методичка по гидравлика № 130

Рисунок 5.4

Слід підкреслити, що рівняння Бернуллі (5.16) чи (5.17) справедливе за умов, що рідина знаходиться у полі сили земного тяжіння, її рух усталений, паралельно струминний або плавно змінний. Тому це рівняння пишуть лише для тих живих перерізів, в яких рух рідини паралельно струминний або плавно змінний. Між цими перерізами потік може бути і різко змінним.

Проілюструємо застосування рівняння Бернуллі на прикладі трубки Вентурі, яка використовується для вимірювання витрати рідини в трубах. Трубка Вентурі конструктивно являє собою дві вмонтовані в горизонтальну трубу конічні круглі трубки А і В, вершини яких плавно з’єднані між собою (рисунок 5.5). При цьому діаметр у місці з’єднання повинен бути значно меншим від діаметра основної труби.

Рисунок 5.5

В перетинах 1-1 і 2-2 підключаються п’єзометри, за допомогою яких визначається різниця п’єзометричних напорів:

h p1 p2 .

41

Нехтуючи в рівнянні Бернуллі (5.17) втратами напору hвт і враховуючи, що z1 z2 , перепишемо це рівняння у вигляді:

V12

p1

V22

p2

.

2g

2g

Звідси різниця відміток п’єзометрів:

V22

V12

h

.

(5.21)

2g

2g

У цьому рівнянні маємо дві невідомі величини – V2 і V1 , тому до нього треба приєднати ще й рівняння нерозривності (5.12), із якого одержуємо V1 1 V2 2 , де 1 і 2 - площі перерізів 1-1 і 2-2. Визначивши швидкість

V2 V1 1 ,

2

виключимо її із (5.21). У кінцевому результаті будемо мати

	V	2gh	,
		1 2
	1

де 1 .

2

Витрата рідини в трубі визначається за формулою:

	Q V		2gh	,
			1 2
	1 1	1

В цій формулі не враховані втрата напору на ділянці між перетинами 1-1 і 2-2 та вплив звуження труби на коефіцієнт Коріоліса. Тому обчислена за нею витрата буде дещо більшою від фактичної витрати. Для знаходження фактичної витрати вводять тарировочний коефіцієнт , значення якого

менше одиниці. Зазвичай 0,95 0,97 .

Контрольні питання

1.Що таке лінія току і елементарна струминка? Назвіть властивості елементарної струминки.

2.Що називається живим перерізом потоку? Назвіть його елементи.

3.Що таке витрата і середня швидкість руху рідини у даному живому перерізі? Як ці величини пов’язані між собою?

4.Що являє собою гідравлічне рівняння нерозривності? Які наслідки випливають із нього?

5.Рівняння Бернуллі. Які передумови лежать в основі його виводу?

6.В чому полягає фізична (енергетична) інтерпретація рівняння Бернуллі?

7.В чому полягає геометрична інтерпретація рівняння Бернуллі?

8.Що називається гідродинамічним напором? Як він змінюється уздовж рівномірного потоку?

9.Що називається гідравлічним нахилом?

10.Що таке трубка Вентурі, та як за допомогою неї вимірюють витрату рідини в трубах?

42

ЛЕКЦІЯ 6

Гідравлічні опори і втрати напору при усталеному рівномірному русі рідини

6.1 Фізична природа і види гідравлічних опорів

При розв’язуванні практичних інженерних задач рівняння нерозривності (5.12) і рівняння Бернуллі (5.17) використовують сумісно. Але система цих двох рівнянь містить три невідомі величини: V , p, hвт . Для їх

визначення потрібно скласти третє рівняння, яке дає залежність втрат напору hвт від визначальних параметрів, що є однією із найважливіших задач

гідравліки.

Причиною втрати напору є різні за своєю природою гідравлічні опори, величина яких залежить від багатьох факторів, зокрема від витрати рідини, розміру і форми живого перерізу потоку, густини і в’язкості рідини тощо.

Втрати напору при русі рідини складаються із втрат напору на тертя hт і втрат на місцеві опори hм :

hвт hт hм .

(6.1)

Втрати напору на тертя пов’язані з різнодіючою сил гідравлічного опору, яка направлена у бік, протилежний напрямку руху рідини, і зумовлена тертям рідини до поверхні потоку (зовнішнє тертя) і тертям її шарів між собою (внутрішнє тертя). Гідравлічний опір тертя проявляється рівномірно по усій довжині потоку, тому на подолання його затрачується певна кількість механічної енергії hт , яку називають також втратою напору по довжині.

