Пособие ТОКН

решение которого в важном частном случае μ = const	имеет простой вид:
P (t) =1 − e−μt .	(3.6)
в
μ

I

II

III

t

Рис. 3.9. Идеализированный график интенсивности восстановления

3.7.3. Среднее время восстановления Аналогом среднего времени безотказной работы является среднее время

восстановления, определяемое как математическое ожидание случайной величины Tр:

Tв = M[Tp ] .

При μ = const получаем простое соотношение

T	=	1 .	(3.7)
в		μ

3.8. Комплексные показатели надежности

Многие технические объекты являются обслуживаемыми – после отказов их элементов они подлежат восстановлению. Для таких объектов дополнительно используются комплексные показатели надежности, учитывающие как отказы, так и восстановления.

Процесс «жизни» таких объектов можно описать графом, представленным на рис. 3.10, где цифрой 1 обозначено работоспособное состояние объекта, 2 –

состояние, в котором объект восстанавливается:			λ
λ – интенсивность отказов, μ – интенсивность
восстановления.
Для вероятностного процесса, описываемо-		1	2
го графом,	введем несколько событий: Ait –		μ
в момент t	объект находится в i-м состоянии,
i = 1, 2; Aijt – за время t объект переходит		Рис. 3.10. Граф состояний объекта

91

из i-го состояния в j-е, i, j = 1, 2. Из этих элементарных событий сконструируем сложное событие

A1t + t = A1t A11t + At2 A21t ,

которое говорит о том, что объект в первом состоянии в момент времени t + t может оказаться по двум причинам: первая – в момент t он был работоспособен (находился в первом состоянии) и за время t не отказал; вторая – к моменту t он восстанавливался (находился во втором состоянии) и за время t был восстановлен. Поскольку эти состояния несовместны, вероятность суммы событий равна сумме вероятностей отдельных событий:

P(A1t + t ) = P(A1t A11t ) + P(At2 A21t ) .

В силу выполнения марковского свойства для экспоненциального закона вероятность произведения событий равна произведению соответствующих вероятностей:

P(A1t + t ) = P(A1t ) P(A11t ) + P(At2 ) P(A21t ) .

По определению вероятности безотказной работы, P(A11t ) = e−λ t . Раскладывая экспоненту в ряд Тейлора в окрестности нулевой точки и удерживая его линейную часть, получим равенство P(A11t ) =1 − λ t (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Аналогичные рассуждения на основе фор-

мулы (3.6) дают P(A	t ) = μ t .
	21
Введя обозначение P(At ) = P (t) – вероятность нахождения объекта в i-м
		i	i
состоянии в момент t, в результате получим уравнение
	P1(t + t) = P1(t)(1 − λ t) + P2 (t)μ t .
Проведя элементарные преобразования, получим соотношение
		P1(t +	t)	= −λP1(t) + μP2 (t) ,
		t

а переходя к пределу (в рассматриваемом случае он существует), приходим в итоге к дифференциальному уравнению

P&	(t) = −λP (t) + μP (t) .		(3.8)
1	1	2

92

Действуя по аналогии, можно получить уравнение для производной P&2 (t) :

P&	(t) = λP (t) − μP (t) .		(3.9)
2	1	2

Уравнения (3.8) и (3.9) называются уравнениями Колмогорова.

Известно простое правило, которое позволяет получить эти уравнения непосредственно по графу, минуя промежуточные выкладки. В левой части каждого уравнения находится производная вероятности некоторого состояния, правая часть содержит столько слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности перехода, соответствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которой исходит стрелка. Если стрелка направлена из состояния, соответствующее слагаемое имеет знак «минус», если в состояние – знак «плюс».

Для решения системы уравнений Колмогорова сделаем в первом уравнении замену P2 =1 − P1, в результате чего получим неоднородное линейное диф-

ференциальное уравнение

P&	(t) = −(λ + μ)P (t) + μ.	(3.10)
1	1

Напомним, что при решении неоднородного уравнения вначале решается однородное:

P&1(t) = −(λ + μ)P1(t) .

