Пособие ТОКН

xi . Совместная область получается

этом параметр xг изменяют в возможно более широких пределах и отмечают те его значения, при которых нарушается условие y y . Описанная процедура по-

вторяется при каждом значении выбранного параметра и в результате получается некоторое сечение (рис. 2.13).

Аналогично строится сечение по			xi
остальным параметрам.				•	•
На основе отдельных сече-
ний может быть построена со-				•	•
				•	•
вместная область, являющаяся
				•	•
аппроксимацией	искомой	об-
				•	•
ласти. Для построения такой
				•	•
области каждое сечение пере-				•	•
считывается для	нормирован-				xг
ных входных параметров (кроме			Рис. 2.13. Построение сечения по параметру xi
граничного):
	~	xi − xi0		i=1,2,…,n,
	xi =		,
		xi0

где xi0 – номинальное значение параметра

в результате пересечения сечений по всем параметрам (рис. 2.14).

Вписание в область работоспособности ортогонального параллелепипеда определит допуски на входные параметры.

~	~
x1	, …, xn

xг

Рис. 2.14. Совместная область

2.8.2. Метод матричных испытаний Метод граничных испытаний не дает возможности учитывать одновремен-

ность изменений параметров x1, x2 ,..., xn в реальных условиях практики, что

может приводить к большим погрешностям при назначении допусков. Свободным от такого недостатка является метод матричных испытаний. Суть этого

71

метода состоит в одновременной, а не в поочередной (как при граничных испытаниях) имитации изменений всех параметров и определении тех их значений, при которых перестает выполняться условие y y .

Отметим следующее. Обычно при разработке РЭА для обеспечения его нормального функционирования приходится накладывать определенные требования на допустимые изменения параметров. Такими требованиями могут быть, например, ограничения на величины отклонений параметров от их номиналов, возможный интервал изменения напряжения питания, допустимый температурный диапазон и др. Некоторые из этих требований обусловлены спецификой тактических требований, предъявляемых к данному устройству, и изменению не подлежат (например, температурный интервал, интервал изменения напряжения питания и т.д.), другие же могут быть изменены в процессе отработки устройства (например, номинальные значения параметров его элементов). Учитывая требования на допустимые изменения параметров устройства, всегда можно определить для каждого из них разумный диапазон вариаций, который следует учитывать при проведении матричных испытаний.

Идея проведения матричных испытаний состоит в следующем. Для каждого из параметров x1, x2 ,..., xn принятый диапазон вариаций (xi min , xi max ) разбивается на li квантов. В качестве представителей квантов выбираются значе-

ния параметров, соответствующие серединам квантов. Предполагается, что если при значении параметра, соответствующем представителю кванта, нарушается (не нарушается) условие y y , то устройство неработоспособно (работо-

способно) при всех значениях параметра, лежащих в этом кванте.

Введем понятие ситуации, под которой будем понимать такое состояние устройства, когда каждый из его параметров принимает значение, соответствующее представителю определенного кванта. Число возможных ситуаций равно

L = l1 l2 ... ln .

Процедура матричных испытаний состоит в переборе всех ситуаций и установлении их характера (выполнение или невыполнение условия y y ), что

дает возможность построить область работоспособности. Очевидно, что в каждой ситуации учитывается дискретное изменение всех параметров одновременно. При этом перебор ситуаций наиболее полно моделирует работу устройства, поскольку такое моделирование позволяет довольно точно воспроизвести работу устройства и учесть все факторы, влияющие на его функционирование.

Решение задачи назначения допусков после проведения матричных испытаний может быть получено путем вписания в найденную область работоспособности ортогонального параллелепипеда.

