методичка по гидравлика № 130

тиску за величиною і напрямком досить обчислити її проекції на осі Ох і Оz. Запишемо векторне рівняння (4.10) у проекціях на осі Ох і Оz:

	dRx = PBnxdl;	(4.11)
	dRz = −PBnz dl,	(4.12)
де nx і nz	– проекції одиничного вектора n зовнішньої нормалі до dS на осі
Ох і Оz	відповідно. У заданій системі координат проекція	nx < 0 , тому у

правій частині рівняння (4.11) ураховується знак плюс. У правій же частині рівняння (4.12) залишено знак мінус, позаяк проекція nz > 0 .

Оскільки проекції nx і nz дорівнюють косинусам кутів між вектором n і відповідними осями Ох і Оz, легко переконатися, що величини nx dl і nz dl є

проекціями елемента довжини dl на площини, перпендикулярні до осей Ох і Оz відповідно, і тому nx dl = dh , nz dl = dx . У такому разі рівняння (4.11) і (4.12)

можемо записати з урахуванням виразу для надлишкового тиску P = γh у вигляді

dRx =γ Bhdh;	(4.13)
dRz = −γ Bhdx.	(4.14)

Проінтегрувавши ці рівняння, одержимо вирази для проекцій результуючої сили тиску на осі Ох і Оz відповідно,

Rx =γ BH∫hdh =	1 γ BH 2	;	(4.15)
0	2
в		′	(4.16)
Rz = −γ B∫h(x)dx = −γ BS ,
a
де h(x) – функція, яка описує криву ав, а
S′ = ∫в h(x)dx			(4.17)
a

– площа (див. площу, покриту на рисунку 4.4 штриховкою). Тому рівняння (4.16) можемо переписати у вигляді

Rz = −γW ,

(4.18)

де W = BS′ – об’єм стовпа рідини, який опирається на криволінійну поверхню і обмежений зверху вільною поверхнею. Такий стовп рідини називається тілом тиску об’ємом W . На підставі рівнянь (4.15) і (4.18) можемо зробити наступні висновки:

1.горизонтальна складова Rx сили тиску на циліндричну поверхню дорівнює силі тиску рідини на плоску фігуру, яка є проекцією цієї поверхні на вертикальну площину;

2.вертикальна складова сили тиску на циліндричну поверхню дорівнює, із знаком мінус, вазі рідини в об’ємі тіла тиску.

31

Отже, обчисливши проекції Rx і Rz , можемо визначити величину сили тиску R :

R= Rx2 + Rz2 ,

анапрям лінії її дії найдемо за направляючими косинусами вектора R :

cos α =	Rx	,	cos β =	Rz	,
	R			R

де α і β – кути між вектором R і відповідними осями Ох і Оz.

На рисунку 4.4 рідина знаходиться під циліндричною поверхнею, тому рідке тіло тиску у даному випадку є уявним і позначується знаком мінус.

Рисунок 4.5

Покажемо на рисунку 4.5 випадок, коли рідина знаходиться над циліндричною поверхнею. У даному випадку тіло тиску лежить в області реальної, а не уявної рідини. Таке тіло називається справжнім тілом тиску і позначається знаком плюс. Міркуючи, як і вище, можна показати, що горизонтальна проекція сили тиску у даному випадку точно така сама, як і у випадку уявного тіла тиску, а вертикальна проекція відрізняється від аналогічної проекції у випадку уявного тіла тиску лише знаком, тобто

Rz = +γW.

(4.18)

Користуючись поняттям тіла тиску, визначимо силу тиску на занурену у нерухому рідину замкнуту циліндричну поверхню, твірна якої перпендикулярна до вертикальної площини, а поперечний переріз – довільна фігура (рисунок 4.6).

