Пособие ТОКН

Фактически в этом методе реализуется эксперимент над моделью устройства и вместо варьирования значений параметров производится имитация такого варьирования; значениявыходногопараметранеизмеряются, арассчитываютсяпомодели.

2.4. Методы расчета разброса выходного параметра

Рассматриваемая задача обычно называется задачей анализа допусков и состоит в следующем: для заданного устройства и допусков на параметры элементов найти величину разброса выходного параметра. Предполагается, что известны коэффициенты влияния B1, B2 ,…, Bn и необходимые характеристики

полей допусков элементов.

Рассмотрим три метода, в основе которых лежит уравнение погрешностей

у	= ∑В	xi	.
у
	i	x
		i

2.4.1. Метод наихудшего случая

Принимается E y = 0, величина разброса рассчитывается по формуле

ly = ∑in=1 Bi δi .

Например, для рассмотренного выше плоского конденсатора при

δr =10% , δε =10% и δд =10% получаем l y = 2 10 +1 10 + −1 10 = 40% .

Таким образом, в методе учитываются предельные значения входных параметров в их наихудшем сочетании. Поясним это. Предельное значение – это максимальное или минимальное значение параметра каждого элемента в пределах его поля допуска; под наихудшим сочетанием понимается такая комбинация предельных значений, когда изменения всех входных параметров одновременно увеличивают или уменьшают значение выходного параметра.

Ясно, что метод дает сильно завышенное значение величины разброса. Фактически он позволяет найти те пределы, в которых гарантированно находятся значения выходного параметра, если значения входных параметров принадлежат их полям допусков. Сказанное, однако, справедливо только для тех случаев, когда в пределах полей допусков на параметры элементов может быть применена линеаризация, о которой говорилось в подразд. 2.2. Метод используется в тех случаях, когда необходимо найти гарантированные пределы изменения выходного параметра.

2.4.2. Метод квадратичного сложения

Принимается E y = 0 , величина разброса рассчитывается по формуле

l y = ∑in=1 Bi2δi2 .

(2.7)

51

Для примера с плоским конденсатором получаем

l y = 22 102 +12 102 + (−1)2 102 ≈ 24,5% .

Метод дает близкие к получаемым на практике значения разброса, отклонения могут быть как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения. Факторы, которые вызывают это, будут объяснены ниже.

2.4.3. Вероятностный метод В основе метода лежит предположение о том, что погрешности – случай-

ные величины с известными законами распределения. На основе этого предположения для расчетов используется теория вероятностей. В этом методе рассчитываются обе характеристики поля рассеивания выходного параметра.

1. Расчет середины поля рассеивания. Как уже говорилось, основными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия. Известно, что координата середины поля допуска Е связана с величиной математического ожидания соотношениями

	x	= Ex + αxδx ,		y	= E y + αyl y ,	(2.8)
M			M
	x			y

где αx ( αy ) – коэффициент асимметрии, он учитывает степень асимметрии за-

кона, которой описываются погрешности рассматриваемого параметра; для симметричных законов, например нормального или равномерного, αx = 0 .

Исходя из равенства (2.4) получим формулу для расчета величины E y , при

этом будем опираться на известную формулу для математического ожидания суммы случайных величин:

M yy = ∑Bi M xxii .

Произведя в этом выражении замену математических ожиданий согласно выражению (2.8), получим следующий результат:

E y + αyly = ∑Bi (Ei + αiδi ) .

(2.9)

Один из важнейших результатов теории вероятностей, которым будем пользоваться, это так называемая центральная предельная теорема [4, 5]. Сформулируем ее в упрощенном (можно сказать – инженерном) виде, который будет вполне достаточен для наших целей: если случайная величина является суммой

52

большого числа случайных величин с произвольными законами распределения, то она будет распределена приблизительно по нормальному закону.

Из сказанного следует, что коэффициент асимметрии выходного параметра αy близок к нулю, и тогда из (2.9) следует равенство

E y = ∑Bi (Ei + αiδi ) .

Как правило, законы распределения погрешностей параметров элементов близки к симметричным, откуда αi = 0 для всех i, в результате чего получаем

окончательное выражение

E y = ∑in=1 Bi Ei ,

(2.10)

которое обычно используется в инженерных расчетах.

