимо вирази (15), (14) в формулу (12) і дістанемо розрахункову формулу для логарифмічного декремента затухання:

(17)

4. Порядок виконання роботи.

1. Відхилити маятник від положення рівноваги на кут α≤10º i відпустити.

2. Пропустивши (1-2) коливання, виміряти кут відхилення маятника, який визначає амплітуду коливань в початковий момент часу α_m, і одночасно увімкнути секундомір.

3. Відрахувати (20 —30) коливань і вимкнути секундомір. Записати час цих коливань і амплітуду коливань α_mчерез цей час. Результати занести в таблицю 1. Вимірювання провести 3 рази.

Таблиця 1.

№	, град	, град	п	t, c
1
2
3
Середні значення

4. За середніми значеннями отриманих величин визначити середні значення періоду, коефіцієнта затухання, часу релаксації та логарифмічного декремента затухання за формулами (14), (15), (16), (17). Результати завести в таблицю 2.

5. Визначити відносні похибки вимірювання періоду, часу релаксації, коефіцієнта затухання, логарифмічного декремента затухання за формулами:

,,

,,

,,

,,

відповідно. Результати занести в таблицю 2

6. Визначити абсолютні похибки непрямих вимірювань за формулами:,,,відповідно та зробити висновки. Результати занести в таблицю 2.

Таблиця 2.

5. Прилади та обладнання.

Математичний маятник зі шкалою, секундомір, лінійка.

Лабораторне заняття №7

Вивчення затухаючих і вимушених коливань

в коливальному контурі

Завдання 1.

1. Мета роботи.

1. Вивчити затухаючі коливання в коливальному контурі, визначити логарифмічний декремент і добротність досліджуваного контура.

2. Теоретичні відомості.

Електромагнітні коливання відіграють дуже важливу роль в техніці і, зокрема, в техніці зв'язку. Електромагнітні коливання виникають в коливальному контурі, що складається з конденсатора С, котушки індуктивності і активного опоруR. Якщо зарядити конденсатор С, замкнути ключ К, то конденсатор стане розряджатися. В колі потече струм, який повільно наростатиме через виникаючий струм самоіндукції. При цьому енергія електричного поля конденсатора С буде переходити в енергію магнітного поля котушки.

Наростання струму до деякого максимального значення відбувається за періоду. Протягом наступногоперіоду відбувається повільне, через виникнення струмів самоіндукції спадання струму, яке закінчується перезарядкою конденсатора. Протягом наступного півперіоду процес відбувається у зворотному напрямку. Таким чином, в колі відбувається періодичне перетворення енергії електричного поля конденсатора в енергію магнітного поля струму в котушці. Повна енергія коливального контуру рівна сумі електричної і магнітної енергії :

Коливання, які з’явилися в контурі – гармонічні, проте в зв’язку з тим, що існує активний опір R, в якому виділяється тепло, амплітуда коливань зменшуватиметься. Тобто електромагнітні коливання в реальному коливальному контурі завжди є затухаючими. Встановимо закон і визначимо основні характеристики затухаючого коливального процесу.

Згідно другого закону Кірхгофа алгебраїчна сума спадів напруг дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, працюючих в контурі:

, (1)

де - напруга на конденсаторі;- ЕРС самоіндукції.

Запишемо (1) у вигляді:

або, враховуючи, що :

(2)

Позначимо

(3)

(4)

Тоді вираз (2) можна записати:

Розв’язком цього рівняння буде гармонічна функція:

, (5)

де – максимальний заряд на обкладинках конденсатора в початковий момент.

За аналогічним законом відбуваються і коливання напруги на конденсаторі:

. (6)

Величина

(7)

є амплітудою даного гармонійного коливання, проте ця амплітуда експоненціально зменшується з часом. Такі коливання називаються затухаючими.

Вони відбуваються з частотою

, (8)

де відповідно до (3), (4)

, (9)

де -частота власних коливань, тобто в ідеалізованому контурі, коли його активний опірR=0, а

, (10)

де -коефіцієнт затухання.

З (8) випливає, що при затухаючих коливаннях частота ωменша за частотуω₀власних коливань.

На графіку незатухаючі і затухаючі коливання можна показати наступним чином (див. рис. 2).

Пунктирною лінією показано зменшення амплітуди з часом. Згідно (7) і (10), чим більше β(тобто ніж більшеR), тим швидше відбувається затухання. Порівняємо значення амплітуди двох сусідніх моментів часу, розділених періодомТ:

Співвідношення

(11)

називається декрементом затухання.

Рис. 2.

В радіотехніці коливальні контури прийнято характеризувати добротністю. Добротність визначається відношенням повної енергії коливань в контурі до втрат енергії за період:

. (13)

Повна енергія коливального контуру може бути виражена через амплітуду

Оскільки , то, де- повна енергія коливань в початковий момент. Знайдемо швидкість зміни енергії:

.

Припустимо, що енергія не дуже сильно змінюється за період. Тоді можна прийняти і для швидкості зміни енергії можемо записати (по абсолютній величині):

.

Звідси маємо

Підставимо це значення в (13). Тоді отримаємо

. (14)

Таким чином, знаючи коефіцієнт загасання βабо логарифмічний декрементδ, можна визначити добротність коливальної системи (коливального контуру). Добротність коливальних контурів досягає значень ~10²і вище.