- •Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу фізики Частина 1 і Семестр
- •Вимірювання фізичних величин та визначення похибок вимірювання
- •Метод середнього арифметичного
- •Статистичний метод
- •Закон нормального розподілу випадкових похибок та статистична обробка при нормальному розподілі результатів спостережень
- •Обробка результатів непрямих вимірювань
- •Вивчення прямого центрального пружного удару
- •1. Мета роботи.
- •2. Теоретичні відомості.
- •3. Контрольні запитання.
- •4. Домашнє завдання.
- •5. Лабораторне завдання.
- •6. Порядок виконання роботи:
- •6. Прилади та обладнання.
- •3. Контрольні запитання.
- •4. Домашнє завдання
- •5. Лабораторне завдання.
- •6. Порядок виконання роботи:
- •7. Прилади та обладнання.
- •Вивчення обертального руху на маятнику Обербека.
- •1. Мета роботи.
- •2. Теоретичні відомості.
- •3. Контрольні запитання.
- •4. Домашнє завдання.
- •5. Лабораторне завдання.
- •6. Порядок виконання роботи.
- •7. Прилади та обладнання.
- •3. Прилади та обладнання.
- •4. Порядок виконання роботи
- •5. Контрольні запитання.
- •6. Література.
- •Вивчення закону Ома
- •1. Мета роботи.
- •2. Теоретичні відомості.
- •3. Контрольні питання.
- •4. Домашнє завдання.
- •5. Лабораторне завдання.
- •6. Порядок виконання роботи.
- •7. Прилади та обладнання.
- •3. Прилади та обладнання.
- •4. Порядок виконання роботи.
- •Завдання 2. Визначення невідомої ерс методом компенсації
- •1. Мета роботи.
- •2. Теоретичні відомості.
- •3. Прилади та обладнання.
- •4. Порядок виконання роботи.
- •Вивчення прискорення вільного падіння тіла за допомогою фізичного маятника
- •1. Мета роботи.
- •2. Теоретичні відомості.
- •4. Методика вимірювання.
- •5. Порядок виконання роботи.
- •6. Контрольні запитання.
- •7. Прилади та обладнання.
- •3. Методика вимірювання.
- •4. Порядок виконання роботи.
- •5. Контрольні запитання.
- •6. Прилади та обладнання.
- •7. Література.
- •Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника
- •3. Методика вимірювання.
- •4. Порядок виконання роботи.
- •5. Прилади та обладнання.
- •3. Опис установки.
- •4. Прилади та обладнання.
- •5. Порядок виконання роботи.
- •Завдання 2.
- •2. Теоретичні відомості.
- •3. Опис установки.
- •4. Прилади та обладнання.
- •5. Порядок виконання роботи.
- •6. Контрольні запитання.
Метод середнього арифметичного
Метод середнього арифметичного застосовується при прямих вимірюваннях, коли похибка вимірювального приладу менша похибки відліку.
Найбільше до істинного значення вимірюваної ФВ наближається її середнє арифметичне значення. Нехай маємо n прямих вимірювань ФВ х:
.
Визначається середнє арифметичне ФВ х
(1)
Примітка. При кінцевому числі n величина називається виборочним середнім або середнім вибірки.
Визначається абсолютна похибка кожного вимірювання
Обчислюється середня абсолютна похибка
(2)
Обчислюється відносна похибка
(3)
Якщо в процесі багатократних вимірювань вимірювальний прилад дає однакові покази, то за максимальну абсолютну похибку приймають похибку вимірювального приладу або ціну поділки шкали приладу.
Записується результат вимірювання
(4)
Статистичний метод
Похибки також поділяються на систематичні, випадкові, промахи. Систематичні похибки та промахи можна звести до мінімального значення, наприклад до нуля. Випадкові похибки - це похибки, які в однакових умовах мають різні значення. Випадкові похибки не можна звести до нуля, можна лише зменшити їхню величину шляхом збільшення кількості вимірювань в ідентичних умовах. Випадкові похибки досліджуються в теорії імовірностей. Похибки відліку при зніманні показів мір або вимірювальних приладів оком людини також можна обробляти статистичним методом.