Рисунок 4.6

32

При показаному на рисунку 4.6 розташуванні координатних осей Ох і Оz проекція вектора сили тиску на ось Ох дорівнює нулю, тому величина результуючої сили тиску на циліндр дорівнює:

R = Rx2 + Rz2 = Rz2 = Rz .

Визначимо силу Rz . Для цього уявно розділимо поверхню циліндра на дві

частини: верхню авс і нижню аdc. Згідно з (4.18), на нижню частину поверхні діє сила тиску

Rz′ = −γW ′,

де W ′ = BSadcef′ – об’єм тіла тиску щодо нижньої частини поверхні аdc.

На верхню частину поверхні діє сила тиску Rz′′, яка дорівнює, згідно з

(4.18),

Rz′′=γW ′′,

де W ′′ = BSa′′вcef – об’єм тіла тиску щодо верхньої частини поверхні авc. Результуюча сила тиску рідини на циліндр дорівнює:

Rz = −γ (W ′−W ′′)= −γW ,

де W = BSaвcd – об’єм циліндра.

Отже, на циліндр діє виштовхувальна сила – сила Архімеда. Тому поняття тіла тиску часто використовують для доказу дії сили Архімеда на будь-яке тіло, занурене у рідину.

Контрольні питання

1.Як визначається сила надлишкового тиску рідини на плоску поверхню? Чи залежить її величина від орієнтації цієї поверхні у просторі?

2.Що називається центром тиску? Як він визначається за епюрою тиску?

3.Що таке гідростатичний „парадокс”? Дайте фізичне пояснення йому.

4.Як визначається сила надлишкового тиску рідини на циліндричну поверхню? Що називається тілом тиску?

5.Наведіть приклади уявного та справжнього тіл тиску.

6.Чи відрізняються складові сили тиску рідини на циліндричну поверхню у випадку реального тіла тиску від складових сили тиску у випадку уявного тіла тиску? Якщо відрізняються, то чим саме?

33

ЛЕКЦІЯ 5

Гідродинаміка. Гідравлічні рівняння нерозривності і руху рідини

5.1 Поняття про лінію току, елементарну струминку та струминну модель потоку рідини

Гідродинаміка – розділ гідравліки, в якому розглядають закони руху рідини в трубах, каналах, руслах тощо.

На відміну від рідини, яка знаходиться у стані спокою, і основним параметром якої є тиск, для потоку рідини основними параметрами є тиск, сили в’язкого тертя і швидкість руху рідини. Оскільки рідина розглядається у гідравліці як неперервне середовище, яке суцільно заповнює ту чи іншу область простору, кожна точка об’єму рідини характеризується певними значеннями вищеназваних гідродинамічних параметрів, тому ці параметри у загальному випадку є функціями просторових координат і часу. Рух рідини у кожній точці якої гідродинамічні параметри змінюються у часі, називається нестаціонарним або, інакше, неусталеним рухом. При стаціонарному (усталеному) русі гідродинамічні параметри потоку залежать від просторових координат.

Основна задача гідродинаміки – встановити функціональний зв’язок між названими вище гідродинамічними параметрами для того чи іншого потоку рідини та визначити силову взаємодію потоку з твердими границями.

Лінія току являє собою криву, проведену у потоці так, що вектори швидкості руху рідини у всіх точках цієї кривої у даний момент часу співпадають за напрямком з дотичною до неї (рисунок 5.1, а). Не слід у загальному випадку змішувати поняття лінії току і траєкторії. Траєкторія – це просторовий слід індивідуальної рухомої частинки рідини в послідовні моменти часу, тоді як лінії току характеризують напрям руху різних частинок рідини (картину течії) у фіксований момент часу. Лише у випадку стаціонарного руху рідини, коли лінії току не змінюються в просторі протягом часу, вони співпадають з траєкторіями.

