Пособие ТОКН

		P(t) = e−λt (1 +	λ	(1 − e−λnt )).
			λn
1	(n+1)λ	nλ	1		λ	λ+λп
	2	3			2	3
	Рис. 3.33. Граф состояний		Рис. 3.34. Граф при учете ненадежности
	при нагруженном резервировании				переключающих устройств

С использованием моделей теории массового обслуживания по аналогии могут быть рассмотрены более сложные случаи.

3.12.6. Учет восстановления Возможны случаи, когда отказавшие резервные элементы восстанавлива-

ются в процессе работы объекта. Учитывается это на графе состояний соответствующими дополнительными пере-

ходами с интенсивностью μ. Рассмот-		λ		λ
рим это на примере ненагруженного	1	μ	2	3
дублирования замещением; граф пе-		Рис. 3.35. Граф состояний с учетом
реходов изображен на рис. 3.35. Ре-
шение системы уравнений Колмого-			восстановления

рова в этом случае в общем виде довольно громоздко и не приводится, принципиальных трудностей здесь, однако, нет. Аналогичным образом могут быть рассмотрены другие задачи резервирования с восстановлением.

3.13. Оптимальное резервирование

Как отмечалось, резервирование улучшает надежностные показатели объекта, но предполагает введение в него определенной избыточности, что ухудшает другие его показатели, например возрастает вес, стоимость и т.д. По этой причине необходимо оптимизировать показатели, связанные с резервированием, откуда возникает задача оптимального резервирования. Коротко рассмотрим эту задачу.

Для конкретности рассмотрим постоянное резервирование, где элементы резервированы с кратностями k1,k2 ,...,kn . Элементы будем характеризовать их

«весами» w1, w2 ,..., wn . Под «весом» понимается определенная характеристика

элемента – его энергопотребление, размеры, стоимость, масса и т.п. или комплексный показатель, учитывающий сочетание отдельных характеристик.

Будем предполагать, что при установке резервных элементов в объект его общий «вес» представляет собой сумму «весов» элементов с учетом их кратностей резервирования:

111

W = ∑in=1(ki +1)wi .

Из формулы (3.18) и обычного предположения о том, что основные элементы соединены последовательно с точки зрения надежности, следует соотношение

P(t) = ∏in=1(1 − (1 − e−λit )ki +1) .

Рассмотрим две основные постановки задачи оптимального резервирования. В первой выбираются такие кратности k1,k2 ,...,kn , что максимизируется

вероятность безотказной работы при ограничении на «вес» объекта:

P(t) → max ,

W ≤Wзад.

Во второй минимизируется «вес» объекта при ограничении на вероятность безотказной работы:

W → min ,

P(t) ≥ Pзад(t) .

Сформулированные задачи условной оптимизации не допускают аналитического решения и могут быть решены только численно. Другие возможные варианты постановок задачи и их решение рассмотрены в книгах [7, 9].

3.14. Мажоритарное резервирование

		y1
	Σ		≥ 2
u		y2		y
	Σ

y3

Σ

Рис. 3.36. Схема мажоритарного резервирования

Рассмотрим интересный вид резервирования, называемый мажоритарным, который нередко используется для исправления однократных сбоев в цифровых системах. Традиционная схема реализации мажоритарного резервирования представлена на рис. 3.36, где символом Σ обозначена система со скалярным выходом, сигнал на котором дискретен по времени и уровню. Сигналы с выходов трех идентичных систем

112

поступают на входы так называемого мажоритарного элемента, который работает как пороговый элемент – «по большинству»: если на его входах две и более 1, он вырабатывает 1, если два и более 0, вырабатывает 0.

Таким образом, при сбое в одной из систем схема мажоритарного резервирования осуществит его коррекцию. При наличии в системе Σ нескольких выходов для каждого из них используется свой мажоритарный элемент, работу которого можно описать следующей булевой функцией:

y = y1y2 y1y3 y2 y3 .

Как следует из сказанного, схема мажоритарного резервирования проста по сути и реализации, но требует введения значительной избыточности: по сравнению с исходной системой Σ происходит более чем утроение объема необходимого оборудования. Такие затраты необходимо обосновать. Остановимся на этом более детально.

Обозначим через p вероятность отсутствия сбоя за один такт работы системы. Тогда вероятность отсутствия сбоя P за такт в схеме мажоритарного резервирования описывается следующим выражением (предполагается, что мажоритарный элемент абсолютно надежен в силу его простоты):

P = p3 + 3 p2 (1 − p) .

