методичка по гидравлика № 130

Якщо позначити через τ дотичне напруження, тобто силу тертя на одиниці площі поверхні, то із (1.5) одержуємо

τ = µ dV .	(1.6)
dn

Оскільки

µ = dVτ , dn

в’язкість µ виражається в мH2 с або Па с . Окрім динамічної в’язкості зручно

застосувати при практичних розрахунках кінематичну в’язкість ν, яка дорівнює відношенню динамічної в’язкості рідини до її густини:

ν = µ ,	(1.7)
ρ
і виражається в м2/с.
В’язкість рідини значно залежить від температури	T . Для води при
T = 20o C в’язкість µ =1,01 10−3 Па с, ν =1,012 10−6 м2/с.

Урахування сил тертя в рідині досить ускладнює вирішування задач гідравліки. Тому з метою можливого спрощення постановки задач і їх математичного розв’язку інколи використовують модель ідеальної рідини. Ідеальною рідиною називається уявна рідина, яка характеризується повною відсутністю в’язкості і абсолютною нестисливістю при зміні тиску і температури. Результати теоретичного дослідження руху такої рідини, як правило, коригуються введенням поправочних коефіцієнтів.

Контрольні питання

1.Визначення предмета гідравліки?

2.В чому полягає відмінність гідравліки від гідромеханіки з огляду на методи дослідження гідродинамічних явищ?

3.Основні фізичні властивості рідини?

4.Що таке густина однорідної рідини? Її одиниця в СІ?

5.Що називається питомою вагою однорідної рідини і як вона пов’язана з густиною рідини? Одиниця питомої ваги в СІ?

6.В чому полягає фізична суть внутрішнього тертя в рідинах? Сформулюйте закон внутрішнього тертя Ньютона.

7.Динамічна і кінематична в’язкості рідини? Їх одиниці в СІ?

8.Що таке ідеальна рідина?

11

ЛЕКЦІЯ 2

Гідростатика Загальні диференційні рівняння рівноваги рідини

2.1 Сили, що діють в рідині. Відносний і абсолютний спокій рідини

Гідростатика – розділ гідравліки, в якому розглядаються закони рівноваги рідин, що знаходяться у стані спокою.

Сили, які діють на довільний об’єм рідини, поділяються на масові і поверхневі. Масові сили діють на кожен елемент об’єму (маси), незалежно від того, існують чи ні поряд з цим елементом об’єму інші частинки рідини. Прикладом їх можуть бути сили земного тяжіння, інерції тощо. Поверхневі сили діють на поверхню даного об’єму. Вони зумовлені контактною взаємодією між частинками рідини, які прилягають до поверхні об’єму ззовні і зсередини. До них належать у загальному випадку сили тертя і тиску.

Рідина може знаходитися у стані відносного або абсолютного спокою. Спокій рідини у рухомій відносно землі системі відліку називається відносним, а в нерухомій – абсолютним спокоєм. При відносному спокої сам рух рідини є переносним. У цьому випадку відсутніми є переміщення окремих частинок рідини по відношенню одна до другої, тому рідина рухається як тверде тіло, не змінюючи своєї форми і об’єму. Прикладом може бути прямолінійний рівномірно прискорений рух залізничної цистерни, повністю чи частково заповненої рідиною (рисунок 2.1). Відносно цистерни рідина знаходиться у стані спокою, а відносно землі рухається.

Прикладом абсолютного спокою може бути спокій рідини в резервуарі, який не рухається відносно землі (рисунок 2.2).

Рисунок 2.1

Рисунок 2.2

Абсолютний спокій є частковим випадком відносного спокою. На рідину, яка знаходиться у стані відносного спокою, із масових сил може діяти, крім сили земного тяжіння, ще і сила інерції переносного руху, а на рідину, яка знаходиться у стані абсолютного спокою, із масових сил діє лише сила земного тяжіння. Що стосується поверхневих сил, то в обох випадках на рідину діє тільки сила тиску.

12

2.2 Гідростатичний тиск і його властивості

У рідині практично не виникають розтягуючі зусилля, а якщо вона знаходиться у стані спокою, то в ній відсутні і дотичні напруження. У стані спокою рідина сприймає лише стискуюче зусилля, що зумовлює гідростатичний тиск.

Гідростатичним тиском P у заданій точці рідини називається граничне відношення величини стискуючого зусилля, яке діє на елементарну площадку з центром у цій точці, до площі цієї площадки при зменшенні її до нескінченно малої величини. Тобто, якщо у заданій точці рідини на

нескінченну малу площадку ∆S поверхні S		діє елементарне стискуюче
зусилля ∆RS , то тиск P у даній точці дорівнює:
P = lim	∆RS .	(2.1)
∆S →0	∆S

Гідростатичний тиск – скалярна, а не векторна величина, і його значення у заданій точці не залежить від орієнтації в просторі площадки, в центрі якої ця точка розташована. У рідині, яка знаходиться у полі земного тяжіння, гідростатичний тиск є завжди, незалежно від того, рухається вона чи знаходиться у стані спокою. Оскільки кожна точка об’єму рідини з координатами x, y, z характеризується певним значенням тиску, величина P

є функцією координат, тобто

P= P (x, y, z).