Елементарна струминка – це частина рідини, яка обмежена поверхнею, утвореною лініями току, які проходять через усі точки периметра елементарної площадки, перпендикулярної до вектора швидкості (рисунок 5.1, б). Елементарна струминка характеризується тим, що її бічна поверхня є непроникною для рідини, тому цю поверхню можна розглядати у вигляді трубки, всередині якої тече рідина. Така трубка називається трубкою току. Швидкість руху рідини у всіх точках поперечного перерізу струминки вважається однаковою через те, що площа цього перерізу d є нескінченно малою величиною. Швидкість і площа поперечного перерізу елементарної струминки взагалі-то можуть змінюватися як уздовж струминки, так і при

34

переході від однієї струминки до другої. Сукупність елементарних струминок являє собою струминну модель потоку.

Рисунок 5.1

З огляду на характер зміни ліній току і елементарних струминок у просторі, потоки бувають паралельно струминними та плавно- і різко змінними. В окремому випадку потоку, коли лінії току і елементарні струминки є, точно кажучи, паралельними, такий рух називають паралельно струминним (рисунок 5.1, в). Рух рідини, близький до паралельно струминного називають повільно або плавно змінним (рисунок 5.1, г, д). У даному випадку кривизна ліній току і кути взаємного розходження цих ліній незначні і ними можна нехтувати. У всіх інших випадках одержуємо рух, який називається різко змінним.

5.2 Живий переріз потоку і його елементи. Витрата і середня швидкість руху рідини

Переріз потоку, перпендикулярний до усіх ліній току, називається живим перерізом потоку. У випадку паралельних ліній току живий переріз потоку є плоским і тому його інколи називають ще поперечним перерізом. Плоскими є, зокрема, живі перерізи потоків у циліндричних трубах і призматичних каналах.

До елементів живого перерізу потоку відносяться його площа , змочений периметр , гідравлічний радіус R.

Змочений периметр – це частина периметра живого перерізу, яка межує з твердими стінками потоку (які, власне, змочуються рідиною).

35

Гідравлічним радіусом називається відношення площі живого перерізу до змоченого периметра:

R	.	(5.1)

Зокрема, для напірного потоку рідини в круглій трубі діаметром d елементи, і R живого перерізу визначаються так:

				d 2	,	(5.2)
		4				(5.3)
		d,
	R	d 2	: d d .			(5.4)
		4
					4

Переходимо до визначення витрати і середньої швидкості потоку. Витратою рідини Q називається об’ємна кількість рідини, що протікає

в одиницю часу через даний живий переріз. В СІ величина Q виражається в м3/с.

Аби знайти вираз для Q , будемо міркувати наступним чином.

Нехай у деякому поперечному перерізі елементарної струминки швидкість руху рідини дорівнює u . Ця швидкість називається локальною або місцевою швидкістю, оскільки вона може змінюватися при переході від одного поперечного перерізу струминки до другого або від однієї струминки до другої. Зрозуміло, що об’єм рідини, який проходить через даний поперечний переріз площею d за час dt , дорівнює u d dt , тоді як в одиницю часу проходить об’єм, рівний u d . Отже, витрата елементарної струминки dQ дорівнює:

dQ u d .

(5.5)

Витрата усього потоку дорівнює сумі витрат елементарних струминок, тому, проінтегрувавши рівняння (5.5) по усій площі живого перерізу , одержимо загальний вираз для Q :

Q u d .	(5.6)

Отже, для визначення величини Q у певному живому перерізі потоку

потрібно знати закон розподілу швидкості u по цьому перерізу. Однак при вирішуванні багатьох практичних задач закон розподілу швидкостей по живому перерізу не завжди відомий, тому для зручності розрахунків використовують поняття середньої швидкості V у живому перерізі. Середньою для даного живого перерізу швидкістю руху рідини називається умовна однакова для усіх точок перерізу швидкість, при якій витрата потоку буде та сама, що й при фактичних неоднакових у різних точках живого перерізу швидкостях (рисунок 5.2).