Окрім цього, на шляху руху рідини в окремих місцях можуть зустрічатися додаткові опори, пов’язані з різного роду перешкодами, наприклад, з раптовою зміною напрямку руху, раптовим розширенням чи звуженням труби, наявністю запірних приладів: засувок, вентилів тощо. Кожна із названих перешкод порушує в околиці місця свого розташування структуру потоку, через що і виникають додаткові гідравлічні опори. Втрати напору hм на подолання цих опорів називаються місцевими втратами напору

або втратами напору на місцеві опори.

Переходимо до розгляду режимів руху рідини, з якими пов’язані гідравлічні опори і втрати напору.

6.2 Режими руху рідини. Число і критерій Рейнольдса

Відрізняють два основні режими руху рідини: ламінарний і турбулентний.

У ламінарному потоці рідина рухається шарами з різними швидкостями без перемішування цих шарів. Турбулентний потік характеризується безладним, хаотичним перемішуванням частинок рідини. Кожен із цих

43

Reкр 2300

режимів руху рідини спостерігається при відповідних так званих зовнішніх умовах течії рідини. Змінюючи ці умови, можемо перейти від одного режиму руху до другого.

Існування ламінарного і турбулентного рухів рідини було експериментально виявлено у першій половині XIX століття англійським дослідником О. Рейнольдсом, який досить велику увагу приділив умовам, за яких ламінарний рух рідини в трубах перетворюється в турбулентний. Загальним критерієм переходу від ламінарного режиму потоку до турбулентного є безрозмірне число Рейнольда:

Re VL ,

де L − характерний розмір перерізу потоку, наприклад, діаметр труби d . При Re 2300 спостерігається ламінарний режим, а при Re 4000 - турбулентний. Число називається критичним числом Рейнольдса. Зона зміни

числа Re від 2300 до 4000 відноситься до перехідної зони.

6.3 Втрати напору на тертя. Коефіцієнт гідравлічного тертя. Гідравлічно гладкі і гідравлічно шорсткі труби

У випадку усталеного рівномірного руху рідини втрата напору hт на ділянці довжиною l визначається за розрахунковою формулою:

hт	l	V 2	,	(6.2)
	4R 2g

де − коефіцієнт гідравлічного тертя. Формула (6.2) носить загальний характер і справедлива для потоків в трубах і каналах з довільною формою живого перерізу. Зокрема, для круглих труб 4R d і тому ця формула переписується у вигляді

	hт	l	V 2 .	(6.3)
		d
			2g

Формула (6.3) називається формулою Дарсі і широко використовується для гідравлічних розрахунків трубопроводів.

Досліди показують, що коефіцієнт гідравлічного тертя у формулі Дарсі є у загальному випадку функцією числа

Re Vd	(6.4)

і відносної шорсткості d внутрішньої поверхні труби, де – середня висота

виступів так званої еквівалентної шорсткості.

Для ламінарного потоку величина залежить тільки від Re і визначається за формулою Пуазейля:

	64 .	(6.5)
	Re

Отже, особливістю ламінарного режиму руху рідини є те, що втрати напору по довжині не залежать від ступеня шорсткості внутрішньої поверхні

44

Re 4000

труби. Це фізично пояснюється тим, що у ламінарному потоці виступи шорсткості плавно обтікаються струминками рідини, внаслідок чого виникає лише гідравлічний опір тертя. При турбулентному обтіканні виступів шорсткості додатково виникає ще гідравлічний опір тиску, про що більш докладно буде сказано нижче.

У випадку турбулентного потоку усю зону чисел розділяють на три характерні області, в кожній із яких коефіцієнт обчислюється за відповідною формулою.

1. Область 4000 Re 10 d . В ній величина залежить лише від Re і не

залежить від d . Ця область відноситься до так званих гідравлічно гладких труб і визначається за формулою Блазіуса:

	0,3164 .	(6.6)
	Re0,25

Для того, аби фізично пояснити незалежність від d у даній області

необхідно розглянути структуру турбулентного потоку в трубі. Експериментальні дослідження показують, що турбулентний потік в

трубі можна розділити на дві області, які різко відрізняються за своєю структурою одна від одної. Безпосередньо біля стінок труби формується досить тонка область – так званий в’язкий прошарок завтовшки , у якому рух рідини ламінарний або близький до нього (рисунок 6.1, а). При цьому установлено, що товщина зменшується зі збільшенням числа Re .