На рис. 2.15 приведен пример результатов матричных испытаний для двух входных параметров, имеющих 7 и 4 квантов соответственно. Каждой ситуации

72

отвечает определенная ячейка; заштрихованы ячейки, в которых выполняется условие y y . Совокупность заштрихованных ячеек дает приближенное опи-

сание области работоспособности.

x2

x2 max

x2 min

x1min

x1max

x1

Рис. 2.15. Иллюстрация к матричным испытаниям

Недостатком метода матричных испытаний является большой объем вычислений. Например, при 5 квантах для каждого из 15 параметров получаем

N = 515 ≈ 3 1010 ситуаций, для каждой из которых должны выполняться определенные вычисления, позволяющие установить, выполнено или нет условие y y . Для преодоления этой трудности, а также решения многих других задач

большой размерности используется метод декомпозиции, когда производится разбиение большой задачи на ряд сравнительно простых подзадач.

Рассмотрим этот метод на примере, когда устройство содержит 15 элементов, которые содержатся в трех узлах – по 5 элементов в каждом узле; выходное значение i-го узда описывается переменной zi (рис. 2.16). Тогда матричные ис-

пытания вначале проводятся для всего устройства в предположении, что входными переменными являются z1, z2

и z3 ; это при пяти квантах для каж-			z
дой из переменных zi дает 53 =125	x1 ÷ x5		1
ситуаций. Затем, задав на эти пере-
менные допуски, матричные испы-			z2		y
тания проводят отдельно для каждо-	x6	÷ x10
го узла, что при таком же количест-
ве квантов для переменных x1 ÷ x15			z3
дает 3 55 = 9375 ситуаций. В ре-
	x11	÷ x15
зультате суммарное число ситуаций
составит 9500 ≈104 , что сущест-

венно меньше 3 1010 .	Рис. 2.16. Иллюстрация к методу декомпозиции

73

Определенным недостатком здесь является необходимость задавать допуски на переменные z1, z2 , z3 и некоторое уменьшение точности аппроксимации об-

ласти работоспособности. Это, однако, может компенсироваться увеличением числа квантов, что увеличит число ситуаций, но выигрыш тем не менее останется.

2.9.Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)

2.9.1.Краткая история

Можно считать, что метод статистических испытаний начинается с так называемого опыта Бюффона, который решил в середине XVIII века следующую задачу. Дана идеальная горизонтально расположенная плоскость, на которой нанесены прямые параллельные линии на расстоянии L друг от друга; на плоскость бросается идеальная игла в виде отрезка прямой длины l, l<L; найти вероятность того, что игла пересечет или затронет какую-то линию. Предлагается решить эту задачу самостоятельно, приведем только окончательный результат:

P =	2l	.
	πL
Опираясь на этот результат, Бюффон и ряд других исследователей провели
			2 l		ˆ
реальные опыты, по результатам которых определялось число π: π =			L	ˆ	, где P
				P

представляет собой отношение числа опытов, где игла пересекала линию или касалась ее, к общему их числу. Расчеты давали значение π, близкое к истинному. Понятно, что чисто математические методы (в частности, разложение в ряд) дают гораздо более точное значение π, поэтому этот результат оставался своеобразным курьезом в науке до тех пор, пока в 1949 г. Джон фон Нейман не предложил применить этот метод для проведения расчетов при проектировании ядерных реакторов.

2.9.2. Суть метода Монте-Карло Идея метода Монте-Карло состоит в том, чтобы сложные аналитические

вычисления заменить вычислительным экспериментом на ЭВМ. Для иллюстрации этого рассмотрим следующую задачу.

Задано некоторое устройство, описанное моделью y = f (x1, x2,..., xn ) , с из-

вестными законами распределения входных параметров. Требуется найти закон распределения выходного параметра. Эту задачу можно решить тремя методами, по своей сути похожими на методы определения коэффициентов влияния, описанными в подразд. 2.3.

1. Аналитический. По формуле y = f (x1, x2,..., xn ) с использованием извест-

ных соотношений теории вероятностей производится непосредственный расчет интересующей нас характеристики; метод весьма трудоемок и редко приводит к результатам, которые могут быть представлены через элементарные функции.