2. Расчет величины разброса. Исходя из смысла дисперсии и допуска (или разброса) можно предположить, что эти величины тесно связаны между собой. Действительно, справедливо соотношение

x

=

x

= λxδx ,

y

=

y

= λyl y ,

(2.11)

σ

D

σ

D

x

x

y

y

где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины (погрешно-

сти)	x	; λx ( λy ) – коэффициент, называемый коэффициентом рассеивания.
	x

Для получения расчетного соотношения для величины разброса выходного параметра предположим вначале, что погрешности всех входных параметров попарно независимы. Тогда из (2.4) получаем известное соотношение для дисперсии суммы независимых величин:

D yy = ∑Bi2 D xxii .

Заменяя дисперсию согласно соотношению (2.11) и производя простые преобразования, в итоге получаем

		l y = ∑in=1Bi2ki2δi2 ,
где ki =	λi	– коэффициент относительного рассеивания, который учитывает
	λy

закон распределения погрешности входного параметра, в частности, для нор-

53

мально распределенных параметров ki =1, для равномерно распределенных

ki = 3 и т.д.

Длякоррелированныхвеличинвыражениедлясуммыдисперсийусложняется:

y

2

xi

+ 2 ∑rij Bi B j

xi

x j

D

= ∑Bi

D

x

D

x

D

x

,

y

i

i< j

i

j

где r – коэффициент корреляции пары погрешностей

xi

и

x j

.

ij

xi

x j

Остановимся подробнее на смысле коэффициента корреляции. Случайные величины Xi и X j могут быть связаны между собой разного рода зависимо-

стями. Примеры таких зависимостей приведены на рис. 2.5, где каждая точка соответствует паре конкретных значений этих величин; будем полагать, что фигуры на рис. 2.5, б и в равномерно заполнены такими точками. Проанализируем эти зависимости.

X j	X j	X j
	. . .
	. . .
	. . .
	. . . .
	. . .
	. . .
	. . .

Xi	Xi	Xi
а	б	в

Рис. 2.5. Примеры зависимостей между случайными величинами

Из рис. 2.5, а следует, что при возрастании величины Xi имеет тенденцию возрастать величина X j , при этом нельзя сказать, что X j просто возрастает,

так как в отдельных случаях она может и убывать, но тенденция к возрастанию сохраняется. Математически это означает, что коэффициент корреляции rij > 0 ,

формула для его определения не приводится, ее можно найти в работе [4].

Из рис. 2.5, б следует, что при увеличении Xi в пределах, отмеченных штриховыми линиями, меняется диапазон возможных значений величины X j , при

54

этом тенденции к увеличению X j нет. Последнее соответствует случаю rij = 0 , т.е. величины Xi и X j некоррелированы; ясно, однако, что они зависимы. В слу-

чае рис. 2.5, в величины независимы: каждая из них независимо от значений другой может меняться в своих пределах. Очевидно также, что здесь rij = 0 .

Таким образом, можно сделать следующие выводы. Если величины независимы, то они некоррелированы, однако из некоррелированности не следует их независимость, т.е. корреляция описывает не любой, а только определенный тип зависимости случайных величин. Более того, из rij ≠ 0 не следует, что ве-

личина Xi обязательно влияет на X j , тем более, что rij = rji , т.е. величины Xi и X j в смысле коэффициента корреляции симметричны. Суть дела состоит в

том, что имеется некоторая третья величина, непосредственно не наблюдаемая, но оказывающая влияние на Xi и X j .

Известно [5], что всегда −1 ≤ rij ≤ +1, причем | rij |=1 только тогда, когда X j = aXi +b для некоторых постоянных чисел a и b, т.е. когда величины Xi и X j связаны функциональной, а не статистической, как на рис. 2.5, а, зависимо-

стью. Таким образом, можно сказать, что корреляция отвечает за степень близости к линейной зависимости между рассматриваемыми случайными величинами.

Общая формула для расчета разброса выходного параметра в случае ненулевой корреляции имеет вид

l y = ∑in=1 Bi2ki2δi2 + 2 ∑rij Bi B j ki k jδiδ j .	(2.12)
i< j

2.4.4. Соотношение между разбросом и допуском

Коротко остановимся на соотношениях разброса ly и допуска δy . Как уже

говорилось, поле допуска – это множество значений, которые должен принимать параметр согласно техническим условиям, поле рассеивания – множество значений, которые он может принимать. Ясно, что в идеальном случае δy ≥ly ,

т.е. параметр всегда находится в пределах поля допуска. Реально такая ситуация встречается далеко не всегда, как правило, δy < ly (рис. 2.6). При этом по-

является ненулевая вероятность α того, что выходной параметр может выйти за пределы поля допуска.