36

		Рисунок 5.2
Замінивши в (5.6)	місцеву	швидкість u на середню				швидкість	V ,
будемо мати:		Q V ,				(5.7)
де
		d .
Із (5.7) одержуємо вираз для середньої швидкості:
		V		Q		(5.8)
або, з урахуванням виразу (5.6),
	V		1		u d .	(5.9)
Згідно (5.9), величина V	дорівнює середньому значенню швидкостей u						по

усій площі живого перерізу. Звідси і зрозумілим стає смисл середньої швидкості.

Формули (5.7) і (5.8) мають важливе практичне значення, так як пов’язують параметри Q , V та , які використовуються при розв’язуванні

задач гідравліки.

Однак, треба підкреслити, що поняттям середньої швидкості користуються лише у випадках паралельно струминного та плавно змінного рухів рідини. Окрім цього, з поняттям цієї швидкості тісно пов’язані поняття рівномірного і нерівномірного рухів рідини. При рівномірному русі середня швидкість не змінюється уздовж потоку. В іншому випадку рух нерівномірний.

37

5.3 Гідравлічні рівняння нерозривності і руху рідини

Оскільки рух рідини характеризується трьома взаємопов’язаними параметрами (тиском, середньою швидкістю та силами в’язкого тертя), для їх визначення потрібно мати три рівняння, які складають систему рівнянь. До них належать гідравлічне рівняння нерозривності, гідравлічне рівняння руху (рівняння Бернуллі) і рівняння гідравлічних опорів.

Розглянемо усталений потік, обмежений непроникними для рідини боковими стінками, і намітимо у ньому будь-які два живі перерізи 1-1 і 2-2 (рисунок 5.3). Цілком зрозуміло, що якщо рідина рухається без утворень розривів і пустот, то кількість рідини, яка втікає в одиницю часу через живий переріз 1-1, дорівнює кількості рідини, яка витікає в одиницю часу через переріз 2-2. Оскільки живі перерізи 1-1 і 2-2 вибрані довільно, доходимо до висновку, що витрата Q є сталою для усіх живих перерізів потоку, тобто

Q const.

(5.10)

Рівняння (5.10) називається гідравлічним рівнянням нерозривності і виражає закон сталості витрати уздовж потоку. Воно розповсюджується не тільки на плоскі, а й на криволінійні живі перерізи потоку У частковому випадку плоских або близьких до них живих перерізів, для яких величина Q

виражається залежністю (5.7), рівняння (5.10) набуває вигляду

V const

(5.11)

або, для будь-яких живих перерізів 1-1 і 2-2,

V1 1 V2 2 .

(5.12)

Рисунок 5.3

На підставі рівняння (5.12) можемо зробити висновки:

- середні швидкості обернено пропорційні площам живих перерізів потоку;

- при рівномірному русі площа живих перерізів є незмінною уздовж потоку.

Гідравлічне рівняння руху або, інакше, рівняння Бернуллі, одержимо наступним чином.

38

Розглянемо будь-який живий переріз усталеного плавно змінного потоку рідини. Через цей переріз в одиницю часу проходить маса рідини Q

з центром на висоті z від довільно вибраної площини порівняння. Підрахуємо повну механічну енергію E цієї маси рідини. Вона складається із

кінетичної енергії QV2 2 , потенціальної енергії тиску pQ і потенціальної енергії положення центра ваги живого перерізу gQz . Тобто

	E	QV 2	pQ gQz .	(5.13)
		2

Поділивши обидві частини рівняння (5.13) на вагу рідини gQ , одержимо:

	E	V 2		p	z ,	(5.14)
	gQ
		2g

де g .

Трьохчлен у правій частині рівняння (5.14) виражає не що інше, як повну механічну енергію в заданому живому перерізі потоку, віднесену до одиниці ваги рідини. Ця енергія називається повною питомою енергією. У випадку потоку ідеальної рідини, в якому відсутні сили тертя, повна питома енергія повинна зберігатися уздовж потоку, тобто є сталою величиною. Отож

	V 2		p	z const.	(5.15)
	2g

Рівняння (5.15) називається рівнянням Бернуллі для потоку ідеальної рідини, яке виражає закон збереження механічної енергії.