Закон нормального розподілу випадкових похибок та статистична обробка при нормальному розподілі результатів спостережень
Нехай маємо n (100) вимірювань ФВ х(). Обчислимо середнє арифметичне ФВх - і знайдемо абсолютні похибки . Розглянемо величини цих випадкових похибок і розділимо їх на певні інтервали, враховуючи їхній знак. Побудуємо гістограму. Для цього по осіОХ відкладатимемо величини похибок, а по осі ОY кількість похибок які потрапляють в цей інтервал.
Якщо кількість вимірювань збільшувати (), а величину інтервалу зменшувати, то гістограма наближатимеся до плавної кривої, яка має форму кривої Гаусса (нормальний розподіл Гаусса або розподіл густини імовірностей). Аналітичний вигляд кривої Гаусса є
(5)
–густина імовірності. Вона дозволяє визначити імовірність dP появи випадкової похибки в інтервалі похибок d(Δx) за формулою
,
а імовірність появи випадкової похибки в кінцевому інтервалі значень [Δx1, Δx2] буде дорівнювати
(6)
Δx - абсолютна випадкова похибка результату спостереження, коли систематична похибка повністю виключена, параметр σ називається дисперсією і характеризує розкид значень випадкової похибки відносно нульового значення. Квадратний корінь з дисперсії називається середньо квадратичним відхиленням (середньо квадратичною похибкою). Параметр σ зручно використовувати для оцінки якості проведених спостережень. Так, якщо його значення взяти в якості границь випадкової похибки результату спостереження, то за формулою (6) імовірність Р1 того, що похибка результату спостереження перебуває в межах [-σ, +σ], дорівнює
(7)
Аналогічно можна отримати імовірність появи похибки реультату спостереження в межах інтервалу [-2σ, +2σ] – вонадорівнює 0,95, а в межах інтервалу [-3 σ, +3 σ] – 0,99. Це означає , що з серії спостережень, кількість яких прийнято за 100%, для 68% з них випадкова похибка не вийде за межі , у 95% - за межі 95 %, а для 99% - за межі. Тобто , параметрσ дозволяє визначити границі інтервалу випадкової похибки з деякою імовірністю. Середньо квадратичну похибку називають ще стандартною похибкою. Середньо квадратична стандартна похибка визначається за формулою
(8)
Формула (8) дає дещо занижене значення дисперсії, бо відрізняється від істинного значення вимірюваної величини, тому оцінка середньо квадратичної (стандартної) похибки проводиться на основі дослідних даних за формулою
(9)
Верхня та нижня границі інтервалу, що покриває з заданою імовірністю похибку вимірювання, називаються довірчими границями похибки, інтервал – довірчим, а імовірність, що його характеризує – довірчою імовірністю. Границі довірчого інтервалу визначаються за формулою
(10)
Для довірчого інтервалу 68% (для значеньє таблиці).
Таким чином, результатом вимірювання ФВ є середнє арифметичне результатів спостережень та довірчий інтервал випадкової похибки.
При кінцевій кількості спостережень (вимірювань) розподіл Гаусса застосовується з певним ступенем наближення. В цьому випадку для визначення границь довірчого інтервалу замість формули (10) в якій коефіцієнт залежить тільки від імовірностіР, використовується інша формула
(11)
- коефіцієнт Стьюдента, який залежить не тільки від імовірності Р, але й від кількості спостережень n в серії, його беруть з таблиці.
p n |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,999 |
2 |
1,00 |
1,38 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
636,6 |
3 |
0,82 |
1,06 |
1,3 |
1,9 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
31,6 |
4 |
0,77 |
0,98 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
12,9 |
5 |
0,74 |
0,94 |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
8,6 |
6 |
0,73 |
0,92 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
6,9 |
7 |
0,72 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,1 |
6,0 |
8 |
0,71 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,0 |
5,4 |
9 |
0,71 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
2,9 |
5,0 |
10 |
0,70 |
0,88 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
2,8 |
4,8 |
∞ |
0,67 |
0,84 |
1,0 |
1,3 |
1,6 |
2,0 |
2,3 |
3,3 |
Середньо квадратична похибка результату при кінцевій кількості спостережень (вимірювань) оцінюється за формулою
(12)