74

Рис. 2.17. Плотность вероятности случайной величины R

2.Проведение натурного эксперимента. Производится большое число экспериментов, в каждом из которых всем входным параметрам придаются некоторые случайные значения в соответствии с их законами распределения, и измеряется значение выходного параметра у; для полученного в результате множества значений выходного параметра проводится статистическая обработка, в частности строитсягистограмма, наосновекоторойопределяется искомыйзаконраспределения.

3.Проведение вычислительного эксперимента. Реализуется большое число циклов моделирования, в каждом из которых производится так называемый розы-

грыш. В данном случае он состоит в получении значений n случайных величин с заданными законами распределения, после чего по формуле y = f (x1, x2,..., xn )

производится расчет значения у. По аналогии с предыдущим случаем для полученного в результате множества значений выходного параметра проводится статистическая обработка.

Необходимо отметить, что погрешность метода Монте-Карло пропорциональна D N , где D – некоторая константа, N – число циклов моделирования.

2.9.3. Получение случайной величины с заданным законом распределения Ключевую роль в методе Монте-Карло играет розыгрыш, т.е. получение

реализации случайной величины с задан-
ным законом распределения. В основе этой
процедуры лежит случайная величина R,	1
равномерно распределенная на интервале
[0, 1] (рис. 2.17). Случайная величина X с
заданной плотностью вероятности может	0		1		r
быть получена следующим образом.

Рассчитывается функция распределения случайной величины Х:

x

F(x) = ∫ϕ(x)dx ;

−∞

определяется обратная функция x = F −1(r) , которая преобразует полученное

значение r равномерно распределенной случайной величины R в значение x случайной величины X, имеющей заданную плотность вероятности ϕ(x) (рис. 2.18).

Покажем, что это действительно так. Найдем вероятность события X ≤ x :

F (x)

P(X ≤ x) = P(R ≤ F(x)) = ∫ϕравн(r)dr = F(x) .

0

Последнее равенство следует из того, что ϕравн(r) =1 при 0 ≤ r ≤1. Таким образом, функция распределения случайной величины, полученной с помощью

функции F −1, действительно совпадает с требуемой F(x) .

75

F(x)

1

R

X

x

Рис. 2.18. Иллюстрация к получению случайной величины

В качестве примера рассмотрим задачу получения случайной величины с экспоненциальным законом, когда

ϕ(x) = λ e−λx , x ≥ 0 .

Несложные вычисления приводят к следующим результатам:

F(x) =1 − e−λx ,	r =1 −e−λx ,	x = −	1	ln(1 − r) .
			λ

Другие способы получения чисел с заданным законом распределения рассмотрены в работах [4, 13].

К сожалению, описанный подход не удается использовать для получения случайной величины с часто используемым на практике нормальным законом распределения, поскольку ее функция распределения не выражается через элементарные функции. Выход был найден за счет центральной предельной теоремы, на основе которой в этом случае делается следующее: разыгрывается 6 случайных величин R1÷R6 с равномерными законами распределения и про-

изводится их преобразование по формуле

X = σx 2 (∑i6=1Ri −3) + mx , (2.29)

что с большой степенью точности дает нормально распределенную случайную величину X с математическим ожиданием mx и средним квадратическим σx .

Структура формулы (2.29) объясняется следующим образом: математическое ожидание суммы 6 равномерно распределенных на интервале [0, 1] случайных

величин равно 3, дисперсия – 1/ 2 , поэтому величина 2(∑Ri −3) имеет нор-

мальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

76

2.9.4. Получение равномерно распределенных случайных величин Рассмотрим два возможных способа генерации таких величин.

1.Физический генератор. Он дает хорошее качество случайных чисел, но неудобен из-за отсутствия свойства воспроизводимости генерируемых чисел. Это свойство является важным при произведении повторных расчетов с целью проверки правильности полученных результатов.