Водиницях СІ тиск вимірюється в Н/м2 або Па. У технічній літературі,

яка видана раніше 1980р., зустрічається вимірювання тиску у технічних атмосферах (кгс/см2),

1 кгс/см2 = 98100 Н/м2 =98100 Па

або, з врахуванням округлення g ≈10 м/с2,

1 кгс/см2 ≈ 105 Па.

2.3 Диференційні рівняння рівноваги (рівняння Ейлера)

Розглянемо загальний випадок, коли рідина знаходиться у стані спокою відносно неінерційної системи відліку Ox1, x2 , x3 , яка рухається з

прискоренням a відносно землі. Уявно виділимо всередині рідини замкнуту поверхню S , яка обмежує довільний об’єм W (рисунок 2.3).

На цей об’єм рідини масою m діють поверхнева сила тиску RS та дві масові сили: сила земного тяжіння mg і сила інерції −ma . Позначимо через Rm суму цих масових сил, так що

R = mg −ma .	(2.2)
m

Знак мінус перед ma враховується з тієї причини, що при рухові системи відліку з прискоренням a на рідину діє сила інерції з прискоренням - a .

13

Рисунок 2.3

Оскільки рідина знаходиться у стані спокою, рівнодіюча сил RS і Rm

дорівнює нулю, тобто
RS + Rm = 0.	(2.3)
Позначимо через RSi і Rmi проекції відповідних сил RS	і Rm на осі Oxi (i =1,2,3 )
і перепишемо векторне рівняння (2.3) у проекціях:	(2.4)
Rsi + Rmi = 0.
Знайдемо вирази для Rsi і Rmi . На елемент поверхні ds	діє стискуюче зусилля,
тобто сила тискуdRS , величина якої дорівнює, згідно з (2.1),
dRS = Pds.	(2.5)
Рівняння (2.5) записують у векторній формі так
	(2.6)
dRS = −Pnds.

де n – одиничний вектор зовнішньої нормалі до ds , який характеризує

орієнтацію площадки ds	у просторі. Знак мінус у правій частині рівняння
(2.6) враховується тому,	що вектор dRS спрямований у бік,	протилежний
напрямку вектора n (див. рисунок 2.3).
Перепишемо рівняння (2.6) у проекціях на осі Oxi ,		(2.7)
	dRsi = −Pnids,

де ni – проекція вектора n на ось Oxi . У результаті інтегрування обох частин рівняння (2.7) по поверхні S одержимо вираз:

Rsi = −∫Pnids.	(2.8)
S

Якщо у (2.8) перетворити за відомою формулою Остроградського інтеграл по поверхні S в інтеграл по об’єму W , то вираз (2.8) набуває вигляду:

Rsi = −∫	∂P	dV.	(2.9)
	∂x
W	i

Тепер переходимо до визначення величини Rmi .

Позначимо через Fi питому силу Rmi , віднесену до одиниці маси рідини m в об’ємі W , тобто Fi = Rmi / m . Очевидно, що величина Fi має розмірність прискорення, тому на основі (2.2) можемо написати

14

Fi = gi −ai ,

(2.10)

де gi і ai – проекції векторів прискорення вільного падіння і прискорення

переносного руху.

Отже, Fi є алгебраїчною сумою проекцій масових сил, віднесених до одиниці маси, на відповідну ось Oxi .

На елемент маси рідини dm діє масова сила dRmi , яка дорівнює dRmi = Fidm,

або, зважаючи на те, що dm = ρdW ,	(2.11)
dRmi = ρFidW.
Проінтегрувавши рівняння (2.11) по об’єму W , одержимо:	(2.12)
Rmi = ∫ρFidW.
W

Отож, знайдені вирази для Rsi та Rmi , яким відповідають формули (2.9) та (2.12). Підставивши їх у рівняння (2.4), будемо мати

			∂P		(2.13)
	∫	−		+ ρFi dW = 0.
			∂x
	V		i

Для довільного об’єму W інтеграл (2.13) може дорівнювати нулю лише за умови, що вираз, який знаходиться під знаком інтеграла, дорівнює нулю. Так що

−

∂P

+ ρF = 0.

