методичка по гидравлика № 130

або		(11.7)
Q 0 2gH .
Оскільки коефіцієнти швидкості і стиску струменя		залежать від умов
витікання, їх добуток замінюють за звичаєм одним коефіцієнтом витрати
,		(11.8)

який також завжди менший від одиниці. Тому у кінцевому результаті розрахункова формула для визначення витрати має вигляд

Q 0 2gH .

(11.9)

Коефіцієнти , і залежать у загальному випадку від числа Рейнольда:

	Re	VT d0		2gH d0	,
		v		v
	де VT 2gH – теоретична швидкість				витікання, і визначаються

експериментально. Залежності цих коефіцієнтів від числа Рейнольдса показані на графіку (рисунок 11.2). Бачимо, що при Re 105 коефіцієнти ,

і змінюються відповідним чином із зміною числа Re . Лише при великих

числах Re 105 ці коефіцієнти приймають практично сталі значення 0,97; 0,64; 0,62 відповідно.

Рисунок 11.2

Тут доречно відмітити, що знаючи коефіцієнт швидкості 0,97 при

Re 105 , можемо визначити, використавши формулу (11.6), коефіцієнт місцевих втрат напору в отворі 0 при таких же великих числах Рейнольдса.

Справді, із (11.6) одержуємо:

81

0 12 1.

Звідси 0 0, 0628 при 0,97 .

11.3. Траєкторія і дальнобійність струменя

Намітимо систему координат Оху з початком у центрі стиснутого перерізу струменя, який витікає через круглий малий отвір бічної стінки резервуара. Ось Ох направимо по горизонталі, а ось Оу - вертикально униз

(рисунок 11.3).

Виділимо довільний елемент струменя масою m і запишемо диференційні рівняння руху його центра мас у проекціях на осі Ох і Оу:

m d	2	2x
			Fx ,
dt				(11.10)
m d 2 y
			F ,
dt		2	y

Рисунок 11.3

де х і у – координати центра мас даного елемента струменя, а Fx і Fy –

проекції зовнішніх сил, які діють на цей елемент, на відповідні осі Ох і Оу. У випадку витікання в атмосферу силою тертя повітря до поверхні струменя можна нехтувати. Тому будемо вважати, що на виділений елемент струменя

діє лише сила тяжіння, так що Fx 0		і	Fy	mg . У даному випадку рівняння
(11.10) набувають вигляду:
	d 2 x	0,		(11.11)
	dt2
	d 2 y	g.		(11.12)
	dt2
Перший інтеграл рівняння (10.11)			дорівнює:
82

dx	V const	(11.13)
dt

і свідчить про те, що даний елемент струменя рухається у горизонтальному напрямку по інерції. Із (11.13) одержуємо, враховуючи, що x 0 приt 0 ,

			x Vt.							(11.14)
	Перший і другий інтеграли рівняння (11.12) мають вигляд:
			dy gt C1,							(11.15)
			dt
			y g t2	C t C			.			(11.16)
			2	1		2
								dy 0 і
	Оскільки у початковий момент часу			величина					y 0 ,	константи
								dt
	інтегрування C1 0 і C2 0 , тому із (11.16) одержуємо:
			y g t2 .							(11.17)
		x		2
	Із рівняння (11.14) маємо t		і, підставивши цей вираз замість t							в рівняння
	V
	(11.17), одержуємо:
			y	gx2	.					(11.18)
				2V 2

Отже, траєкторія струменя описується рівнянням параболи (11.18).

На основі рівняння (11.18) можна визначити дальнобійність струменя L відносно заданої горизонтальної площини, якщо центр круглого отвору бічної стінки резервуара знаходиться на висоті H0 від цієї площини (рисунок

11.3). Для цього досить підставити H0 і L замість у і х відповідно у рівняння

(11.18) і розв’язати одержане рівняння відносно L . У кінцевому результаті будемо мати:

L V	2H0	.	(11.19)
	g

Рівняння (11.18) використовують також для експериментального дослідження коефіцієнта швидкості витікання . Для цього на відстані у0

нижче центра отвору до резервуара прилаштовують горизонтальну лінійку, за допомогою якої встановлюються координати х0 і у0 точки перетину струмини з лінійкою. Підставляють х0 і у0 замість х і у в (11.18), після чого розв’язують одержане рівняння відносно швидкості витікання V :

V x0 2gy0 .

