18. Лекция. Бір өлшемді тік бұрышты потенциалдық шұңқырдағы бөлшек және туннелдік эффект.

18.1. Потенциалдық «шұңқыр» параметрлері

18.2. Бір өлшемді тік бұрышты шұңқыр үшін Шредингер теңдеуі, оның шешімі.

18.3. Потенциалдық бөгет параметрлері.

18.4. Потенциалдық бөгет үшін Шредингер теңдеуі, оның шешімі.

Бір өлшемдік тік бұрышты шұңқырдағы бөлшек туралы есеп. Шексіз терең бір өлшемдік потенциалдық шұңқырда орналасқан бөлшектің энергиясының меншікті мәндерін және оларға сәйкес меншікті фунцияларын табайық. Бөлшек тек қана x осі бойымен қозғалсын дейік. Қозғалыс бөлшек үшін өтімсіз қабырғалармен шектелген болсын: x = 0 и x =l. Бұл жағдайда облысында потенциалдық энергия нөлге тең, ал x және x облыстарында шексіздікке тең (18.1.а-сурет). Шредингер теңдеуі бұл есеп үшін қарапайым түрде былай жазылады:

. (18.1)

Функциясы мына шартты қанағаттандырады

. (18.2)

l- шұңқырдың ені.

Бөлшектің энергиясының меншікті мәндері дискретті болатынын көрсетуге болады:

(n = 1, 2, 3, . . .). (18.3)

Сонымен, «қабырғалары» шексіз биік «потенциалдық шұңқырдағы» бөлшек энергиясы тек белгілі дискретті мәндер қабылдай алады, яғни энергия квантталады (36.б -сурет.). Энергияның квантталған мәндері - энергия деңгейлері деп аталынады, ал, n – бөлшектің энергиясының деңгейін анықтайтын бүтін сан негізгі кванттық сан деп аталады.

Меншікті функцияларды келесі түрде өрнектейді:

(n =1, 2, 3, . . .). (18.4)

Бөлшекті шұңқыр «қабырғаларынан» әр түрлі қашықтықта табу ықтималдығының тығыздығын қарастырғанда, микробөлшек үшін кванттық механикада траектория ұғымының ретсіз екені байқалады (18.2 а,б сурет.).

(9.9) өрнегінен көрші деңгейлердің энергиялық ара қашықтығын табуға болады

.(18.5)

Үлкен кванттық сандар үшін (n, көрші энергия деңгейлері тығыз орналасқан: n өскен сайын тығыздық та арта береді. Бұл жағдайда іс жүзінде деңгейлердің үздіксіз орналасуы туралы айтуға болады және кванттық процестерді сыйпаттайтын ерекшелік – дискреттілік бірте-бірте жойылады деуге болады. Бұл нәтиже Бордың сәйкестік принципінің дербес жағдайы болып табылады. Ол принцип бойынша кванттық механиканың заңдары кванттық сандардың үлкен мәндерінде классикалық механиканың заңдарына көшеді ( 1923 ж.). Сәйкестік принципінің жалпы түрі былай оқылады: әрбір жаңа, жалпылау болатын теория классикалық физика заңдарын жоққа шығармайды, керісінше, олардың қолдану шегін көрсетіп, өзіне енгізеді және белгілі жағдайларда жаңа теория бұрынғы теорияға көшеді.

Бөлшектердің потенциалдық бөгетті тесіп өтуі

Айталық бір өлшемді элементар бөлшек x осінің бағытымен ені d, биіктігі U-ға тең тікбұрышты потенциалдық тосқауылға қарай қозғалсын (сурет). Сонда классикалық механика заңы бойынша толық энергиясы E-ге тең бөлшек биіктігі U болатын тосқауылдың не сол жағында, не оң жағында болады да, тосқауылдан өте алмайды, себебі бөлшектің Е энергиясы тосқауылдың U энергиясынан кем. Яғни, бөлшек энергиясы тосқауылдың энергиясына тең немесе E >U болғанда ғана, бөлшек потенциалдық тосқауылдан өте алады. Ал бөлшек энергиясы E >U болса, онда бөлшек тосқауылдан шағылып кейін қарай қозғалады.

Енді бөлшектің осындай қозғалыс күйін толқындық тұрғыдан қарастырайық. Кванттық механика теориясы бойынша Шредингердің теңдеуін қолданып бөлшектің потенциалдық бөгеттен өтуін былайша түсіндіруге болады.

Егер бөлшек тосқауылдың оң және сол жақтарында болса x<0, х> d, онда оның күйін сипаттайтын Шредингер теңдеуінің түрі мынадай болады E >U.

Ал бөлшектің потенциалдық тосқауылдың ішінде (0) болу күйін сипаттайтын Шредингер теңдеуін мына түрде жазуға болады.

Сөйтіп осы екі дифференциалдық теңдеулердің шешімі суреттегі тосқауылдың әр аймағы үшін мына түрде болады

мұндағы ал осінің бағытымен таралған жазық толқынға сәйкес, осы толқынға қарама-қарсы бағытта таралған толқынға сәйкес келеді.

