Пособие ТОКН

Выражение (3.17) можно также получить из следующих соображений. Объект при постоянном резервировании с кратностью k = 1 откажет в том случае, когда откажут оба элемента; вероятность этого события для незави-

симых отказов равна (1−e−λt )2 , поскольку вероятность отказа одного эле-

мента составляет 1 − e−λt . Дополнительное событие состоит в том, что хотя бы один элемент работает, иными словами – объект работает. Вероятность такого события – это дополнение до 1 вероятности предыдущего события, т.е. выражение (3.17).

Как сказано в подразд. 3.2, среднее время безотказной работы объекта определяется интегралом

∞

Tm = ∫P(t) d t .

0

Для дублирования получается следующий результат:

Tm = λ1 (1 + 12) .

Необычная форма представления этого результата будет объяснена ниже. Интенсивность отказов резервированного объекта может быть определена по вероятности безотказной работы на основе дифференциального уравнения,

полученного в подразд. 3.3; в нашем случае это дает выражение

	λ(t) =	2λe−λt (1 − e−λt )		=	2λ(1		− e−λt )	.
		1	− (1 − e−λt )2		2	− e−λt

Видно, что даже при постоянных интенсивностях отказов отдельных элементов интенсивность резервированного объекта будет функцией времени; она

	не представляет интереса для ана-
	лиза и обычно не рассматривает-	λ
	ся. Отметим только, что эта
	функция не убывает и асимптоти-
	чески сходится к λ (рис. 3.16).
	Для оценки результативности
	постоянного резервирования рас-	t
	смотрим случай, когда вероят-	Рис. 3.16. График функции λ(t)
	ность безотказной работы одного

элемента равна p = e−λt = 0,9 . Тогда из (3.17) следует P = 0,99, т.е. вероятность безотказной работы возросла в 1,1 раза, или на 10 %. Вряд ли этот результат

101

можно признать удовлетворительным, ведь	он достигнут при удвоении числа
элементов в резервируемой группе. Оценка,	однако,	изменится,	если сравнение
производить по вероятности отказа: она была		q =1 − 0,9	= 0,1, а стала

Q =1 − P = 0,01 – десятикратный выигрыш! Таким образом, сравнение по веро-

ятности отказа является более представительным. Отметим, что выигрыш по среднему времени безотказной работы составляет 50 %.

3.11.2. Независимые отказы, k-кратное резервирование

С учетом пояснений к выражению (3.17) и по аналогии с ним можно записать следующую формулу для вероятности безотказной работы:

P(t) =1 − (1 − e−λt )k +1 .					(3.18)
Среднее время безотказной работы определяется выражением
T	= 1	(1 + 1 +... +	1	) .	(3.19)
m	λ	2	k +1

Видно, что в случае постоянного резервирования увеличение кратности резервирования слабо сказывается на среднем времени безотказной работы.

Из интуитивных соображений ясно, что при неограниченном увеличении кратностирезервированиясреднее времябезотказнойработытакжебудетнеограниченно возрастать, что и следует из формулы (3.19), поскольку выражение в круглых скобкахпредставляетсобойгармоническийряд, которыйрасходитсяпри k → ∞.

3.11.3. Дублирование, зависимые отказы Модель зависимых отказов является более реальной, так как отказ элемен-

та приводит к изменению режима работы участка цепи и, как следствие, к изменению интенсивностей отказов оставшихся элементов.

Рассмотрим случай дублирования. Будем считать, что если оба элемента

	2λ0	λ′		нормально функционируют,	то их
				интенсивности отказов одинаковы и
	1	2	3
				равны λ; при отказе одного	интен-
	Рис. 3.17. Граф состояний в случае			сивность оставшегося скачком воз-
				растает до λ′. Граф состояний изо-
	зависимых отказов			бражен на рис. 3.17.

Используя общий случай (3.16), с учетом λ12 = 2λ и λ23 = λ′ получаем выражение для вероятности безотказной работы:

P(t) = 2λ2−λλ′e−λ′t − 2λλ−′λ′e−2λt ;

среднее время безотказной работы определяется следующим образом:

Tm = λ1 (λλ′ + 12) .

102

3.11.4. Учет отказов типа «обрыв» и «замыкание» Реальные элементы могут иметь отказы двух типов – обрывы и замыкания.

Необходимость такой дифференциации вызвана различным влиянием этих отказов на работоспособность участка резервирования. Например, при параллельном соединении элементов (см. рис. 3.14) естественно считать, что замыкание любого элемента приводит к отказу участка цепи, в то время как отказы элементов типа «обрыв» дадут такой же эффект только при отказе всех элементов.