Далі визначають коефіцієнт швидкості за формулою:

2VgH ,

яка випливає із (11.5).

83

Приклад 1. Визначити швидкість витікання та витрату води через

круглий отвір у тонкій стінці,				площа якого 0, 005 м2, а сталий напір
						0
H 5 м. Кінематична в’язкість води 10 6 м2/с.
Розв’язування. У даному випадку теоретична швидкість витікання:
VT		2gH			2 9,81 5	9,9 м/с.
Діаметр отвору
d0		4 0			4 0, 005	0, 08 м.
					3,14
Число Рейнольдса для даного отвору
Re	VT d0		9,9 0, 08 7,92 105 105 ,
	v			10 6

тому коефіцієнт швидкості 0, 97 і коефіцієнт витрати 0,62 .

За формулами (11.5) і (11.9) обчислюємо швидкість витікання і витрату відповідно:

V 0,97 2gH 0,97 9,9 9, 6 м/с,

Q 0, 62 0, 005 2gH 0, 62 0, 005 9,9 0, 03 м3/с 30 л/с.

Приклад 2. Визначити дальнобійність струменя L відносно горизонтальної площини, якщо витікання рідини відбувається через круглий отвір бічної стінки резервуара під сталим напором H 1м, а центр отвору знаходиться на висоті H0 2 м від даної площини. Коефіцієнт швидкості

витікання 0, 97 .

Розв’язування. Для визначення відстані L насамперед обчислюємо швидкість витікання:

V 2gH 0,97

2 9,81 1 4, 43 м/с.

Далекість польоту струменя визначаємо за формулою (11.19):

	L V	2H0	4, 43	2 2		2,83 м.
		g		9,81

Контрольні питання

1.Що таке малий отвір і тонка стінка?

2.Фізична суть явища стиснення струменя при витіканні через малий круглий отвір? Що таке коефіцієнт стиску струменя?

3.Чи є сам отвір живим перерізом струменя? На якій відстані від внутрішньої грані стінки, в якій зроблено отвір, знаходиться початковий живий переріз струменя?

4.Як одержують формули для визначення швидкості і витрати при витіканні через малий круглий отвір при сталому напорі? Що таке коефіцієнти швидкості і витрати та від чого вони залежать?

5.Який вигляд має траєкторія струменя рідини у повітрі при виході із отвору у бічній тонкій стінці? Як визначається дальність польоту струменя?

6.Як експериментально визначають коефіцієнт швидкості?

84

ЛЕКЦІЯ 12

Витікання рідини під рівень та через великий отвір при сталому напорі

12.1 Витікання під рівень

Розглянемо випадок, коли у двох сполучених відкритих резервуарах рідина перетікає через затоплений круглий малий отвір із одного резервуара в другий (рисунок 12.1). Нехай у першому резервуарі рівень води відносно центра отвору дорівнює H1 , а у другому - H2 , при цьому H1 > H2 . Витікання

через затоплений отвір при напорі H H1 H2 називається витіканням під

рівень. Сталість напору H забезпечується, якщо у перший резервуар неперервно подавати, а з другого неперервно забирати рідину з однаковою витратою.

Рисунок 12.1

Для визначення швидкості і витрати при витіканні під рівень намітимо розрахункові перерізи 1-1 на поверхні рідини у першому резервуарі і 2-2 на поверхні рідини у другому, при цьому площину порівняння проведемо через центр отвору.

Рівняння нерозривності, записане для цих двох перерізів, дає тривіальний результат Q1 Q2 , тому що міркувати про співвідношення

швидкостей у цих перерізах немає у даному випадку сенсу, так як обидва резервуари вважаються великими. Єдиним припущенням щодо цих швидкостей є те, що вони малі порівняно зі швидкістю перетікання V через отвір.