Первое слагаемое описывает случай отсутствия сбоев во всех трех системах; второе соответствует однократному сбою (коэффициент 3 учитывает, что сбой возможен в любой из трех систем).

Оценим полученный выигрыш по вероятности отсутствия сбоя отношением вероятностей P и p:

Rp = Pp = 3 p − 2 p2 .

Полученное выражение имеет максимальное значение при p = 0,75, при этом Rp max =1,125 . Следовательно, максимально возможный выигрыш состав-

ляет только 12,5 %, и достигается он при недопустимо низкой вероятности p. Можно проверить, что чем ближе вероятность p к 1, т.е. чем надежнее система, тем выигрыш Rp меньше.

Таким образом, исходя из критерия отношения вероятностей отсутствия сбоя и учитывая объем вводимой избыточности, можно сделать вывод, что мажоритарное резервирование неэффективно. Тем не менее его часто используют на практике. Разрешить этот парадокс можно, рассматривая не вероятности отсутствия сбоя, а дополнительные характеристики – вероятности сбоя за такт:

113

q =1 − p и Q =1 − P , выигрыш относительно которых можно представить в виде отношения

	R	q	=	q	=		q	=		1	.
				Q		1 − P			3q	− 2q2
	Получим ряд численных результатов:									при	p = 0,9 и q = 0,1 имеем

Rq =3,57 ; при p = 0,99 и q = 0,01 имеем Rq =33,55 . При p ≥ 0,999 и q ≤ 0,001

членом 2q2 можно пренебречь, что дает

Rq = 31q ,

откуда ясно, что чем более надежна система, тем больший выигрыш по критерию отношения вероятностей сбоя дает схема мажоритарного резервирования по сравнению с безызбыточной системой.

Рассмотренный случай дает еще один пример того, как нужно правильно оценивать преимущество того или иного действия, а именно: если показатель, которым оценивается выигрыш от проведения некоторых мероприятий, ограничен сверху определенной величиной N, то более объективную оценку этих мероприятий будет давать показатель, дополняющий исходный до N. Все вероятностные показатели имеют такую особенность – они ограничены единицей.

3.15. Расчет комплекта запасных элементов

Одним из условий обеспечения высокой ремонтопригодности объекта является обеспечение его комплектом запасных элементов (ЗИП). Комплект ЗИП должен содержать все необходимые для поддержания работоспособного состояния объекта элементы, а также инструменты и принадлежности, с помощью которых производится замена отказавших элементов. Недостаточное число запасных элементов может привести к длительным простоям объекта, однако их избыток экономически невыгоден. Таким образом, необходима обоснованная методика расчета комплекта ЗИП. Различают несколько видов ЗИП, рассмотрим два из них.

Одиночный комплект ЗИП придается определенному объекту и предназначается только для его обеспечения.

Групповой комплект ЗИП придается группе объектов и предназначается для пополнения одиночных комплектов ЗИП и обеспечения объектов теми элементами, которых нет в одиночных комплектах ЗИП.

Исходными данными для расчета одиночного комплекта ЗИП является время τ и вероятность обеспечения ЗИП α, т.е. вероятность того, что комплекта

114

ЗИП будет достаточно для поддержания работоспособного состояния объекта в течение времени τ.

Поскольку запасные элементы не несут нагрузки до момента их использования, они находятся в таком же положении, как резервные элементы при ненагруженном резервировании замещением. Отсюда следует, что математическое описание этих задач должно быть одинаковым, в его основе лежит соотношение (3.22), которое запишем в виде

P≤k (t) = e−λt	k	(λt)	m
	∑			(3.24)
	m=0	m!

и будем трактовать как вероятность появления k и менее отказов за время t. Существует несколько методик расчета состава ЗИП, рассмотрим одну из

них поэтапно.

1. Все элементы разбиваются на группы элементов одного типономинала. Под элементами одного типономинала понимается группа элементов одного типа (например, резисторы, конденсаторы, микросхемы и т.д.), а также одинаковых номинала, класса точности, мощности (для резисторов), напряжения (для конденсаторов), типа (для микросхем) и т.д., т.е. группа полностью взаимозаменяемых элементов. Затем по формуле

γ =1 −r α ,

где r – число групп сменных элементов одного типономинала, рассчитывается вероятность необеспечения ЗИП на одну группу.