При переході до розгляду реальної в’язкої рідини рівняння (5.15) потребує свого коригування. Це зумовлено тим, що в реальній рідині повна питома енергія для всіх живих перерізів не може бути сталою, оскільки уздовж потоку розвиваються сили гідравлічного опору, які поглинають частину енергії. Тому при попутному переході від одного перерізу до другого повна питома енергія зменшується, що й треба урахувати в (5.15). Крім того, у виразі для питомої кінетичної енергії потрібно взагалі-то врахувати вплив нерівномірності розподілу швидкостей по даному живому перерізу. Тому для потоку реальної рідини рівняння (5.15) набуває вигляду

V 2		p	z h	const,	(5.16)
2g			вт

де – коефіцієнт кінетичної енергії (коефіцієнт Коріоліса), який враховує поправку на нерівномірність розподілу швидкостей по живому перерізу. Експериментально встановлено, що при рівномірному русі рідини в прямих трубах величина 1 , тому спрощено будемо вважати, що 1 , тобто коефіцієнт взагалі не будемо враховувати у рівнянні Бернуллі.

Величина hвт , яка входить у рівняння (5.16), – це затрата повної

питомої енергії на подолання гідравлічного опору уздовж потоку.

Таким чином, рівняння Бернуллі (5.16) для потоку реальної рідини є рівнянням балансу механічної енергії з урахуванням гідравлічних втрат. Його

39

енергетична інтерпретація: сума питомих енергій – кінетичної, потенціальної і втраченої – уздовж потоку є величина стала.

Для будь-яких двох живих перерізів 1-1 і 2-2 рівняння (5.16) записується так:

	V12		p1	z1		V22		p2	z2 hвт(1 2) ,	(5.17)
	2g					2g

де hвт(1 2) – втрата питомої енергії на ділянці між перерізами 1-1 і 2-2. Складові рівняння Бернуллі мають розмірність довжини і тому можуть

	бути зображені певними			висотами, які називаються напорами:	V 2	–
					2g
	швидкісний напір;	p	–	п’єзометричний напір; z – геометричний напір.

Геометрична інтерпретація рівняння Бернуллі: сума швидкісного, п’єзометричного, геометричного і втраченого напорів уздовж потоку не змінюється (рисунок 5.4).

Сума напорів

	V 2		p	z H ,	(5.18)
	2g

називається гідродинамічним або повним напором H у даному живому перерізі, а сума

	p	z Hn	(5.19)

– потенціальним напором Hn . Для рівномірних потоків рідини кожен із напорів H і Hn зменшується уздовж потоку, описуючи пряму лінію (рисунок

5.4). Лінія, яка зображує повний напір H , називається напірною лінією, а лінія, яка зображує потенціальний напір Hn – п’єзометричною лінією. Нахил

цих ліній однаковий і залежить від величини втрат напору. В нахилених до горизонтальної площини прямих трубах, уздовж яких середні швидкості не змінюються, втрати гідродинамічного напору відбуваються за рахунок

зменшення потенціального напору p z , тоді як в горизонтальних прямих трубах – за рахунок зменшення п’єзометричного напору p або, інакше, за

рахунок зменшення тиску p , позаяк величина const .

Відношення величини втрати напору hвт на даній розрахунковій

ділянці до довжини l цієї ділянки називається гідравлічним нахилом або питомими втратами напору і позначається символом i . Зокрема для рівномірного потоку на ділянці між будь-якими двома живими перерізами 1- 1 і 2-2, відстань між якими дорівнює l , гідравлічний нахил визначається так:

i	h		Hn	Hn	2 .	(5.20)
	вт		1	l
	l

40