Рисунок 6.1

Решта частина потоку – турбулентне ядро – є областю розвиненого турбулентного перемішування.

У діапазоні зміни чисел 4000 Re 10 d товщина в’язкого прошарку

набагато більша від , виступи шорсткості повністю затоплені у в’язкому прошарку, де і обтікаються у ламінарному чи близькому до нього режимах.

45

А так як, згідно (6.5) у ламінарному потоці шорсткість не впливає на , то й у даному випадку при наявності в’язкого прошарку товщиною

величина не залежить від d . Тому зрозумілим є смисл терміну „гідравлічно гладка труба”.

2. Область 10 d Re 500 d . Вона називається перехідною областю від

гідравлічно гладких до гідравлічно шорстких труб. У даному випадку товщина в’язкого прошарку мала порівняно з товщиною в’язкого прошарку у гідравлічно гладких трубах настільки, що виступи шорсткості сумірні з . Тому одна частина цих виступів може бути затопленою у в’язкому прошарку і обтікається у ламінарному режимі, а друга – виходить за межі в’язкого прошарку, „вклинюється” у турбулентне ядро і обтікається у турбулентному режимі (рисунок 6.1,б). Пояснимо фізичний механізм гідравлічного опору, пов’язаного з турбулентним обтіканням виступів шорсткості. У даному випадку рідкі частинки турбулентного ядра набігають на виступи, ударяються об них і утворюють на лобному боці виступів підвищений гідродинамічний тиск, в той час як на протилежному боці виступів частинки рідини відриваються від них, внаслідок чого виникає водоверть з пониженим тиском. Таким чином, у результаті дії підвищеного тиску з лобного боку виступів і пониженого з протилежного боку, виникає гідравлічний опір тиску, направлений проти течії.

Отже, в області зміни чисел	10 d	Re 500 d	одноразово діють

гідравлічний опір тертя і гідравлічний опір тиску, тому коефіцієнт

залежить від Re і	, і для його визначення рекомендується,			зокрема,
формула Альтшуля:	d
	68		0,25	(6.7)
	0,11		.
	Re		d

3. Область Re 500 d . Це область гідравлічно шорстких труб. У даному

випадку товщина в’язкого прошарку настільки мала, що усі виступи шорсткості повністю виходять за його межі (рисунок 6.1, в). У такому разі діє в основному гідравлічний опір тиску, тому коефіцієнт залежить тільки

від d і незалежить від Re . Для цієї області рекомендується формула Шифрінсона:

	0,25
0,11		.	(6.8)
	Re

Відмітимо, що при Re 10 d формула (6.7) практично співпадає з формулою

(6.6) для гідравлічно гладких труб, а при Re 500 d – з формулою (6.8) для цілком гідравлічно шорстких труб.

46

Рисунок 6.2

Графіки залежності від Re і d схематично зображені на рисунку 6.2,

де по осі абсцис відкладено lg Re , а по осі ординат − lg 100 . На цьому

рисунку прийнято наступні позначення: А, В і С − зони ламінарного, перехідного і турбулентного режимів руху рідини відповідно; I − область гідравлічно гладких труб; II − перехідна область від гідравлічно гладких до гідравлічно шорстких труб; III − область гідравлічно шорстких труб. Значенням lg Re =3,36 і lg Re =3,6 відповідають числа Re =2300 і Re =4000.

При русі рідини в трубі некруглого поперечного перерізу втрата напору hт визначається за формулою (6.2), а коефіцієнт − за формулами (6.5)-

(6.8), однак при визначенні числа Re ураховується, згідно з (5.4), величина 4R замість діаметра труби d , тобто використовується число

ReR 4VRv ,

яке враховує за допомогою гідравлічного радіуса R форму живого перерізу.

6.4 Втрати напору на місцеві опори

Місцеві втрати напору обчислюються за формулою Вейсбаха:

	hм	V 2	,	(6.9)
		2g

де – коефіцієнт місцевих опорів. При цьому швидкісний напір в (6.9)

обчислюють з урахуванням швидкості за місцевим опором.