2.Математический генератор. Он генерирует так называемые псевдослучайные числа, которые имитируют случайные числа в том смысле, что их свойства близки к свойствам случайных чисел. Кроме того, из-за конечной разрядности представления чисел в ЭВМ они через конечный промежуток времени начнут повторяться, что чаще всего недопустимо. Достоинство их состоит в простоте реализации и воспроизводимости. Разработано большое число методов построения математических генераторов, с ними можно познакомиться в работе [13].

Контрольные вопросы и упражнения

1.Сравните результаты расчетов в пп. 2.4.1 и 2.4.2 и сделайте выводы.

2.Рассчитайте коэффициенты влияния для параллельного соединения резисторов и сравните их с формулами для последовательного соединения.

3. Покажите, что если y = x1k ϕ(x2 ,..., xn ) , то B1 = k .

4.Выведите формулу (2.6).

5.Обоснуйте соотношения (2.15) и (2.16).

6.Чем вызвана разная ширина законов распределения на рис. 2.8?

7.Как обосновать зависимость между допусками и стоимостью, использованную в п. 2.7.1?

8. Обоснуйте переход от неравенства δy ≥ ∑in=1Bi2δi2 к равенству

δy = ∑in=1 Bi2δi2 в задаче синтеза допусков в п. 2.7.1.

9.Покажите, что решение, полученное в п. 2.7.1, дает действительно минимум суммарной стоимости.

10.Проверьте соблюдение размерностей в формулах (2.28).

11.Зачем производится нормирование параметров при построении совместной области в методе граничных испытаний?

12.Покажите, что соотношения (2.25) и (2.26) станут эквивалентными при замене Ц на сд.

3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

3.1. Общие положения

Теория надежности – это одна из многочисленных научных дисциплин, появившихся вскоре после Второй мировой войны, которая (вместе с последующей «холодной войной» и гонкой вооружений) дала мощный толчок развитию различных отраслей техники, так или иначе связанных с военными приложениями. Принято связывать появление теории надежности с вышедшей в 1956 г. работой Джона фон Неймана «Построение надежных схем из ненадежных элементов». Однако проблема надежности всегда стояла перед людьми, в подтверждение этого приведем пространную выдержку из известного указа Петра I: «… Повелеваю хозяина Тульской оружейной фабрики Корнилу Белоглаза бить кнутом

исослать на работу в монастыри, понеже он, подлец, осмелился войску государеву продавать негодные пищали и фузеи. Старшего олдермана Фрола Фукса бить кнутом и сослать в Азов, пусть не ставит клейма на плохие ружья.

Повелеваю ружейной канцелярии из Петербурга переехать в Тулу и денно

инощно блюсти исправность ружей. Пусть дьяки и подьячие смотрят, как олдерман клейма ставит, буде сомнение возьмет, самим проверять и смотром и стрельбою. А два ружья стрелять каждый месяц, пока не испортятся.

Буде заминка в войсках приключится, особливо при сражении, по недогляду дьяков и подьячих, бить оных кнутами нещадно по оголенному месту: хозяину – 25 кнутов и пени по червонцу за ружье, старшего олдермана – бить до бесчувствия, старшего дьяка – отдать в унтер-офицеры, дьяка – отдать в писаря, подьячего – лишить воскресной чарки сроком на один год.

Новому хозяину ружейной фабрики Демидову повелеваю построить дьякам и подьячим избы, дабы не хуже хозяйской были. Буде хуже, пусть Демидов не обижается, повелю живота лишить».

