§ 1.8. Эквивалентные преобразования пассивных участков электрических цепей

В зависимости от назначения электрической цепи ее элементы (ис­точники, приемники, вспомогательные элементы) могут соединяться различным образом. Существуют четыре основных вида соединений элементов: последовательное, параллельное, треугольником и звездой*

•? ЛенинЙ» Й, Поли» собр* соч,*%18] I» 306*

Последовательнымназывают соединение, при котором ток в каждом элементе один и тот же. При последовательном соеди? ненииппассивных элементов цепи схема замещения опрезистив^" ными элементами (рис. 1.18, а) может быть заменена эквивалентной схемой с одним резистивным элементом (рис. 1.18, б). Для этих схем по второму закону Кирхгофа можно написать уравнения

Щ

т

а) 6)

Рис. 1.18. Схема замеще­ния цепи с последова­тельным соединением пас­сивных элементов (а) и ее эквивалентная схема (б)

+ ... + U_n == U (1-11)

или

R_XI-{- R₂I R_nI = R_9KI1 (1.11а)

из которых следует, что

Яэк = #1+ #2+ • +^л (1*12)

и

I=U/R_dK. (1.12а)

Последовательное соединение приемни­ков используют обычно только в случае, когда напряжения, на которые они рассчи­таны, меньше напряжения источника электрической энергии.

Рис. 1.19. Схема замещения це­пи с параллельным соединением пассивных элементов (а) и ее эк­вивалентная схема (б)

Недостатком последовательного соединения приемников явля­ется то, что напряжение на каждом из них зависит от сопротивлений других приемников. Поскольку напряжение источника равно сумме напряжений на последовательно включенных элементах цепи, после­довательное соединение элементов применяют часто в качестве дели­телейнапряжения и для регулирования напряжений на прием­нике. Так, при использовании двигателей постоянного тока последо­вательно с цепью якоря включают рео­статы для ограничения пускового то­ка (пусковые реостаты) и регулирования частоты вращения (регулировочные рео­статы).

В практике электрических измере­ний из последовательно соединенных резисторов образуют измерительные магазины сопротивлений, последователь­ным включением добавочных резисторов к измерителю напряжения добивают­ся расширения пределов измерения на­пряжения и т. п.

Параллельнымназывают соединение, при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т. е. находятся под воздействием одного и того же напряжения. На рис. 1.19,апоказана схемас ппассивными ветвями, присоединенными к одним и тем же узлам, разность потенциалов между которыми равна напряжениюU источника. Поэтому ток в каждой ветви определяется этим напряже-

нием и сопротивлением либо проводимостью соответствующей ветви:

Ii — U/R₁= g₁U, I^U/R^gzU, I_n=;UlR_n^g_nU'

^(1ЛЗ)

Схема замещения с ппараллельно включенными резистивными элементами может быть заменена эквивалентной схемой с одним ре­зистивным элементом (рис. 1.19,6). Условия эквивалентности будут соблюдены, если ток эквивалентной схемы будет равен токуIв не- разветвленной части цепи, т. е.

I=Ii~\-I_п, (^*14)

Подставляя в это уравнение значения токов из (1.14), получим выражение

^/#эк= U!Ri~\~U/НъЛ* • • • !R_n' (1*15)

из которого можно получить формулу для эквивалентного сопротив­ления

п

1/^?эк⁼⁼• • • 4“l/Rn^2|/$| (1-16)

i=i

или для эквивалентной проводимости

• £*_K = gi+'g2+---+£„ = 2 gi- (1-17)

i= 1

Так как наибольшей проводимостью обладает ветвь с наименьшим сопротивлением, то эквивалентная проводимость не может быть мень­ше проводимости ветви с наименьшим сопротивлением. Эквивалент­ное сопротивление параллельно соединенных элементов обратно пропорционально ее эквивалентной проводимости /?эк⁼⁼1^эк>^по~ этому оно всегда меньше наименьшего из сопротивлений ветвей.

При подключении нового приемника параллельно другим парал­лельно включенным приемникам общая проводимость их увеличива­ется, а эквивалентное сопротивление уменьшается. Если параллельно соединены пветвей с одинаковыми сопротивлениями /?, то их экви­валентное сопротивление будет впраз меньше сопротивления каждой ветви, т. е.R_9K—R/n.

При параллельном соединении двух пассивных элементов с со­противлениями Ri иR₂ эквивалентная проводимость

ёж — 1/Кэк— i/Ri~\~ i/Rz — iRi'lr R2)/RiR& (1*18)

а эквивалентное сопротивление

R^RM^ +R*)- (1.18а)

Токи двух ветвей при их параллельном соединении равны:

Г ТТгП Г> 7/Г> R 2 Г

При расчете цепей удобно пользоваться последней частью выра­жения (1.19), когда ток в одной из ветвей определяется по извест­ному току / в неразветвленной части цепи.