Отже, якщо нехтувати на підставі вищевикладеного швидкісними напорами у розрахункових перерізах і врахувати, що в цих перерізах тиск

85

однаковий і дорівнює атмосферному тиску, то рівняння Бернуллі запишеться у вигляді

H1 H2 hм ,

(12.1)

де hм – місцеві втрати напору в отворі. Вони складаються у даному випадку із втрат напору hм,1 при вході в отвір (різке звуження) і втрати напору hм,2 при виході із отвору у резервуар (різке розширення), тобто

hм hм,1 hм,2

або, з урахуванням формули Вейсбаха (6.9),

	hм 0	в	V 2	,	(12.2)
			2g
де 0 –	коефіцієнт опору на вході в отвір, а в –				коефіцієнт опору на виході

із отвору. При достатньо великих розмірах другого резервуара весь швидкісний напір потоку, який виходить із отвору, гаситься у масі рідини в цьому резервуарі. У даному випадку по аналогії з виходом рідини із труби у великий резервуар, можна вважати, що в 0 , тому вираз (12.2) набуває

вигляду

hм 0	V 2 .	(12.3)
	2g

В результаті підстановки виразу (12.3) в (12.1) та подальших елементарних перетворень одержуємо:

V	1		2g H1 H2
	1 0
або	2g H1		H2 2gH .
V				(12.4)

Отже, при витіканні під рівень швидкість визначається за звичайною формулою (11.5) за умови, що H H1 H2 . Аналогічно витрата:

Q 0

2g H1 H2 0 2gH .

(12.5)

Експериментально встановлено, що значення коефіцієнтів витрати і швидкості при затопленому отворі близькі до їх значень при незатопленому отворі.

86

12.2 Витікання через великий отвір

Розглянемо довільний отвір вертикальної тонкої стінки, через який рідина витікає в атмосферу (рисунок 12.2, а, б). Позначимо через a відстань між крайніми верхньою і нижньою точками отвору, а через H1 і H2 –

відповідні геометричні напори у цих точках. У даному разі

	H2	H1	a H1			a
				1			.
						H1

	Отвір	вважається великим,	якщо	a	0,1. Виділимо на довільній
				H1
	глибіні h	горизонтальну смужку	в площі		отвору з нескінченно малою

висотою dh . Для такої смужки напір буде у всіх точках однаковий, тому для неї можна застосувати відомі формули для малого отвору. Оскільки площа даної елементарної смужки d b h dh , елементарна витрата рідини dQ буде

дорівнювати:

dQ b h dh 2gh,

(12.6)

де b h – ширина отвору на глибині h .

Рисунок 12.2

Коефіцієнт витрати , який входить до (12.6), взагалі-то залежить від змінної h , але, зважаючи на те, що визначається емпірично і в

розрахункових формулах береться його середнє значення, будемо вважати,

що const .

Витрата через увесь отвір визначається у загальному випадку за формулою:

	H2
Q	2g b h hdh .	(12.7)
	H1
	87

Зокрема, для прямокутного отвору	висотою a		і шириною	b , величина
b const , і у даному випадку формула (12.7) набуває вигляду
	H2
Q b	2g	hdh ;
інтегруючи, одержуємо:	H1
Q 2 b	2g H23/ 2 H13/ 2		.	(12.8)
3

Формула (12.8) називається формулою Вейсбаха. Інколи її приводять до

вигляду (11.9). Для цього виразимо напори H1 і H2																							через напір									H в центрі
отвору											H a
									H1									;
															2
									H2		H a							,
															2
і розкладемо вирази для H13/ 2							і H23/ 2 у біноміальні ряди:
3/ 2		a 3/ 2		3/ 2		3		1/ 2	a		3		1		1				1/ 2	a	2		3		1		1			3/ 2	a		3	... ;
H1	H		H				H										H												H
						2			2		2		2		2!								2		4		3!					2
		2																		2
3/ 2		a 3/ 2		3/ 2		3		1/ 2	a		3		1		1				1/ 2	a	2		3		1		1			3/ 2	a		3	... .
H2	H		H				H										H												H
						2			2		2		2		2!								2		4		3!					2
		2																		2

Віднімемо від другого виразу перший. В результаті одержимо у першому наближенні:

H23/ 2 H13/ 2	3					a		2			(12.9)
		H a 1								.
					96H				2
	2
Підставивши вираз (12.9) в (12.8), будемо мати, ураховуючи, що ba 0 ,
				a	2						(12.10)
Q 0	2gH 1							.
				96H		2

При a H вираз у дужках практично не відрізняється від одиниці і формула (12.10) переходить у формулу (11.9) для малих отворів.