2. Определяется среднее ожидаемое число отказов mi за заданное время τ:

mi = λi τ ni ,

где λi – интенсивность отказов элементов i-й группы, ni – число элементов в этой группе.

3. По найденным величинам γ и mi определяется число k запасных элементов для i-й группы, для которого выполняется условие P≤k (t) ≥1 −γ при λt = mi . Приведенное условие означает следующее: вероятность того, что за

время τ произойдет не более чем k отказов, должна быть не меньше вероятности обеспечения ЗИП на одну группу сменных элементов. Для облегчения проверки этого условия используется специальная номограмма (рис. 3.37, где по горизонтали откладывается число mi , по вертикали – γ), построенная по выра-

115

жению (3.24), на основе которой по значениям γ и mi подбирается число k, т.е. число запасных элементов, и определяется фактическая вероятность γi* необеспечения ЗИП для каждой группы.

1·10–5

							k = 4
1·10	–4
					k = 3
			k = 2

k = 1

1·10–3

k = 0

0,01

0,11·10–3 0,01 0,1 1

Рис. 3.37. Номограмма для расчета комплекта ЗИП

4. По приближенной формуле рассчитывается фактическая вероятность обеспечения ЗИП

α* =1−∑ir=1γi*

и проверяется правильность проведенных расчетов путем сравнения вероятностей α и α* : когда α* ≥ α, расчет считается законченным, в противном случае

необходимо увеличить число запасных элементов для некоторых групп и повторить расчет.

3.16. Надежность структурно сложных объектов

Несколько упрощая, можно сказать, что выше были рассмотрены два типа соединения элементов с точки зрения надежности: последовательное, когда отказ любого элемента приводит к отказу объекта, и параллельное, когда отказ объекта наступает только после отказа всех элементов (резервирование). Поскольку элементы могут находиться в двух состояниях – работоспособном и неработоспособном, с каждым из них можно связать булеву переменную, принимающую значение 1 в первом случае и 0 – во втором. Пусть xi – переменная,

116

соответствующая i-му элементу, переменная y соответствует объекту. Тогда нетрудно видеть, что последовательному соединению элементов соответствует логическое произведение переменных:

y = x1 x2 ... xn ,

параллельному – логическая сумма:

y = x1 x2 ... xn .

Сравнение первого из этих выражений с формулой для вероятности безотказной работы P(t) = e−λ1te−λ2t ...e−λnt позволяет сделать заключение о том,

что логическое произведение переменных соответствует произведению вероятностей безотказной работы. По аналогии можно заключить, что логическая сумма соответствует произведению вероятностей отказов и дополнению этого результата до 1 согласно пояснениям в п. 3.11.1.

В практике расчетов показателей надежности сложных объектов нередки случаи, когда схема соединений элементов объекта не сводится к рассмотрен-

ным случаям,

а является

более

1

2

сложной. Простейший пример тако-

го объекта – так называемая мости-

ковая схема (рис. 3.38). Для опреде-

3

ления вероятности безотказной ра-

боты такого объекта воспользуемся

известным из

теории

булевых

4

5

функций тождеством – так назы-

ваемым

разложением

Шеннона.

Рис. 3.38. Мостиковая схема

Пусть

y = f (x1, x2 ,..., xn )

–

произ-

вольная булева функция, тогда

y = xi f (x1, x2 ,...,0,..., xn ) xi f (x1, x2 ,...,1,..., xn ) .

(3.25)

Используем это тождество для мостиковой схемы применительно к третьему элементу, не конкретизируя вид функции f :

y = x3 f (x1, x2 ,0, x4 , x5 ) x3 f (x1, x2 ,1, x4 , x5 ) .

(3.26)

Поскольку значение 0 соответствует отказу третьего элемента, значение 1 – его работоспособному состоянию, логические функции в формуле (3.26) соответствуют двум схемам, представленным на рис. 3.39, полученным из схемы рис. 3.38.

117

1		2		1		2
4		5		4		5
	а				б

Рис. 3.39. Схемы, полученные из мостиковой схемы

В схеме а) третий элемент отсутствует, что имитирует его отказ; в схеме б) этот элемент заменен перемычкой, имитирующей его абсолютную надежность в отличие от других элементов, которые могут отказать. Полученные в результате схемы представляют собой известные случаи соединения элементов. Для простоты предположим, что все элементы равнонадежны и имеют интенсивность отказов λ. Первая схема – это общее резервирование объекта, содержащего два элемента, откуда следует выражение для вероятности безотказной работы:

P1(t) =1 − (1 − e−2λt )2 ;

вторая – поэлементное резервирование, что дает

P2 (t) = (1 − (1 − e−λt )2 )2 .

