20. Лекция. Іріктеу ережелері және электрон спині.

20.1. Орбиталық және магниттік санның өзгеруі.

20.2. Электрон спині.

20.3. Штерн Герлах тәжірибесінде

Кванттық механикада іріктеу ережесі енгізіледі , ол сәуле шығару және жұтуға байланысты атомдағы электрондардың ауысу мүмкіндігін шектейді: 1) орбиталық кванттық санының өзгеруі келесі шартты қанағаттандырады

(20.1)

2) магниттік кванттық санның өзгеруі мына шартпен шектеледі:

(20.2)

Электронның спині. Спиндік кванттық сан. О. Штерн мен В. Герлахтың біртекті емес магнит өрісінде магниттік моменттерді тікелей өлшеуге арналған тәжірибесі (1922 ж.).

Спектрлік сызықтардың нәзік құрылысын және одан да басқа атомдық физикадағы қиыншылықтарды түсіндіру үшін, американдық физиктер Д. Уленбек пен С. Гаудсмит электронның меншікті жойылмайтын механикалық импульс моменті - спин бар деген жорамал айтты, бірақ ол электронның кеңістіктегі қозғалысына байланысты емес.

Электронның спині (басқа да микробөлшектерге тән) – кванттық шама , оның классикалық аналогы жоқ ; бұл электронның заряды, массасы сияқты оның бөліп алмайтын ішкі қасиеті.

Егер электронның меншікті механикалық импульс моменті (спин) бар десек, онда оған меншікті магнит моменті сәйкес келеді.Спиннің квантталу заңы

(20.3)

мұнда s – спиндік кванттық сан.

Орбиталық импульс моменті сияқты, спиннің проекциясы да квантталады, ал вектор соның арқасында 2s + 1 бағытқа ие бола алады. Штерн мен Герлах тәжірибесінде тек қана екі бағыт байқалған, сондықтан 2s + 1 = 2, одан s = ½ екені көрініп тұр. Спиннің сыртқы магнит өрісінің бағытына проекциясы кванттық шама болғандықтан оған (10.5) формуласын қолдану керек:

(20.4)

- магниттік кванттық сан; ол екі мән ғана қабылдай алады: .

Сонымен, электронды (кез келген микробөлшекті) қосымша ішкі еркіндік дәрежесімен сипаттау керек екендігін жасалған тәжірибелер көрсетті. Сондықтан атомдағы электронның күйін толық сипаттау үшін негізгі, орбиталық және магниттік кванттық сандармен қатар магниттік спиндік кванттық сан берілуі керек.

21 Лекция. Кванттық статистика элементтері

21.1. Теңбе –тең бөлщектер.

21.2. Симметриялы және антисимметриялы функция.

21.3. Паули принципі

21.4. Бозе-Эйнштейннің және Ферми-Дирак үлестірулері

21.5. Электрондардың атомда күйлері бойынша орналасуы

Теңбе-тең бөлшектер. Фермиондар мен бозондар. Паули принципі.

Егер кванттық механикалық жүйе бірдей микробөлшектерден, мысалы, электрондардан тұрса, онда олардың бәрінің физикалық қасиеттері бірдей массалары, электрлік зарядтары, спиндері және басқа кванттық сандары. Мұндай бөлшектерді теңбе-тең бөлшектер деп атайды. Кванттық механикада жаңа фундаментальдық принцип - теңбе-тең бөлшектер ажыратылмаушылығы принципі енгізіледі, ол принцип бойынша тәжірибе кезінде теңбе-тең бөлшектерді ажырату мүмкін емес. Бұл принципті математикалық формуламен келесі түрде өрнектеуге болады:

21.1)

мұнда бірінші және екінші бөлшектің кеңістіктік және спиндік координаттарының жиыны. (11.1) өрнегінен екі жағдай шығуы мүмкін:

(21.2)

Егер бөлшектердің орнын ауыстырғанда толқындық функция таңбасын өзгертпесе, оны симметриялы дейді де, таңбасын өзгертсе – антисимметриялы деп атайды. Толқындық функцияның таңбасының өзгеруі күй өзгеруімен байланысты емес. Толқындық функцияның симметриялы немесе антисимметриялы болуы бөлшектердің спиндеріне байланысты екені анықталған. Барлық элементарлық бөлшектер және олардан құралған жүйелер (атомдар, молекулалар) симметрияның түріне байланысты екі класқа бөлінеді. Жарты санды спиндері бар бөлшектер (мысалы, электрондар, протондар, нейтрондар) антисимметриялы толқындық функциямен суреттеледі және Ферми- Дирак статистикасына бағынады; Бұл бөлшектер фермиондар деп аталады. Спиндері нөл немесе бүтін санды бөлшектер (мысалы мезондар, фотондар) симметриялы толқындық функциялармен суреттеледі және Бозе Эйнштейн статистикасына бағынады; олар бозондар деп аталады. Тақ санды фермиондардан тұратын күрделі бөлшектер (мысалы, атомның ядролары) – фермиондар (жалпы спин – жарты санды), ал жұп санды фермиондар – бозондар (жалпы спин – бүтін сан).

Тәжірибе нәтижелерін қорытып, швейцария физигі В. Паули (1925 ж.) принцип ашты, ол принцип бойынша табиғатта кездесетін фермиондар жүйесі тек қана антисимметриялы толқындық функциялармен суреттелетін күйлерде ғана бола алады. Басқаша айтқанда, бірдей фермиондардан тұратын жүйедегі кез келген екеуі бір уақытта бір күйде бола алмайды. Бір күйде болатын бір типтес бозондардың саны шектелмейді.