Аналогічно можна одержати вираз для витрати через круглий великий отвір діаметром d0 :

			2
Q 0	2gH 1		d0		.	(12.11)
			128H	2

Відмітимо, що дослідних даних для великих круглих отворів порівняно небагато, а існуючі рекомендації щодо коефіцієнтів витрати часто суперечливі. Тому слід дотримуватися середнього значення 0,675 при

Re 105 .

88

Приклад 1. Визначити площу 0 затопленого отвору квадратної

форми, розміщеного на вертикальній стінці, яка розділює два відкриті резервуари, якщо витрата води через отвір Q 1м3/с, а рівень води відносно

центра отвору дорівнює H1 5 м у першому резервуарі і H2 3 у другому. Розв’язування. Згідно з формулою (12.5), витрата

Q 0 2g H1 H2 .

Звідси

0	Q
		.
	2g H1 H2

Для квадратного отвору коефіцієнт витрати можна прийняти рівним 0,7. Тоді

0			1	0, 23 м2.
			9,81 5 3
	0, 7 2

Приклад 2. Визначити витрату води через великий квадратний отвір площею 0 0, 09 м2, зроблений у вертикальній стінці резервуара. Глибина

занурення верхнього ребра отвору H1 2 м, а нижнього - H2 2,3 м. Розв’язування. Прийнявши коефіцієнт витрати рівним 0,7, витрату

води визначаємо за формулою Вейсбаха (12.8):

Q 2 b	2g H23/ 2 H13/ 2						2 0, 7 0,3		2 9,81 2,33/ 2 23/ 2 0, 41 м3/с.
3							3
Тепер обчислимо Q за формулою (12.10):
										a	2
				Q 0				2gH 1
										96H		2
з урахуванням H H1		0		2		0,3		2,15 м іa				0			0,3 м, одержуємо:
		2					2
											2
	Q 0, 7 0, 09			2 9,81 2,15 1					0,3						0, 41 м3/с.
									96 2,15				2

Отож, обидві формули (12.8) і (12.10) у даному випадку дають один і той самий результат.

Контрольні питання

1. Що таке витікання під рівень?

2.Який вигляд має рівняння Бернуллі на випадок витікання під рівень?

3.Коли отвір вертикальної стінки резервуара називається великим?

4.Як одержують у загальному випадку формулу для визначення витрати при витіканні через великий отвір при сталому напорі?

89

ЛЕКЦІЯ 13

Витікання рідини через малий отвір при змінному напорі

13.1 Основне рівняння

Нехай на дні наповненого рідиною відкритого резервуара, який має форму прямої призми, міститься малий круглий отвір, через який рідина витікає в атмосферу (рисунок 13.1). Якщо в процесі витікання відсутнім є приток рідини в резервуар, рівень рідини в резервуарі буде понижуватися, а отже витрата і швидкість витікання будуть змінюватися за часом, тобто витікання рідини буде неусталеним.

Рисунок 13.1

При заданих: площі отвору 0 , площі дна резервуара p та початковому рівні H0 задача полягає в тому, аби знайти:

−закон зміни рівня H за часом t ;

−час t , протягом якого рівень понизиться від H1 до H2 ;

−час повного випорожнення резервуара tn ;

−зміну витрати і швидкості витікання за часом.

Для розв’язання цих задач потрібно насамперед скласти диференційне рівняння, яке описує нестаціонарний процес витікання. Таке рівняння називається основним рівнянням. Складемо його, виходячи із наступних міркувань.

Спочатку нагадаємо, що у випадку усталеного витікання витрата Q –

це об’ємна кількість рідини W , яка витікає в одиницю часу t	через отвір,
тобто
Q W .	(13.1)
t
90