Общее решение этого уравнения имеет вид

P (t) = C e−(λ+μ)t ,	(3.11)
1

где C – постоянная, зависящая от начальных условий. Для решения неоднородного уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных, когда постоянная C в равенстве (3.11) заменяется неизвестной функцией C(t) , а

вероятность P1(t) подставляется в уравнение (3.10), что в результате дает

C&(t)e−(λ+μ)t − C(t)(λ + μ)e−(λ+μ)t = −(λ + μ)C(t)e−(λ+μ)t + μ,

откуда

C(t) = λ μ+ μe(λ+μ)t + D .

93

Для определения постоянной D зададим начальные условия: P1(0) =1, что дает D = λ λ+μ . В итоге получаем искомый результат:

P1(t) = λ μ+ μ + λ λ+ μe−(μ+λ)t .

Полученная функция называется функцией готовности, она является одним из комплексных показателей надежности. На практике чаще используют другой показатель – так называемый коэффициент готовности, который является пределом P1(t) при t →∞:

	kг =	μ		.	(3.12)
		λ +	μ

Он определяет вероятность застать объект в работоспособном состоянии. Заменяя согласно соотношениям (3.4) и (3.7) интенсивности λ и μ обратными им величинами – средним временем безотказной работы и средним временем восстановления, получаем:

kг =	1 Tв			Tm
			=		.
	1/T +1/T			T +T
	m	в		m в

Чтобы оценить порядок величины kг, положим Tm ≈105 ч и Tв ≈100 ч, в результате чего получим kг 0,999 .

3.9. Элементы теории массового обслуживания

Приведенные выше показатели безотказности и восстановления (а также комплексный показатель) можно рассматривать как частные случаи более общих показателей, которые получаются и изучаются в так называемой теории массового обслуживания. Объектами изучения в этой теории являются системы массового обслуживания (СМО), примерами которых служат телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, магазины и т.д. Каждая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок, поступающих, как правило, в случайные моменты времени. Некоторое время (обычно также случайное) заявка обслуживается, после чего система (или ее отдельный канал) готова к приему следующей заявки. Простейшая одноканальная структура СМО приведена на рис. 3.11.

94

входящие		обслуженные
заявки		заявки

СМО

необслуженные заявки

Рис. 3.11. Структура системы массового обслуживания

Более детально с теорией массового обслуживания можно ознакомиться, например, в книге Е.С. Вентцель [4], здесь же рассматриваются только ее основные понятия. Будем использовать термин «событие», имея в виду поступление заявки в СМО или окончание ее обслуживания.

Поток событий – последовательность событий, разделенных интервалом времени.

Плотность потока – среднее число событий, поступающих в единицу времени, обозначается символом ρ.

Стационарный поток – поток событий, имеющий постоянную плотность

(ρ=const).

Два следующих понятия определяются сравнительно сложно, поэтому приведем только их смысловые формулировки.

Ординарный поток – события в потоке приходят поодиночке. Отсутствие последействия – события, образующие поток, появляются в

последовательные моменты времени независимо друг от друга.

Поток, удовлетворяющий всем трем требованиям, называется простейшим. Динамика событий в таком потоке имеет простое вероятностное описание с помощью формулы Пуассона:

P (τ) = e−ρτ (ρτ)k ,

(3.13)

k	k!

где Pk (τ) – вероятность появления k событий за время τ. Произведение ρτ

представляет собой среднее число событий, приходящих за время τ. Известно, что интервал времени T между событиями в простейшем потоке есть случайная величина с экспоненциальным законом распределения интенсивностью ρ.

В теории надежности можно рассматривать два типа событий – отказы и восстановления. В случае, когда событие – отказ, плотность потока – это интенсивность отказов λ, т.е. ρ = λ; вероятность безотказной работы – вероятность

того, что за время τ событие (отказ) не произойдет, т.е. k = 0, откуда из (3.13) следует формула (3.3) для вероятности безотказной работы:

95

P0 (τ) = P(τ) = e−λτ.

Если событие – это восстановление, то плотность потока – это интенсивность восстановления μ, т.е. ρ = μ; вероятность невосстановления – вероят-

ность того, что за время τ событие (восстановление) не произойдет, т.е. k = 0. Тогда формула (3.13) дает вероятности невосстановления, откуда следует полученное выше соотношение (3.6):

Pв(τ) =1 − P0 (τ) =1 − e−μτ.