Как видно, в указе оговорены как поощрения, так и наказания, выдержанные в духе того времени. Долгое время мерами такого типа и ограничивались, однако после Второй мировой войны этого стало недостаточно, и появилась необходимость создания соответствующей теории. К непосредственным причинам возникновения теории надежности можно отнести следующее:

резкий рост сложности технических систем, в частности значительное увеличение числа составляющих их элементов;

ужесточение режимов их функционирования (работа при высоких и низких температурах, значительных механических нагрузках, перепадах атмосферного давления и т.п.);

высокая цена отказа систем, связанных с выпуском дорогостоящей продукции или обеспечивающих жизнедеятельность человека (например, на космической станции или подводном аппарате);

полная или частичная автономность работы систем, т.е. невозможность или ограниченность вмешательства человека при возникновении в них отказов (необитаемыеподводныеаппараты, искусственныеспутники, безлюдноепроизводство).

78

Говоря о теории надежности, можно выделить чисто физические и чисто математические ее аспекты, в настоящей работе изучается в основном математическая сторона. С этой точки зрения теорию надежности можно рассматривать как специальный раздел теории вероятностей со своими специфическими задачами и методами их решений.

Есть очень емкая фраза, характеризующая роль этапов жизненного цикла в проблеме обеспечения надежности: надежность закладывается при проектировании, устанавливается при производстве, поддерживается при эксплуатации. Из этой фразы видно, каких результатов можно добиться в деле обеспечения надежности на разных этапах жизненного цикла: максимальных – на первом и минимальных – на третьем.

Кроме чисто технического надёжность имеет и экономический аспект. Качественные графики, приведенные на рис. 3.1, показывают, что для повышения надежности на этапах проектирования и производства системы необходимо вкладывать значительные средства: чем выше требования, тем больше средств (кривая 1). На этапе эксплуатации высокая надёжности системы требует меньших затрат на ремонты и профилактические работы (кривая 2). Третья кривая характеризует суммарные затраты, которые имеют явно выраженный минимум, определяющий оптимальное значение надежности по критерию стоимости.

затраты

3

2

1

•надежность

Рис. 3.1. Иллюстрация к экономическому аспекту надежности

3.2. Основные термины

Ниже приводятся основные термины теории надежности, необходимые для понимания дальнейшего материала.

Надёжность – это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значение всех основных параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.

79

Как следует из определения, надежность – это качественный показатель. Надежность является комплексным свойством, которое в зависимости от назначения объекта и условий его применения может включать безотказность, долговечность, ремонтопригодность, сохраняемость или определенные сочетания этих свойств.

Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени.

Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта.

Ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся в приспособленности к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта.

Сохраняемость – свойство объекта сохранять в заданных пределах значения параметров, характеризующих его способность выполнять требуемые функции, в течение и после хранения и (или) транспортирования.

Определим различные состояния объекта, которые были упомянуты выше. Исправное состояние – состояние объекта, при котором он соответствует всейнормативно-техническойи(или) конструкторской(проектной) документации. Работоспособное состояние – состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют всей нормативно-технической и (или) конструкторской (проект-

ной) документации.

Предельное состояние – состояние объекта, при котором его дальнейшая эксплуатация недопустима или нецелесообразна либо восстановление его работоспособного состояния невозможно или нецелесообразно.

Изменение состояний объекта может происходить из-за повреждений и отказов.

Повреждение – событие, заключающееся в нарушении исправного состояния объекта при сохранении работоспособного состояния.

Важнейшим понятием теории надежности является отказ – событие, состоящее в нарушении работоспособного состояния объекта.

Выделим четыре типа отказов (рис. 3.2 иллюстрирует два из них; пунктиром показаны допустимые верхнее и нижнее значения одного из параметров объекта).

1.Внезапный отказ – отказ, характеризующийся скачкообразным изменением одного или нескольких заданных параметров объекта; вызывается замыканиями и обрывами проводников в электрических цепях, поломкой механических деталей и т.п.

2.Постепенный отказ – отказ, возникающий в результате постепенного изменения одного или нескольких заданных параметров объекта; вызывается износом механических деталей, усталостью металла, необратимыми физикохимическими процессами в элементах, коррозией и т.п.

80