функцияларының мәндері тосқауылдың ішінде де, сыртында да (әрине, тосқауылдың ені оншалықты қалың болмаса) нөлге тең болмайды және импульсі мен толқынының түрі де Бройль толқынындай жиілігіне ұқсас.

18.3-сурет 18.4-сурет

Сонымен Шредингер теңдеуінің шешімі бөлшектердің потенциалдық тосқауылдан өтетіндей нөлге тең болмайтын ықтималдылығының болуын көрсетеді. Сонда бөлшектердің тосқауылдан (судың құм арасына сіңуі секілді) өту ықтималдығын мына формула арқылы көрсетеміз

мұндағы d – тосқауылдың ені, U – оның биіктігі, E – бөлшектердің толық энергисы.

Сөйтіп, тосқауыл биік, әрі ені қалың, әрі бөлшектердің массалары ауырлау болса, онда олардың тосқауылдан өту ықтималдығы

аз болады. Олай болса, бөлшектердің тосқауылдан өту құбылысы туннелдік эффект деп аталады. Мысалы, қатты денелер физикасында болатын көптеген құбылыс, атап айтқанда өткізгіштердің түйіспе жеріндегі электрондардың өтуі, металдың салқын күйіндегі электрондардың эмиссиялық құбылысы, сол сияқты атомдық және ядролық физикада болатын -ыдырау құбылысы, термоядролық реакциялары туннелдік эффект теориясымен түсіндіріледі. Егер потенциалдық тосқауылдың пішіні әр түрлі болса, онда бөлшектердің одан өту ықтималдығы мына формуламен есептеледі.

мұндағы және - энергиясы U(x) потенциалдық тосқауылдың алғашқы және соңғы координаттары.

Гармоникалық осциллятор (латынның тербеліс деген сөзінен алынған) деп квазисерпімді күштің әсерінен бір өлшемді қозғалыс жасайтын жүйені айтамыз. Мұндай жүйе көптеген классикалық

есептер мен кванттық теорияның моделі ретінде қарастырылады. Кәдімгі серіппелі математикалық және физикалық маятниктер классикалық гармоникалық осциллятордың мысалдары бола алады.

Сонда (механика курсынан белгілі) гармоникалық

18.5-сурет

осциллятордың потенциалдық энергиясы мына өрнекке тең мұндағы m тербелеуші бөлшектің массасы, оның меншікті жиілігі.

Енді гармоникалық осцилляторды кванттық механика тұрғысынан қарастырайық. Кванттық осциллятор (*)өрнекті есепке алатын Шредингер теңдеуінен сипатталады. Олай болса, кванттық осциллятордың стационарлық күйін анықтайтын Шредингер теңдеуі мына түрде жазылады:

мұндағы Е – осциллятордың толық энергиясы.

Сонымен бұл өрнек кванттық осциллятордың энергиясының тек дискретті мәндерінің болатындығын көрсетеді, яғни квантталынады.

Егер атомға сыртқы магнит өрісі әсер етсе, онда импульс моментінің сол өріс бағытына түсірілген проекциясы –ге еселес болады, яғни мұндағы -магниттік кванттық сан деп аталады және оның сан мәндері мынадай болады

Сонымен –дің небәрі (2l+1) мәндері болады. Осы магниттік кванттық санның болуына байланысты атомның сыртқы магнит өрісіндегі энергия деңгейлері бірнеше қосымша деңгейлерге жіктеледі.

Міне осындай құбылысты бірінші рет 1896 ж. голланд физигі П. Зееман (1865-1945) байқаған болатын, сондықтан бұл құбылыс Зееман эффектісі деп аталады. Ал негізгі энергетикалық деңгейлердің сыртқы электр өрісінде қосымша деңгейлерге жіктелуін неміс физигі И. Штарк (1874-1957) тәжірибе жүзінде ашқандықтан Штарк эффектісі делінеді.

Сөйтіп электронның атом ішіндегі қозғалыс күйі - кванттық сандарымен сипатталады. Электронның күйлері әдетте т.б. әріптерімен белгіленеді, бұлар қосымша кванттық санның мәндеріне сәйкес келеді. Енді атом ішіндегі электронның күйін мына кестеден анық көруге болады.

Бас кванттық сан				n=4
Орбиталық кванттық сан
Негізгі деңгейлер	К	L	M	N
Қосымша деңгейлер	1s	2p	3d	4f
Электрондар саны	2	8	18	32

1-кесте

Кванттық механиканың әдістерін пайдаланып атом спектрінде байқалатын спектрлік сызықтардың интенсивтігін есептеп табуға болады. Есептей келгенде интенсивті сезілетін сызықтар қосымша кванттық сан

өзгергенде , ал магниттік кванттық сан өзгермейтіндігі анықталады. Сөйтіп бұл шарттар былай жазылады

Сондықтан осы және кванттық сандарын сұрыптау ережелері деп атайды.