Граф на рис. 3.10 можно интерпретировать как граф состояний СМО, на которую поступают заявки с интенсивностью λ, а интенсивность обслуживания равна μ. Тогда коэффициент готовности (3.13) можно рассматривать как относительную пропускную способность СМО, а величину 1 − kг – как вероятность

отказа в обслуживании.

При поступлении заявок на СМО и при их обслуживании в системе идет процесс, который сопровождается изменением состояния СМО (например, представленный на рис. 3.12). Процесс называется марковским, если вероятность любого будущего состояния зависит только от состояния в рассматриваемый момент времени и не зависит от того, как система перешла в это состояние. Известно, что если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие, то процесс в системе будет марковским. Поскольку потоки отказов и восстановлений при λ = const и μ = const являются простейшими,

то процесс, происходящий в СМО, соответствующей этим типам событий, будет также марковским. Это позволяет получить простые соотношения, описывающие решаемую задачу; в частности, как это было показано в подразд. 3.8, простой вид имеет выражение, описывающее коэффициент готовности.

	2	λ2
		5
λ1	λ4	λ6
1		4
λ3	λ5	λ7
	3	6

Рис. 3.12. Граф состояний объекта

В качестве примера, который в дальнейшем будет активно использоваться, рассмотрим СМО с тремя состояниями и двумя переходами (рис. 3.13), при

96

этом λ12 ≠ λ23. Уравнения Колмогорова, описывающие этот граф, имеют следующий вид:

	P&	(t) = −λ		P (t) ,			(3.14)
	1		12	1
P&	(t) = λ		P (t) + λ		23	P (t) .	(3.15)
2		12	1			2

Уравнение для третьего состояния можно не составлять, поскольку вероятность этого состояния легко определяется из очевидного равенства P1(t) + P2 (t) + P3 (t) =1. Начальные условия для решения этих уравнений имеют

следующий вид: P1(t) =1, P2 (t) = 0 .

λ12	2	λ23
1		3

Рис. 3.13. Граф состояний

Уравнение (3.14) легко решается разделением переменных

dP1(t) = −λ12d t P1(t)

ипоследующим интегрированием

∫dPP11((tt)) = ln P1(t) = −λ12t + lnC1.

Сучетом начальных условий получим C1 =1 и

P1(t) = e−λ12 t .

Уравнение (3.15) неоднородно. Для его решения сначала решается соответствующее однородное уравнение

P&2 (t) = λ12P1(t) .

Оно решается аналогично тому, как это делалось выше, что в результате дает

P2 (t) = C2e−λ23 t .

97

Методом

вариаций

произвольных

постоянных определяется

функция

C2 (t) , заменяющая константу C2 в этом уравнении:

C2

(t) = −

λ12

e

−(λ12 +λ23 ) t

+ C3 .

λ12

−λ

23

Константа C3 определяется из начального

условия

P2 (0) = 0,

что дает

C3

(t) =

λ12

. Окончательно получим:

λ12 −λ

23

P (t) =

λ12

e−λ23 t −

λ12

e−λ12 t .

2

λ12 −λ23

λ12 −λ23

В состояниях 1 и 2 объект сохраняет работоспособность, поэтому вероят-

ность его безотказной работы равна сумме вероятностей P1(t) и P2 (t) :

P(t) = P (t) + P (t) =

λ12

e−λ23 t −

λ23

e−λ12 t .

(3.16)

1

2

λ12 −λ23

λ12 −λ23

3.10.Резервирование. Основные термины

Впрактике проектирования сложных технических систем, выполняющих ответственные функции, нередко возникает ситуация, когда требования, предъявляемые заказчиком к надежности системы, не удается выполнить никакими схемотехническими и конструкторскими методами – выбором элементной базы, ослаблением электрических и температурных режимов и т.д. Единственная возможность в этом случае – использование системотехнических методов, к числу которых относится резервирование. Приведем основные термины, которые применяются при рассмотрении вопросов резервирования.

Резервирование – способ обеспечения надежности объекта за счет использования дополнительных средств и (или) возможностей, избыточных по отношению к минимально необходимым для выполнения требуемых функций.

Резерв – совокупность дополнительных средств и (или) возможностей, используемых для резервирования.

Различают несколько способов резервирования в зависимости от вида применяемых дополнительных средств и возможностей.