Рассмотрим случай дублирования. Будем считать, что отказы независимы,

	элементы идентичны, а интенсивно-
	сти по обрывам и замыканиям суть			2λ		λ0+λЗ
	λо и λз соответственно. Граф со-	1			2	3
				2λЗ
	стояний с интенсивностями перехо-
	дов изображен на рис. 3.18.
			Рис. 3.18. Граф объекта с отказами
	Система уравнений Колмогоро-
	ва, составленная по этому графу,		типа «обрыв» и «замыкание»

имеет следующий вид:

P&1(t) = −(2λо + 2λз)P1(t),

P&2 (t) = −(λо + λз)P2 (t) + 2λоP1(t) ,

начальные условия – P1(0) =1, P2 (0) = 0 . Подобный случай выше не рассматривался, поэтому приведем решение системы, опуская подробности:

P (t) = e−2(λ0 +λЗ )t

– решение первого уравнения,

1

P (t) = C(t)e−(λ0 +λЗ )t

– общее решение второго уравнения,

2

−(λо

+λЗ )t

&

оe

– уравнение для вспомогательной функции,

C(t) = 2λ

C(t) =

2λо

−

2λо

e−(λо +λЗ )t

– вспомогательная функция.

λ

λ

о

+λ

з

о

+λ

з

В итоге

P(t) = P (t) + P (t) =

λз −λо

e−2(λо +λЗ )t −

2λо

e−(λо +λЗ )t .

1

2

λз+λо

λо+λз

Выясним, при каком соотношении между интенсивностями λо и λз объ-

ект будет иметь выигрыш по надежности по сравнению с одним элементом. Для этого найдем отношение полученной вероятности P(t) и вероятности без-

отказной работы одного элемента:

R

p

(t) =

P(t)

=

λ

з

− λ

о

e− (λо + λз)t +

2λ

о

.

−(λо +λЗ ) t

λ

+ λ

λ

e

з

о

з

+λ

о

103

График функции Rp (t) изображен нарис. 3.19 для случаев λо > λз (кривая 1), λо < λз (кривая 2) и λо = λз (кривая 3). Ясно, что выигрыш по надежности будет иметь место в случае λо > λз . Это хорошо согласуется с интуитивными представлениями о влиянии обрывов и замыканий на рассматриваемый объект.

Rp

	1
1	3
	2

t

Рис. 3.19. График функции Rp (t)

Интересная методика учета отказов типа «обрыв» и «замыкание» содержится в работе [12]. В работе предложено перейти от схемы с обрывами и замыканиями к эквивалентной схеме, в которой элементы могут иметь отказы только типа «обрыв», причем половина элементов эквивалентной схемы своими обрывами «отвечает» за замыкания элементов основной схемы, другая половина аналогичным образом «отвечает» за обрывы. Для случая дублирования (см. рис. 3.14) эквивалентная схема изображена на рис. 3.20, причем элементы 1

и2 «отвечают» за замыкания и имеют интенсивность λз каждый, а элементы 3

и4 «отвечают» за обрывы с интенсивностью λо.

Граф для эквивалентной схемы приведен на рис. 3.21. Сравнивая его с графом на рис. 3.18, можно сделать вывод о том, что основная и эквивалентная схемы не равнозначны по количественным характеристикам. Это объясняется тем, что в основной схеме обрыв элемента делает невозможным его последующее замыкание, а в эквивалентной схеме такая ситуация допускается, так как за обрывы и замыкания в ней «отвечают» разные элементы.

Вопрос о том, какую модель принять в качестве рабочей, необходимо решать конкретно. Представляется, что более правильной является модель, соответствующая графу на рис. 3.18.

В некоторых случаях элементы для повышения надежности могут быть соединены последовательно (например, конденсаторы). Рассмотрим простейший случай дублирования, соответствующий граф изображен на рис. 3.22.

Сравнивая рис. 3.18 и 3.22, можно сделать вывод о том, что все формулы, приведенные для параллельного соединения элементов, справедливы для последовательного с заменой λо на λз и λз на λо. Можно сказать, что в этом

104

смысле параллельное и последовательное соединения дуальны. Ясно, что последовательное соединение дает выигрыш по надежности по сравнению с одним элементом в случае, когда λо < λз.

3

1

2

4

Рис. 3.20. Эквивалентная схема

1	2λ0	2	λ0+2λЗ	1	2λЗ	λ0+λЗ	3
			3			2
	2λЗ				2λ0
Рис. 3.21. Граф для эквивалентной схемы				Рис. 3.22. Граф объекта с отказами типа
				«обрыв» и «замыкание»

3.11.5. Резервирование с дробной кратностью Резервирование с дробной кратностью – это такой случай резервирования,

когда для нормальной работы участка цепи требуется более одного основного элемента; количество резервных элементов не ограничивается. Кратность резерва в этом случае обычно является дробью, которую не сокращают во избежание недоразумений.

Рассмотрим подробнее случай k = 1/2 (рис. 3.23). Предполагается, что имеют место независимые отказы типа «обрыв». Граф состояний приведен на рис. 3.24.