(2.14)

∂xi i

(i =1,2,3)

Тепер координатні осі Ox1, Ox2 , Ox3 перепозначимо для зручності через Ox, Oy, Oz відповідно. При цьому будемо вважати, що осі Ox, Oy розташовані

у довільній горизонтальній площині, яка називається площиною порівняння, а ось Oz перпендикулярна до цієї площини і направлена вгору. У нових позначеннях координатних осей рівняння (2.14) перепишемо у вигляді:

∂P	= ρF ;
∂x	x
∂P	= ρF ;		(2.15)
∂y	y
∂P	= ρFz .
∂z

Ці рівняння називаються основними диференційними рівняннями рівноваги рідини (рівняння Ейлера). Вони носять загальний характер і описують як відносну, так і абсолютну рівновагу рідини. На основі цих рівнянь одержують диференційне рівняння поверхні рівня та основне рівняння гідростатики.

15

2.4 Диференційне рівняння і властивості поверхні рівня

Поверхнею рівня або, що одне і те саме, поверхнею рівного тиску називається поверхня, на якій P = const . Рівняння поверхні рівня у диференційній формі отримуємо із рівнянь (2.15). Для цього помножимо перше рівняння на dx , друге наdy , третє на dz і почленно складемо ці

рівняння:

∂P dx +	∂P dy +	∂P dz = ρ(Fxdx + Fy dy + Fz dz).	(2.16)
∂x	∂y	∂z

Ліва частина цього рівняння є не що інше, як повний диференціал тиску dP . Оскільки в усіх точках поверхні рівня гідростатичний тиск однаковий, тобто P = const , то dP = 0 і із (2.16) одержимо:

Fxdx + Fy dy + Fz dz = 0.

(2.17)

Це і є диференційне рівняння поверхні рівня. Враховуючи, що поверхнею рівня є, зокрема, вільна поверхня, використання рівняння (2.17) дозволяє визначити форми вільної поверхні для різних випадків рівноваги рідини.

Рисунок 2.4

Для прикладу спробуємо визначити форму вільної поверхні рідини у цистерні, яка рухається горизонтально з прискоренням a (рисунок 2.4). Помістимо початок координат у точці перетину лінії дна з вертикальною оссю, яка проходить через центр цистерни. Сумістимо ось Ox з напрямком

руху цистерни, а ось	Oz спрямуємо уверх. У заданій системі координат
маємо:	Fx = −a, Fy = 0,	Fz = −g,
при цьому знак мінус	перед g написано	тому, що проекція вектора g ,

спрямованого у від’ємній бік осі Oz , є від’ємною.

Підставивши ці значення Fx , Fy , Fz у рівняння (2.17), одержимо:

−adx − gdz = 0

або

16

dz = − ag dx.

Інтегрування цього рівняння дає:

z = − ag x +C,

де константу інтегрування C можна визначити, зокрема, із умови: z = H при x = 0 . Тоді

z = − ag x + H.

Звідси випливає, що вільною поверхнею рідини у цистерні є взагалі-то нахилена площина, нахил якої залежить від знаку та величини прискорення a . Так, вільній поверхні при прискореному русі цистерни (a > 0) відповідає

площина 1, зображена на рисунку (2.4); при сповільненому русі (a < 0) – площина 2; а при рівномірному русі (a = 0) – площина 3.

Відмітимо також, що у випадку абсолютного спокою рідини, яка знаходиться, наприклад, у нерухомій цистерні, величини Fx = 0, Fy = 0,

Fz = −g , тому рівняння (2.17) набуває вигляду

−gdz = 0,

а після інтегрування

z = C = const.

Оскільки C = const – довільна стала, то це рівняння описує сімейство горизонтальних площин. Тому у випадку абсолютного спокою довільна горизонтальна площина в рідині, у тому числі і вільна поверхня, є поверхнею рівня.

Відмітимо властивості поверхні рівня: дві поверхні рівня не перетинаються між собою; зовнішні масові сили направлені нормально до поверхні рівня.

Контрольні питання

1.Дайте визначення масових і поверхневих сил, які діють на рідину.

2.Що означає абсолютний і відносний спокій рідини?

3.Що таке гідростатичний тиск у точці рідини? Які його властивості і одиниці?

4.Який порядок виводу диференційних рівнянь рівноваги рідини?

5.Що називається поверхнею рівня? Назвіть її властивості.

6.Яку форму має вільна поверхня у випадку абсолютного спокою рідини? Наведіть приклади вільної поверхні у випадку прискореного переносного руху рідини.