Параллельное соединение обеспечивает одинаковое напряжение на всех включенных приемниках, что является важным преимущест­вом, благодаря которому это соединение нашло широкое применение. Как правило, все приемники электрической энергии подключают параллельно к источнику, например к электрической сети.

Параллельное соединение можно рассматривать и как делитель тока, что, в частности, нашло применение в виде шунтов, подклю­чаемых к измерительным приборам.

В некоторых сложных электрических цепях встречаются соеди­нения элементов, которые нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному. Типичным примером подобной сложной цепи

Рис. 1.20, Схема замещения мостовой цепи (а) и ее эквивалентная

схема (б)

является мостовая цепь (рис. 1.20, а).В этом случае часть цепи об­разуеттреугольник,вершинами которого являются три узла (например, а, Ь, с), а сторонами — три ветви с сопротивлениямиR_ab> R_bc, R_ca,включенные между этими узлами. Расчет такой цепи удобно проводить, используя эквивалентную замену трех ветвей, соединен­ных треугольником, тремя ветвями, соединенными трехлучевойзвез­дой.При замене соединенных треугольником ветвей с сопротивле­ниямиR_ab,R_bcy R_ca(рис. 1.20,а)ветвями с сопротивлениямиR_a,Rb, R с (рис.1.20, б), соединенными звездой, мостовая цепь преобра­зуется в цепь с последовательным и параллельным соединением эле­ментов.

Для определения сопротивлений R_a, R_bиR_cветвей, соединенных звездой, необходимо найти соотношения, связывающие их с сопротивлениями ветвей, соеди­ненных треугольником. С этой целью воспользуемся общим условием эквивалентности, по которому напряжения и токи в ветвях, не подвергнутых преобразованию, должны оставаться без изменения в любых режимах, в том числе при размыкании ветвей, присоединенных к узлам а,b,с.

При отсоединении ветви с сопротивлением R_a(fот узлаатокиl_b,1 _с>а также на­пряжениеUbc^всхеме рис.1.20,аравны соответственно токамI_b, I_си напряжениюVlf_C ъсхеме рис. 1.20, б. Это означает, что сопротивления между точкамиbисдля

обеих схем одинаковы, т. е.

(Rab~\~Rса) Rbc/(Rab~\~R ca~\~Rbc) ⁼ Rb~\~R с⁹ (1.20)

При отсоединении ветви Я_сдот узлассопротивления между точкамиаиЪдля обеих схем по условию эквивалентности должны быть также одинаковы!'

(Rbc~\“Rca) Rab/(Rbc~\~Rca~\~Rab)^=::Ra~\~Rb» (1*21)

Аналогично можно получить равенство^сопротивлений между точками а и с для схем рис. 1.20,а,б:

(Rab+Rbc)Rca/(Rab+Rbc + Rca) = Ra+Rc- (\Щ

Решая полученную^систему из трех уравнений относительно сопротивлений ветвей, соединенных звездой (рис. 1.20, б), получим

Ra ⁼RabRca/(Rab~{~Rbc~\~Rca)» (1.23)

Rb — RbcRabKRab ~\~Rbc~{~R са)» (1*24)

Rc — R caRbc/(Rab~\~Rbc~\~Rca)⁹ (1.25)

В ряде случаев схему соединения ветвей звездой целесообразно преобразовывать в схему соединения ветвей треугольником. При эквивалентной замене ветвей, соединенных трехлучевой звездой, ветвями, соединенными треугольником, сопротивления ветвей тре­угольника можно определить, зная сопротивления ветвей звезды.

Формулы для определения Rb_Ct R_caможно получить из системы уравнений (1.23) — (1.25). Для этого можно перемножить попарно (1.23) на (1.24), (1.24) на (1.25), (1.25) на (1.23) и сложить эти произведения, после чего получим

RaRb~\'RbRc’hRcRa⁼⁼RabRbcRca/(Rab~{-Rbc~{~R са)* (1.26)

Разделив это уравнение поочередно на (1.25), (1,24) и (1.23), найдем соответ­ствующие формулы:

Rah-Ra"^ Rb~\~RaRblRcl (1*27)

Rbc⁼Rb~\~Rc~bRbRc/Ra^ (1.28)

Rca^=zRc~\'Ra~\~RcRa/Rb* (1.29)

Нетрудно видеть, что в случае замены трех одинаковых ветвей, соединенных треугольником, тремя ветвями, соединенными звездой, сопротивления новых ветвей будут в три раза меньше сопротивлений прежних ветвей, т. е.

R_a= R_b= Rc= Rab! 3 = RbJZ = Real з. (1.30)