Величина этой вероятности зависит от соотношения рассчитанной величины разброса и заданного допуска и для случая нормального распределенного

	выходного параметра приведена в табл. 2.1, где γ =	δy	– так называемый ко-
		l y

эффициент гарантированной надежности. На рис. 2.6 эта вероятность определя-

55

ется площадью заштрихованной части под графиком плотности вероятности. Как следует из табл. 2.1, при γ =1, т.е. когда δy = l y , имеется ненулевая веро-

ятность выхода параметра за пределы поля допуска, однако она настолько мала, что на практике ею пренебрегают. Из теории вероятностей известно, что для нормальной случайной величины вероятность того, что ее значения находятся в интервале ± 3σ относительно математического ожидания, равна 1 – 0,0027 =

= 0,9973. По этой причине обычно принимается l y	= 3σ	y	.
		y
ϕ( y / y)

ly

δy

δy

ly

y / y

Рис. 2.6. Соотношение полей допуска и рассеивания

Таблица 2.1

Коэффициенты гарантированной надежности

γ	1	0,857	0,55	0,343
α	0,0027	0,01	0,1	0,3

2.4.5. Частные случаи вероятностного метода Из предыдущего должно быть ясно, что вероятностный метод является

наиболее общим методом расчета. Покажем, что это действительно так, и вместе с тем установим, при каких исходных предположениях можно применять частные методы – наихудшего случая и квадратичного сложения.

1. Пусть выполняется следующее:

погрешности всех входных параметров распределены по нормальному закону;

допуски на погрешности всех входных параметров симметричны; входные параметры попарно некоррелированы.

Проанализируем эти допущения. Из первого следует: k1 =... = kn =1, из второго E1 =... = En = 0 , из третьего rij = 0 для всех i, j . Подставляя эти значения в равенства (2.10) и (2.12), в итоге получаем

56

E y = 0 ,

l y = ∑Bi2 δi2 ,

что соответствует методу квадратичного сложения. Сделанные допущения нередко выполняются на практике, что и объясняет близость рассчитанных методом квадратичного сложения характеристик к получаемым на практике значениям разброса.

2. Пусть выполняется следующее:

погрешностивсехвходныхпараметровраспределеныпонормальномузакону; допуски на погрешности входных параметров симметричны;

входные параметры коррелированы с | rij |=1, причем если Bi B j > 0 , то

rij =1, если Bi B j < 0, то rij = −1.

Поскольку первые два допущения совпадают с аналогичными в предыдущем случае, то E y = 0. Выражение (2.12) для разброса с учетом принятых зна-

чений принимает следующий вид (для наглядности рассмотрим случай n = 2):

ly = B12 δ12 + B22 δ22 + 2 B1 B2 δ1δ2 = B1 δ1 + B2 δ2 .

Как видно, оно соответствует методу наихудшего случая. Последнее нетрудно понять, если учесть, что выполнение равенства | rij |=1 влечет за собой

следующее обстоятельство: при достижении некоторым входным параметром своего предельного значения остальные параметры также принимают свои предельные значения, а указанный выбор знака коэффициента корреляции в зависимости от знака произведения Bi B j говорит о том, что комбинация предель-

ных значений входных параметров будет наихудшей с точки зрения отклонения выходного параметра.

2.5. Учет температурных воздействий

Все формулы, приведенные выше, были получены при учете только производственных погрешностей входных параметров. Известно, что кроме производственных погрешностей на выходной параметр узла РЭА оказывают влияние различные дестабилизирующие факторы: температура, влажность, давление, процессы старения элементов и т.д. Выясним, как учитывать эти факторы на примере температуры.

Пусть диапазон температур, в котором может эксплуатироваться рассматриваемое устройство, составляет t1 ÷t2 . Предположим также, что в этом диапа-

зоне зависимость параметра i-го элемента от температуры может быть описана линейной моделью

xi (t) = xi0 (1 +TKXi t) ,

(2.13)

57

xi	где TKX i – температурный коэффициент
	параметра xi ; t = t2 − t1. Реальная зави-

симость значения параметра от температуры, как правило, нелинейна, представленная модель является следствием линеаризации (рис. 2.7).

С учетом выражения (2.13) зависимость (2.1) можно записать в виде

	200	t
	Рис. 2.7. Реальная температурная	y = f (x1, x2 ,..., xn ,t) ,
	зависимость и ее линеаризация

причем переменная t входит в это выражение неявно.