Коефіцієнт у загальному випадку залежить від числа Re та від виду місцевого опору і його відносних розмірів. Величину визначають, як правило, на основі експериментальних досліджень. Значення коефіцієнтів можна знайти у підручниках чи довідниках з гідравліки. Лише у випадках

47

раптового розширення чи звуження труби уздовж потоку значення коефіцієнтів можна обчислити за теоретичною і напівтеоретичною

формулами відповідно.

У випадку раптового розширення труби (рисунок 6.3, а) втрати напору hм визначають за відомою теоретичною формулою Борда:

hм	V1 V2 2	,	(6.10)
	2g

яка читається так: втрати напору при раптовому розширенні дорівнюють швидкісному напору від втраченої швидкості.

Рисунок 6.3

Слід пам’ятати, що формула (6.10) одержана при певних припущеннях фізичного характеру, тому в цю формулу інколи вводять поправочний коефіцієнт, чисельне значення якого можна встановити лише експериментальним шляхом.

Перетворимо формулу (6.10) до іншого вигляду. Винесемо за дужки швидкість V2 , тоді одержимо:

V	2 V 2		m 1	2	V 2		,	(6.11)
hм 1	1	2				2
		2g				2g
V2

де m 2 d2 2 - ступінь раптового розширення потоку.

1 d1

48

Позначивши

m 1 2

,

(6.12)

одержуємо вираз для коефіцієнта місцевого опору на випадок раптового розширення труби.

У випадку раптового звуження труби уздовж потоку (рисунок 6.3,б)

V 2

коефіцієнт , віднесений до швидкісного напору 22g у вузькій трубі, рекомендується обчислювати за напівтеоретичною формулою Альтшуля:

		1		2
			1 ,
		0,57		0,043	,
				1,1 n
де n d2	2	– ступінь звуження потоку.
d1

Якщо уздовж потоку розташовано n формула (6.10) набуває вигляду

	n	V 2
	hм i	i	.
		2g
	i 1

(6.13)

(6.14)

різного роду місцевих опорів, то

(6.15)

Тут доречно відмітити, що просте сумування втрат у місцевих опорах справедливе лише у випадку, коли опори розташовані один від одного на відстані, яка перевищує довжину взаємного впливу і складає 30 40 d .

Контрольні питання

1.Що є причиною втрати гідродинамічного напору? Із яких втрат складаються повні втрати напору?

2.Що таке втрати напору на тертя і яка фізична природа їх?

3.Що таке втрати напору на місцеві опори і яка фізична природа їх?

4.Дайте визначення ламінарному і турбулентному рухам рідини. Що є критерієм переходу від одного із цих рухів до другого?

5.Що називається коефіцієнтом гідравлічного тертя? Від яких параметрів він залежить?

6.Що таке гідравлічно гладка і гідравлічно шорстка труби?

7.Як визначаються коефіцієнти місцевих опорів для раптового розширення і раптового звуження потоку?

49

ЛЕКЦІЯ 7

Закони розподілу швидкостей і дотичних напружень по перерізу круглої труби

Гідравлічні опори тертя при русі рідини в трубах тісно пов’язані з розподілом швидкостей і дотичних напружень по поперечному перерізу труби. Оскільки коефіцієнти гідравлічного тертя для ламінарного і турбулентного потоків підпорядковані різним законам, то й закони розподілу швидкостей у цих потоках теж різні при однакових законах розподілу дотичних напружень. Знайдемо ці закони розподілу на випадки ламінарного і турбулентного рівномірних рухів рідини в круглих трубах. При цьому мова йде про розподіли швидкостей і дотичних напружень по радіусу труби, позаяк течія рідини в круглій циліндричній трубі є осесиметричною.

7.1 Випадок ламінарного руху.

Розглянемо рух рідини в горизонтальній круглій трубі радіусом r0 . Як

відомо, у ламінарному потоці рідина рухається шарами з різними швидкостями без перемішування цих шарів.

Виділимо будь-який живий переріз потоку, що розглядається, і розіб’ємо його на концентричні нескінченно тонкі циліндричні шари. Перший шар, який знаходиться безпосередньо біля стінки труби, можна вважати нерухомим, оскільки рідина прилипає до стінки. Другий шар ковзає по першому, третій по другому тощо. Таким чином, з віддаленням шарів від стінки швидкість руху рідини неперервно збільшується і досягає максимального значення на осі труби (рисунок 7.1, а). Оскільки сусідні циліндричні шари рухаються з різними швидкостями, між цими шарами виникають сили тертя.

Рисунок 7.1

50