Бір атомда төрт кванттық сандары n, l, бірдей бір ғана электрон болуы мүмкін, яғни

Z (n, l, (21.3)

Сонымен, Паули принципі бойынша бір атомда екі электрон болса, екеуінің ең болмаса бір кванттық саны бөлек болады. Берілген кванттық санмен анықталған күйлердегі электрондардың максималдық саны мынаған тең

(21.4)

Атомдардағы электрондар күйлерінің толуы Паули принципіне негізделген, ол Д.И. Менделеевтің элементтердің периодтық жүйесін (1989) бүгінгі химияның, атомдық және ядролық физиканың негізі табиғаттың фундаментальдық заңын түсіндіруге мүмкіндік берді.

Кванттық статистикада көптеген бөлшектерден тұратын жүйелер зат бөлшектерінің корпускулалық-толқындық екі жақтылық және теңбе-тең бөлшектер ажыратылмау принципі негізіндегі кванттық механика заңдарымен зерттеледі. Соңғы принцип бойынша бірдей бөлшектердің барлығын (мысалы, металдағы электрондар) бірінен-бірі ажыратылмайды.

Кванттық статистикада қаралатын мәселенің бірі-бөлшектердің фазалық кеңістіктің ұяшықтары бойынша үлестірілуі (коорди­наттар мен импульстердің алты өлшемдік кеңістігі), ол кеңістіктің элементі мынаған тең , екіншіден жүйенің макрокүй-лерін сыйпаттайтын физикалық шамалардың орташа мәндерін табу. Гейзенбергтің анықталмағандық қатынасын ескергенде, фазалық кеңістіктегі бөлшектің күйіне нүкте емес, фазалық көлемнің ұяшығы h³ сәйкес келеді, h Планк тұрақтысы.

ΔГ_i көлеміндегі ΔN_i бөлшектер Δg_i күйлерінің арасында E_i энергиясымен әртүрлі жағдаймен үлестірілуі мүмкін. Онда ΔГ_i көлеміндегі энергиясы E_i ден E_i + ΔE_i дейінгі кванттық күйлер саны былай анықталады

. (21.5)

Кез келген функцияның орташа мәні жүйенің берілген күйінің ықтималдығын да табуға болатын үлестірілу функ­циясымен анықталады.

Бозе-Эйнштейн және Ферми-Дирак үлестірілуі.

Кванттық механикада бөлшектердің екі түрін ажыратады: спиндері бүтін санды немесе нөл (бірлік өлшемі)-бозондар, олар Паули принципіне бағынбайды және Бозе-Эйнштейн үлестірілуімен сипатталады (мысалы, кейбір ядролар, фотондар, фонондар) және спиндері жарты сан болып келетін (электрондар, протондар, ней­трондар және басқалар). Фермиондар Ферми-Дирактың кванттық статистикасымен сипатталады және Паули принципіне бағынады. Бозе-Эйнштейнің үлестірілу функциясы f_Б берілген энергиясы бар күйлерде бозондардың орташа “орналасуын” немесе олардың бір күйдегі орташа санын береді:

, мұнда - энергисы мына интервалда E_i до E_i + ΔE_i жатқан бөлшектер саны, осы энергия интервалындағы кванттық күйлер саны.

Бозондардың энергия бойынша үлестірілуі Гиббстің каноникалық үлестірілуінен алынады, егер жүйедегі энергия E және бөлшектер саны N сақталса:

(21.6)

мұнда k – Больцман тұрақтысы, Т – термодинамикалық температура, μ – химиялық потенциал, ол изобарлық-изотермдік шарттар орындалғанда жүйедегі бөлшектер санының бірге өсуіне кететін жұмысқа тең. μ≤0, олай болмаса берілген күйдегі бозондар саны теріс мәнді болар еді, оның ешқандай мағынасы жоқ.

Ферми-Дирактың үлестірілу функциясы сол сияқты анықталады:

(21.7)

Мұнда μ, жоғарыдағыдай емес (8.6), оң санға да ие болады.

Классикалық (Максвелл-Больцман) және кванттық статистикалардың үлестірілу функцияларының мағынасына байланысты, бір күйдегі бөлшектердің орташа санын бірдей формуламен жазуға болады:

(21.8)

Максвелл-Больцман үлестірілуіндеδ = 0 және μ = 0, Бозе-Эйнштейн үлестірілуінде δ = -1 және Ферми-Дирака үлестірілуінде δ = +1. Үлестірілудің үшеуі де 8.1 суретте көрсетілген.

Егер бөлшектер жүйесінің қасиеттері кванттық заңдылық-тармен суреттелсе, оны айныған күй деп атайды. Төменгі температурада және 21.1-сурет. үлкен тығыздықтарда бозе-

немесе ферми-газдар үшін айнудың маңызы арта береді. Мына шаманы айну параметрі дейді. A<<1 болғанда (шамалы айну), (21.8) формулада δ –ны есептемеуге болады және үлестірілудің кванттық функциялары классикалық үлестірілуге ауысады. А- параметрі бөлшектердің жалпы санының сақталу шартынан анықталады:

(21.9)

мұнда n – бөлшектер концентрациясы, m – бөлшек массасы, Т – температура,

k –Больцман тұрақтысы, h –Планк тұрақтысы.

Айныған газ деп металдағы электрондарды айтуға болады, олар Максвелл-Больцман классикалық статистикасына бағынбайды..