Так как x3x3 = 0 , то логическое произведение слагаемых в формуле (3.26)

также равно 0; это означает, что с вероятностной точки зрения этим слагаемым соответствуют несовместные события. Поскольку инверсии x3 соответствует

отказ третьего элемента, в результате вероятность безотказной работы мостиковой схемы дается следующим выражением:

P(t) = (1 − e−λt )(1 − (1 − e−2λt )2 ) + e−λt (1 − (1 − e−λt )2 )2 .

Аналогичным образом с помощью разложения Шеннона (3.25) могут быть рассмотрены объекты с более сложной структурой. Детально с этими вопросами можно ознакомиться в книгах [9, 11].

3.17. Надежность по постепенным отказам

Детальное рассмотрение в настоящей работе внезапных отказов объясняется тем, что для многих современных элементов электронной техники они наиболее характерны. Тем не менее коротко остановимся на другом типе отказов – постепенных. Напомним, что постепенный отказ наступает в результате

118

изменения одного или нескольких выходных параметров объекта. Проведение расчетов показателей надежности для такого типа отказов представляет существенно более сложную задачу, поскольку здесь необходимо учитывать, что выходной параметр представляет собой случайную функцию времени и необходимо использовать математический аппарат теории случайных процессов.

В качестве примера того, как могут быть рассчитаны показатели надежности в простом случае, предположим, что поведение выходного параметра во времени описывается следующим образом:

y(t) = y0 (1 + δt) ,

(3.27)

где y0 – значение параметра в момент времени t = 0 (неслучайная известная ве-

личина), δ – скорость изменения параметра (случайная величина с известным законом распределения). Напомним, что аналогичная модель была использована при расчете погрешности старения, где было показано, что с достаточной степенью точности можно считать, что δ – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием E(KCY ) и средним квадратиче-

ским σ = 13 l(KCY ) , формулы для которых были получены в подразд. 2.6. На-

шей задачей будет определение функции вероятности безотказной работы P(t) .

Для решения этой задачи рассмотрим рис. 3.40, где для заданного момента времени τ представлены три реализации случайного процесса y(t) : 1 и 2 – это

предельные реализации, при которых параметр y еще не выходит за допустимые пределы yн и yв в момент времени τ, 3 – произвольная реализация, при

которой параметр y находится в допуске в момент времени τ. Из рис. 3.40 следует, что

P(τ) = Вер(−β ≤ γ ≤ α) ,

(3.28)

где α, β и γ – углы, соответствующие каждой из рассматриваемых реализаций; напомним, что углы, откладываемые против часовой стрелки, имеют отрицательные значения.

Равенство (3.28) эквивалентно соотношению

P(τ) = Вер(−tg(β) ≤ tg(γ) ≤ tg(α)) ,

(3.29)

этосвязано стем, что tg(x) – монотоннаяфункцияпри - π/ 2 < x < π/ 2 . Изрис. 3.40 следует, что

tg(β) =	yв − y0	,	tg(β) =	y0 − yн	;
	τ
				τ

119

tg(γ), по определению, представляет собой производную функции y(t) , что с учетом (3.27) дает tg(γ) = y0δ. В результате выражение (3.29) принимает вид

P(τ) = Вер(− y0 − yн ≤ δ ≤ yв − y0 ) , y0τ y0τ

откуда следует, что решение поставленной задачи сводится к стандартной задаче теории вероятностей – определению вероятности того, что случайная величина δ находится в заданных пределах. Поскольку δ – нормальная случайная величина, то

					1	b	−	(δ−δ0 )2
			P(t) =			∫e		2σ2	dδ,
					2πσa
где a = −	y0 − yн	, b =	yв − y0	.
	y0τ
			y0τ
	yв	y						1
						α		3
	y0						γ
						β
								2
	yн

t

τ

Рис. 3.40. Иллюстрация к учету постепенных отказов

Известно, что этот интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому последнее выражение обычно записывается через функцию Лапласа

	1	x	−	z 2
				2σ 2 dz
Φ(x) =		∫e
	2π	0

следующим образом (здесь учтено, что Φ(−x) = −Φ(x) ):

120