Структурное резервирование – резервирование с применением дополнительных элементов.

Временное резервирование – резервирование с применением резервов времени; используется, когда для устранения отказа объект имеет определенный запас времени.

98

Информационное резервирование – резервирование с использованием резервов информации; одной из наиболее часто применяемых форм этого способа резервирования являются коды, исправляющие ошибки, когда информационные разряды кодового слова дополняются избыточными разрядами, за счет которых производится исправление возможных искажений отдельных разрядов при передаче информации по каналам связи.

Функциональное резервирование – резервирование с использованием функциональных резервов, когда элементы и подсистемы объекта способны выполнять дополнительные функции.

Вдальнейшем будет рассматриваться только структурное резервирование как наиболее часто применяемое в технических системах.

Кратность резерва – отношение числа резервных элементов к числу резервируемых ими основных элементов, выраженное несокращенной дробью.

Дублирование – резервирование с кратностью резерва один к одному. Резерв различается по степени его нагруженности:

Нагруженный резерв – резерв, который содержит один или несколько элементов, находящихся в режиме основного элемента.

Облегченный резерв – резерв, который содержит один или несколько элементов, находящихся в менее нагруженном режиме, чем основной элемент.

Ненагруженный резерв – резерв, который содержит один или несколько элементов, находящихся в ненагруженном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента.

Винженерной практике применительно к нагруженному, облегченному и ненагруженному резервам используют термины «горячий», «теплый» и «холодный» резервы соответственно.

Замена отказавших элементов в объекте может производиться как без переключений, так и с переключениями, что приводит к трем следующим понятиям.

Постоянное резервирование – резервирование, при котором используется нагруженный резерв и при отказе любого элемента в резервированной группе выполнение объектом требуемых функций обеспечивается оставшимися элементами без переключений.

Резервирование замещением – резервирование, при котором функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного элемента, при этом в объекте производятся определенные переключения.

Скользящее резервирование – резервирование замещением, при котором группа основных элементов резервируется одним или несколькими резервными элементами, каждый из которых может заменить любой из отказавших элементов данной группы.

Резервирование может быть разным по масштабу.

Общее резервирование – резервирование, при котором резервируется объект в целом.

99

Раздельное резервирование – резервирование, при котором резервируются отдельные элементы объекта или их группы. Резервирование, при котором резервируются отдельные элементы объекта, обычно называют поэлементным.

Рассмотрим отдельные виды резервирования с количественной точки зрения, чтобы оценить полученный выигрыш и сопоставить его с введенной при резервировании избыточностью.

3.11. Постоянное резервирование

Постоянное резервирование в электронике, как правило, сводится к параллельному (иногда последовательному) соединению элементов. Более содержательный пример постоянного резервирования встречается в практике альпинизма, когда в целях повышения надежности альпинисты связываются между собой не одним, а двумя фалами: при обрыве одного из них нагрузку примет на себя оставшийся. Рассмотрим более детально отдельные случаи.

3.11.1. Дублирование, независимые отказы

Начнем с простого случая, когда кратность резервирования k = 1; независимость отказов означает, что при отказе одного из элементов режим работы оставшегося не меняется. Схематичное изображение такого способа резервирования приведено на рис. 3.14, соответствующий граф состояний (рис. 3.15) содержит три состояния: 1 – оба элемента работают, 2 – один из элементов отказал, 3 – оба отказали. Интенсивность перехода 1 → 2 равна 2λ, так как отказать могут оба элемента, переход 2 →3 характеризуется интенсивностью λ, поскольку работоспособен только один элемент. Переход 1 →3 отсутствует из-за малой вероятности одновременного отказа двух элементов (свойство ординарности потока событий).

λ

2λ

λ

λ

1

2

3

Рис. 3.14. Постоянное резервирование

Рис. 3.15. Граф состояний при постоянном

резервировании

Используя общий результат (3.16), с учетом λ12 = 2λ, λ23 = λ получим:

P(t) =

2λ

e−λt

−e−2λt

λ

= 2e−λt −e−2λt .

2λ−λ

2λ−λ

Преобразуем это соотношение следующим образом:

P(t) =1 −1 + 2e−λt − e−2λt =1 − (1 − 2e−λt

+ e−2λt ) =1 − (1 − e−λt )2 .

(3.17)

100