1

3λ

2

2λ

3

Рис. 3.23. Резервирование

Рис. 3.24. Граф состояний

с дробной кратностью

при резервировании с дробной кратностью

Общий случай (3.16) с учетом λ12 = 3λ и λ23 = 2λ дает следующее:

P(t) =

3λ

e

−2λt

−

2λ

e

−3λt

=3e

−2λt

− 2e

−3λt

.

(3.20)

3λ − 2λ

3λ − 2λ

105

Чтобы выяснить величину выигрыша при таком резервировании, необходимо сравнивать вероятность (3.20) с вероятностью для двух элементов, так как для нормальной работы объекта требуется именно два элемента. Сравнение с одним элементом приводит к абсурдному результату, согласно которому со временем резервирование становится невыгодным (рис. 3.25, кривая 2). Кривая 1 того же рисунка дает результат правильного сравнения.

Rp

1

2

t

Рис. 3.25. Графики функции выигрыша по надежности

3.11.6. Влияние масштаба резервирования Выясним влияние масштаба резервирования на его результативность. Ин-

туитивно ясно, что при уменьшении масштаба надежность возрастает. Подтвердим это на простом примере дублирования, когда объект состоит из двух элементов. На рис. 3.26 приведены два варианта: а) общее резервирование, б) поэлементное. Предполагается, что все элементы имеют одинаковую интенсивность отказов λ. Ясно, что отказ 1-го и 4-го элементов в первом варианте влечет отказ объекта, во втором варианте он останется работоспособным.

1		2		1		2
3		4		3		4

а б

Рис. 3.26. Иллюстрация к влиянию масштаба резервирования

Проведем расчеты для первого варианта: вероятность безотказной работы для исходного объекта P(t) = e−2λt , для резервированного Pрез1(t) =

= 2e−2λt − e−4λt . Для второго варианта: вероятность безотказной работы для

106

каждого из резервных элементов P(t) = 2e−λt − e−2λt , для поэлементного ре-

зервирования		P	(t) = (2e−λt	− e−2λt )2 . Принимая		e−λt = 0,9 , получим:
		рез2
P	= 2 (0,9)2	− (0,9)4 ≈ 0,964 ,		P	= (2 0,9 − 0,81)2	≈ 0,98, что подтвержда-
рез1				рез2

ет сделанные выше качественные выводы.

3.12. Резервирование замещением

Напомним, что резервированием замещением называется резервирование, при котором функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного элемента. Из определения ясно, что отказы в этом случае будут независимыми (в смысле данного выше определения), дифференцировать отказы на обрывы и замыкания нет смысла, так как отказавший элемент выключается из схемы. Все это существенно упрощает анализ.

Напомним также, что в зависимости от режимов работы резервных элементов до момента их включения в работу различают три вида резерва: ненагруженный, облегченный и нагруженный. Рассмотрим их подробно, предполагая, что переключающие элементы абсолютно надежны.

3.12.1. Ненагруженное резервирование Резервирование замещением будет ненагруженным, если резервные эле-

менты находятся в ненагруженном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента. Рассмотрим этот способ резервирования на примере k = 1 (рис. 3.27). Граф для такого резервирования изображен на рис. 3.28.

		λ	λ	λ
		1	2	3
Рис. 3.27. Резервирование			Рис. 3.28. Граф состояний
	замещением		при ненагруженном резервировании

Формулу (3.16) здесь применять нельзя, так как при ее выводе предполагалось, что λ12 ≠ λ23. Начнем решение с составления системы уравнений Колмо-

горова:

P&1(t) = −λP1(t) ,

P&2 (t) = −λP2 (t) + λP1(t) ,

начальные условия: P1(0) =1, P2 (0) = 0.

107

Коротко изложим результаты отдельных этапов решения уравнений: P1(t) = e−λt – решение первого уравнения,

P2 (t) = C(t)e−λt – общее решение второго уравнения, C&(t) = λ – уравнение для вспомогательной функции, C(t) = λt – вспомогательная функция.

В итоге

P(t) = P	(t) + P	(t) = e−λt (1 + λt) .	(3.21)
1	2

Из интуитивных соображений ясно, что при рассматриваемом способе резервирования среднее время безотказной работы удваивается:

Tm = λ2 .

Можно показать, что в случае k-кратного резервирования выражение для вероятности принимает вид

	P(t) = e−λt	k	(λt)	m
		∑			.	(3.22)
			m!
		m=0

Как и в случае постоянного резервирования, полученное выражение допускает интуитивную проверку. Ясно, что при неограниченном увеличении кратности резервирования вероятность безотказной работы стремится к 1; нетрудно заметить, что сумма в выражении (3.22) представляет собой частную

сумму ряда Тейлора для экспоненты eλt , откуда следует, что при k → ∞ вероятность P(t) →1.

