16. Лекция. Кванттық механиканың негізгі ұғымдары.

16.1. Де–Бройль гипотезасы

16.2. Дэвиссон – Джермер тәжірибесі

16.3. Электрондардың дифракциясы

16.4. Анықталмағандық қатынастары

Де–Бройль гипотезасы (1924 ж.) – дуализм – тек қана оптикалық құбылыстардың ерекшеліктері емес, оның универсалдық мәні бар. Фотонның энергиясы Е = және импульсі р = бар. Де-Бройльдың идеясы бойынша электронның немесе кез-келген басқа бөлшектің қозғалысымен толқындық процесс байланысқан, ол процестегі толқын ұзындығы былай анықталады:

(16.1)

Дэвиссон – Джермер тәжірибесі (1927 ж.) – электрондардың никель монокристалынан (кубтық система) шағылуына негізделген). Электрондардың шашырауының интенсивтілігі әсіресе белгілі бір шашырау бұрышында үлкен мәнге жеткен, ол бұрыш атомдық жазықтықтардан шағылу бұрышына сәйкес келеді, жазықтықтардың ара қашықтығы d рентгенографиялық зерттеулерден белгілі болатын ( 8.2 сур.).

Максималдық ток үшін (8.1) формуламен есептелген толқын ұзындығы (U) 1,67 А -ге тең. Келесі шартқа

2dSin

сәйкес келетін Брэг толқын ұзындығы 1,65 А. Дэвиссон – Джермер тәжірибесі де-Бройль идеясын толығымен растады.

Электрондардың дифракциясы. 1927 ж. Г.П. Томсон және одан тәуелсіз түрде П.С. Тартаковский электрондық сәуленің металдық фольгадан өткенде дифракциялық картинаның пайда болатынын дәлелдеді.

Дифракциялық құбылыстардың электрондардан басқа атомдық және молекулалық сәулелер үшін де болатыны анықталды.

Л.М. Биберман, Н.Г. Сушков, В.А. Фабрикант (1949 ж.) әлсіз электрондық сәулемен тәжірибе қойды.

Анықталмағандық принципі. Классикалық механикада материалдық нүктенің күйі динамикалық айнымалылар арқылы көрсетіледі ( координата, импульс, энергия және басқалар).

Микробөлшектердің ерекшеліктері – айнымалыларды өлшеу кезінде олардың кейбіреулері ғана анықталған мәнге ие бола алады:

. (16.2)

Кез келген микробөлшек бір уақытта координаттың x дәл мәніне және импульс компонентінің р дәл мәніне ие бола алмайды. Егер айнымалының біреуінің дәл мәні болса, басқа айнымалы бұл кезде тіпті анықталмаған болып шығады.

В. Гейзенберг (1927 г.): Екі түйіндескен айнымалылардың анықталмаған мәндерінің көбейтіндісі шама жағынан Планк тұрақтысынан аз болуы мүмкін емес (Гейзенбергтің анықталмағандық принципі). Энергия Е және уақыт t олар да каноникалық түйіндескен шамалар, сондықтан

. (16.3)

17 Лекция. Шредингер теңдеуі

17.1. Шредингердің жалпы теңдеуі

17.2. Шредингер теңдеуінің шешімдері

17.3. Шредингердің стационар күйге арналған теңдеуі.

17.4. Толқындық функция

Э. Шредингер (1926 ж.) – де–Бройльдың заттардың толқындық қасиеттері туралы идеясын ары қарай дамытып, өзінің атымен аталған теңдеуін алды

.

координаттар мен уақытқа байланысты комплекстік функция, ол микробөлшектің күйін сыйпаттайды. Бұл релятивті емес кванттық механиканың негізгі теңдеуі. Стационарлық күйлер үшін ол былай жазылады:

. (17.1)

Кванттық механикада оператор ұғымы кең орын алады. Операторды қолданғанда келесі ереже бойынша бір функцияға басқа функция теңгеріледі:

f =

Мұндағы -оператордың символдық белгісі. Операторды қолдану нәтижесінде -функциясы басқа функцияға f айналады. Кейбір дербес жағдайларда операторды қолдану нәтижесінде бастапқы функция басқа функцияға U көбейтілуі мүмкін. Онда =U ал, сондықтан, . Егер U функциясын (17.1) – теңдеуде оператор ретінде қарастырсақ, оның әрекеті пси-функциясына U –функциясын көбейтумен шектелсе, (17.1)- теңдеуін келесі түрде жазуға болады:

. (17.2)

Бұл теңдеуде символымен энергия операторы – Е белгіленген, оны Гамильтон операторы немесе гамильтониан деп атайды:

. (17.3)

М. Борн (1926 ж.) алғашқы рет пси – функциясының мағынасын келесі түрде ашып берді: функциясының модулінің квадраты бөлшектің dV көлемі шегінде табылу ықтималдығын dP анықтайды

dP = A. (17.4)

А - пропорционалдық коэффициенті, пси-функциясы үшін келесі нормалау шарты орындалады:

. (17.5)

функциясының физикалық мағынысынан кванттық механиканың статистикалық сыйпаттамасы бар екені көрініп тұр. Шредингер теңдеуі бөлшектің берілген күйінің пси – функциясын табуға мүмкіндік береді, яғни, бөлшектің кеңістікте әртүрлі нүктелерде орналасу ықтималдығын анықтауға мүмкіндік береді. (17.2)- теңдеуінен және пси – функциясына қойылған шарттардан тікелей энергияның квантталу ережесі шығады.

Пси – функциясы бір мәнді, үздіксіз және шекті болуы қажет, сонымен қатар ол стандарттық шарттарды – үздіксіз және шекті туындысы болуын – қанағаттандыруы керек.

Шредингер теңдеуіне параметр ретінде бөлшектің толық энергиясы Е кіреді. (17.2) – теңдеуінің энергияның Е кез келген мәнінде стандарттық шарттарға қанағаттандырарлық шешімдері болмайтыны, энергияның тек таңдаулы мәндері үшін ғана ізделініп отырған шешімдері болатыны дифференциалдық теңдеулер теориясында дәлелденген. Энергияның осындай таңдаулы мәндерін оның меншікті мәндері деп атайды. Энергияның меншікті мәндеріне Е сәйкес келетін теңдеу шешімдері есептің меншікті функциялары болып табылады. Меншікті мәндер жиыны шаманың спектрі деп аталынады. Егер аталған жиын дискретті тізбек құрса, спектр дискретті болады да, егер меншікті мәндер үздіксіз тізбектен тұратын болса, спектр үздіксіз немесе жолақ деп аталады.