17

ЛЕКЦІЯ 3

Рівновага рідини під дією сили тяжіння

3.1 Основне рівняння гідростатики, його фізичний і геометричний смисл. Поняття абсолютного, надлишкового і вакуумметричного тиску

Якщо рідина знаходиться лише у полі дії сили земного тяжіння і, крім неї, жодні інші масові сили не діють, то проекції масової сили будуть рівні:

Fx = 0, Fy = 0, Fz = −g ,

і тому диференційні рівняння рівноваги (2.15) набувають вигляду:

	∂P	= 0;			(3.1)
	∂x
	∂P		= 0;		(3.2)
	∂y
	∂P			= −ρg.	(3.3)
	∂z

Із перших двох рівнянь (3.1) і (3.2) випливає, що у всіх точках будь-якої горизонтальної площини в рідині гідростатичний тиск однаковий, тобто ця площина – поверхня рівня. Нагадаємо, що такий самий результат було одержано у лекції 2 на основі диференційного рівняння поверхні рівня. Із третього рівняння (3.3) випливає, що у полі сили земного тяжіння гідростатичний тиск змінюється лише по висоті, тобто P є функцієюz . Так що рівняння (3.3) треба переписати у вигляді:

dPdz = −ρg,

а після інтегрування –

P +γ z = const,	(3.4)
так як ρg =γ – питома вага рідини. Рівняння (3.4)	називають основним

рівнянням гідростатики.

Оскільки рівняння (3.4) справедливе для будь-якої висоти z , у тому числі для фіксованої z0 , якій відповідає тиск P0 , то можемо написати

P +γ z = P0 +γ z0.
Звідси
P = P0 +γ (z0 − z).	(3.5)
18

Рівняння (3.5) свідчить про те, що у полі сили земного тяжіння гідростатичний тиск змінюється по висоті за лінійним законом.

Тепер поділимо рівняння (3.4) на сталу величину γ і перепишемо його у вигляді

	P	+ z = const.	(3.6)
	γ

Зрозуміло, що кожне із рівнянь (3.5) і (3.6) є по суті тим самим рівнянням (3.4), але записаним в іншій відповідній формі. Тому не дивно, що в підручниках з гідравліки основним рівнянням гідростатики називають також

рівняння (3.5)	або (3.6).
Якщо z0	і z – висоти розташування вільної поверхні рідини і довільної
точки, яка знаходиться на заглибленні h = z0 − z		від вільної поверхні, то
рівняння (3.5)	набуває вигляду
	P = P0 +γh,	(3.7)

де P0 – зовнішній тиск на вільну поверхню; γh – ваговий тиск стовпа рідини

висотою h . Якщо рідина знаходиться у відкритому резервуарі, то зовнішній тиск P0 дорівнює атмосферному тиску Pa . У випадку, коли рідина

знаходиться у закритому резервуарі, тиск P0 може бути взагалі-то більшим, меншим або рівним Pa .

Розрізняють абсолютний, надлишковий (понадатмосферний) і вакуумметричний тиск. Абсолютним у заданій точці називається тиск P , який складається із зовнішнього і вагового тиску і визначається за формулою (3.7). Зокрема, якщо на вільну поверхню діє атмосферний тиск Pa , то

P = Pa +γh.			(3.8)
Звідси
h =	P − Pa	.	(3.9)
	γ
Абсолютний тиск P не може бути від’ємним,			в той час як різниця тисків
P − Pa може бути і більше, і менше нуля. Тиск

PM = P − Pa > 0

називається надлишковим або манометричним тиском, оскільки він вимірюється за допомогою манометра. В такому разі ваговий тиск γh є

надлишковим тиском, а висота h			стовпа рідини, що відповідає тискові PM ,
тобто	h = PM / γ ,	називається	п’єзометричною	висотою.	Слово

„п’єзометрична” походить від злиття двох грецьких слів, із яких перше

19

означає „тиск”, а друге – „міра”. Для вимірювання цієї висоти користуються п’єзометром, який являє собою вертикальну трубку, один кінець якої відкритий, а другий сполучений з посудиною на рівні z від площини порівняння О-О, на якому вимірюється тиск (рисунок 3.1). Якщо на тому самому рівні z підключити до посудини трубку, верхній кінець якої закритий, і із неї відкачати повітря, то рідина в ній підніметься на висоту hA ,

яка відповідає абсолютному тиску. Висота hA називається абсолютною

п’єзометричною висотою. Отже, величина

h = PM / γ

показує висоту підняття рідини у відкритій трубці, а величина hA = γP

– висоту підняття рідини у закритій трубці з відкачаним повітрям.

Рисунок 3.1

Якщо у (3.9) величина P − Pa < 0 , то недостача абсолютного тиску до

атмосферного називається вакуумом (від латинського слова „пустота”) або вакуумметричним тиском

	а відповідна йому висота	Pвак = Pa − P ,						(3.10)
			P − Pa		Pa − P
	h	= −		=			,	(3.11)
	вак		γ			γ

– вакуумметричною висотою.

Прикладом може бути висота, на яку підніметься рідина у вертикальній трубці, верхній кінець якої закритий, а нижній, занурений у рідину, відкритий, якщо із трубки частково чи повністю викачати повітря (рисунок

3.2).

20