Как и при выводе основного уравнения, найдем полный дифференциал dy , учтя при этом зависимость (2.13):

dy = ∑	∂f	dxi + ∑	∂f		dxi	dt = ∑	∂f	dxi + ∑	∂f	xi0 TKX i dt .
	∂xi						∂xi
			∂xi dt						∂xi

Перейдем к конечным приращениям и разделим обе части полученного равенства на y :

y

= ∑

∂f xi

xi

+ ∑

∂f xi0

TKX i t =

y

∂x

f

x

∂x

f

i

i

i

(2.14)

xi

= ∑Bi

+ ∑Bi TKX i t.

x

i

Сравнивая последнее выражение с равенством (2.4), нетрудно прийти к выводу, что температурная составляющая погрешности выходного параметра

	y		имеет вид
	y
		t

	y		=	∑	B	ТKX		t .	(2.15)
							i
	y				i
		t

Из структуры соотношения (2.14) также следует, что температурная погрешность может рассматриваться независимо от производственной погрешности.

58

Известно, что в общем (нелинейном) случае температурный коэффициент

определяется как	ТKX i =			∂xi				1		; в конечных приращениях это соотношение
					∂t x0i
			xi
принимает вид ТKX i		=			1				. Тогда из (2.15) следует, что температурный ко-
			t			x0i
эффициент выходного и входных параметров связаны зависимостью
								ТKY = ∑Bi ТKX i .			(2.16)

Поскольку температурные коэффициенты входных параметров подвержены производственным погрешностям, будем характеризовать их средними значениями E(TKX i ) и допусками δ(TKXi ) . При этом возникает задача определе-

ния соответствующих характеристик для температурного коэффициента TKY . Очевидно, что она по сути совпадает с задачей, которая решалась до сих пор, из-за сходства зависимостей (2.4) и (2.16). Естественным представляется использовать здесь частный случай вероятностного метода – метод квадратичного сложения, помня о тех допущениях, при которых он справедлив. Необходимо, кроме того, учесть специфику задачи, а именно тот факт, что здесь речь идет не о погрешностях коэффициентов, а об их текущих значениях. Это сказывается на том, что для симметричного допуска совсем не обязательно будет выполняться равенство E(TKX ) = 0 .

Сравнивая соотношения (2.4) и (2.16) и учитывая сделанные замечания, по аналогии с равенствами (2.10) и (2.7) получаем:

E(TKY ) = ∑Bi E(TKX i ),

l(TKY ) =

∑Bi2 δ2 (TKX i ) .

Выясним, как следует учитывать температурную погрешность при расчете

допусков. Из (2.14) следует, что

общая

погрешность выходного

параметра

представляется как сумма производственной

y

y

и температурной

y

пр

y t

составляющих:

y

y

+

y

,

(2.17)

=

y

y Σ

y пр

t

где производственная составляющая определяется выражением (2.4). Будем предполагать, что производственная и температурная составляющие распределены по нормальным законам и некоррелированы. В общем случае это не так,

59

поскольку могут быть коррелированы значение входного параметра и его температурный коэффициент из-за того, что этот параметр и температурный коэффициент формируются в ходе единого технологического процесса.

Применяя к выражению (2.17) принципы вероятностного метода расчета и учитывая приведенные ранее соотношения между математическим ожиданием и дисперсией, с одной стороны, и координатой середины поля допуска и величиной разброса – с другой (см. соотношения (2.8) и (2.11)), получим в итоге

E y Σ = E y пр + E y t ,

l y Σ = l y2 пр + l y2 t .

Величины E y t и l y t определяются на основе соотношений (2.15) и (2.16):

E y t = E(TKY )(t − 200 ) ,

l y t = l(TKY ) | t − 200 |.

(2.18)

Поскольку температура может меняться в диапазоне t1 ÷t2 , величины E y t и ly t могут также меняться, причем из соотношения (2.18) следует, что

изменение температуры приводит к смещению середины поля рассеивания выходного параметра и изменению величины разброса. Взяв предельные значения температуры, эти эффекты удобно проиллюстрировать графически (рис. 2.8, где для простоты приведены равномерные законы распределения погрешностей). Наличие таких эффектов приводит к тому, что существенно расширяется поле рассеивания выходного параметра, что, в свою очередь, ужесточает требования к допускам на входные параметры и их температурным коэффициентам.

Если в диапазоне изменения температур зависимость параметра от температуры существенно нелинейна и плохо описывается моделью (2.13), можно применить кусочно-линейную аппроксимацию, т.е. заменить нелинейную функцию несколькими линейными.

ϕ( yy)

E y t	E y t	2
1

y y

E y пр

Рис. 2.8. Разброс значений параметра под влиянием температуры

60