Среднее время безотказной работы при k-кратном резервировании равно

T = k +1 .

(3.23)

m λ

3.12.2. Нагруженное резервирование При нагруженном резервировании замещением резервные элементы на-

ходятся в режиме работы основного элемента, но включаются в работу только после его отказа. Для случая дублирования соответствующий граф изображен на рис. 3.29.

Сравнивая рис. 3.15 и 3.29, можно сделать вывод о том, что постоянное резервирование с независимыми отказами типа «обрыв» и нагруженное резерви-

108

рование замещением равнонадежны. К этому же выводу легко прийти из качественных соображений. Формулы для вероятности и среднего времени безотказной работы получены в п. 3.11.1 и поэтому здесь не приводятся.

3.12.3. Облегченное резервирование Ненагруженное и нагруженное резервирование замещением – это, по сути,

идеализация, на практике резервный элемент всегда несет какую-то нагрузку, но, как правило, меньшую, чем основной элемент, т.е. имеет место облегченное резервирование. Рассмотрим это на примере резервирования с кратностью k =1. Пусть λ– интенсивность отказов основного элемента, а λ′ – резервного в период «ожидания». Соответствующий граф изображен на рис. 3.30.

	2λ		λ			λ+ λ′		λ
	1	2			3	1	2	3
	Рис. 3.29. Граф состояний					Рис. 3.30. Граф состояний
	при нагруженном резервировании					при облегченном резервировании
	Общий случай (3.16) с учетом λ12 = λ + λ′ и λ23 = λ дает следующее вы-
	ражение для вероятности P(t) :
	P(t) =	λ − λ′	e−λt −		λ	e−(λ+λ′)t = e−λt (1 +	λ	(1 − e−λ′t )) .
		λ + λ′ − λ		λ + λ′ − λ			λ′

Можно проверить, что при λ′ = 0 и λ′ = λ отсюда получаются выражения для вероятности безотказной работы для случаев ненагруженного и нагруженного резервирования соответственно.

Среднее время безотказной работы для облегченного резервирования

Tm = λ1 + λ +1 λ′ .

3.12.4. Скользящее резервирование Общее определение скользящего резервирования было дано выше. Учиты-

вая особенности работы резервных элементов при резервировании замещением, можно сделать вывод о том, что возможны три вида такого резервирования: ненагруженное, облегченное и нагруженное. Одна из особенностей скользящего резервирования состоит в том, что резервный элемент может заместить любой отказавший основной элемент. Рассмотрим два примера скользящего резервирования; примем кратность резервирования равной 1/2 (рис. 3.31).

109

							2λ	2λ
							1	2	3
Рис. 3.31. Скользящее резервирование							Рис. 3.32. Граф состояний
	кратностью 1/2						при ненагруженном резервировании

Для ненагруженного скользящего резервирования с кратностью k =1/ 2 граф состояний приведен на рис. 3.32. Сравнивая графы на рис. 3.28 и 3.32, нетрудно прийти к выводу, что они отличаются только интенсивностями переходов: 2λ вместо λ. Отсюда на основе выражений (3.21) и (3.23) получаем:

P(t)= e−2λt (1 + 2λt) ,	T		=	2	=	1 .
				2λ
	m					λ
По аналогии, нетрудно заключить,	что	при			произвольной кратности

k = z / n , где z – число резервных элементов, n – число основных элементов, получаются следующие результаты:

P(t) = e−nλt	z	(nλt)	m			z +1
	∑			,	Tm =		.
		m!
	m=0					nλ

Для нагруженного резервирования с кратностью k =1/ n граф состояний представлен на рис. 3.33. Этот случай существенно отличается от нагруженного дублирования замещением, и предыдущие аналогии не проходят. Общий случай (3.16) при λ12 = (n +1)λ и λ23 = nλ дает здесь следующее:

	P(t) =	(n +1)λ	e−nλt −	nλ	e−(n+1)λt = (n +1)e−nλt − ne−(n+1)λt .
		(n +1)λ − nλ		(n +1)λ − nλ

3.12.5. Учет надежности переключающих устройств При выводе всех полученных выше соотношений было принято допуще-

ние о том, что переключающие устройства абсолютно надежны. Ясно, что это идеализация, на практике переключающие устройства могут существенно снизить надежность участка резервирования по сравнению с расчетом. Учет надежности переключателя зависит от его конкретной реализации и в общем случае достаточно сложен. Простейшие же случаи легко сводятся к общей модели. Рассмотрим, например, ненагруженное резервирование замещением кратностью k = 1; будем считать, что, отказав с интенсивностью λп, переключающее

устройство отключает ранее включенный резервный элемент (рис. 3.34). Общий результат (3.16) в данном случае дает следующее:

110