§ 1.9. Анализ электрических цепей постоянного тока с одним источником электрической энергии

С помощью законов Кирхгофа можно рассчитать любую электриче­скую цепь, в том числе цепь постоянного тока с одним источником электрической энергии. Однако в этом случае нет необходимости составлять систему уравнений по законам Кирхгофа и решать ее. Для определения токов и напряжений каждого элемента цепи с одним источником электрической энергии можно использовать метод экви­валентных преобразований на основе полученных в § 1.8соотношений* Сущность метода эквивалентных преобразований легко можно по­нять на примере какой-либо цепи с одним источником электрической энергии. Пусть в цепи, схема которой приведена на рис. 1.12, не­обходимо определить токи во всех пяти ветвях, если известны сопро: тивления всех элементов цепи и э.д.с. источника электрической эйергйи.

Для решения такой задачи отдельные участки электрической цепи с последовательно или параллельно соединенными элементами за­меняют одним эквивалентным элементом. Постепенным преобразова­нием участков схему электрической цепи упрощают и приводят к простейшей схеме цепи, состоящей из последовательно соединенных источника электрической энергии и одного эквивалентного пассивного элемента. Для цепи рис. 1.12 вначале находят эквивалентное со­противление участка, состоящего из двух параллельно соединенных ветвей с сопротивлениями jR₄иR₅:

(1.31)

Затем находят эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов аиЬ,т. е. входное сопротивление двухполюсника (см. рис. 1.13,а):

D°2(^3 + ^4б)/100\

+ " ^{-^4}

Таким образом, исходная разветвленная цепь рис. 1.12 сведена к простейшей цепи рис. 1.13, а, для которой нетрудно определить ток в ветви источника э. д. с. Eiс сопротивлениемR_±:

It-EJiRi+Rrt). (1.33)

Зная ток /j, находят напряжение на зажимахаЬдвухполюсникаU_ab = R_abI_t^{и токи в}ветвях /g,I₃l

I* —Vab/Ri’ = ^аь/(^з + ^4б)* (1*34)

Наконец, по известному току 1₃определяют токи/₄и/_б2

^/4=Я₄-Н?5^/з’^/б==^4+⁴^5^/з'*^1,35^

Если заданы сопротивления всех ветвей цепи рис. 1.12 и э.д.с. источника Е_уто для нахождения токов ветвей можно воспользовать­сяметодом подобия(методом пропорциональных величин). Для этого произвольно задаются током/₄или /_б. Пусть, например, за­дан ток /g= 1 А, по которому можно найтиU'_cd = R_br₆,а затем /4=; —U'cd/R4- Зная /Jи /5, определяют токГ₃ = Г^-\-Г_ьпо первому за-* кону Кирхгофа. После этого рассчитывают напряжениеU'ab — RJs^-i +U'_cd.Ток/2находят по формуле (1.34):I^U'ab/Ri-По значениям токов/2иJIопределяют токГ₁ = 1г + 1₃,после чего нетрудно найти ! э. д. с.Е*=U'ab+RJi.Пользуясь свойством пропорциональности токов и напряжений для линейных цепей и находя коэффициент подобия, равный отношению э. д. с. £, заданной в условиях задачи,^!к найденному значениюЕ' (k=Е/Е'),умножают все токи, соответ­ствующие /5=1А, на коэффициент подобия и получают истинные значения токов в ветвях цепи, соответствующие заданному значе­нию э. д. с.

Рассмотренные методы эквивалентных преобразований и пропор­циональных величин очень удобны для анализа электрического со­стояния электрических цепей с одним источником электрической энергии.

Пример 1.1. Рассмотрим возможность такого анализа на примере схемы цепи рис. 1.12. Пусть R_ly R₂— сопротивления- делителя напряжения для питания через линию связи с сопротивлениемR₃двух датчиков с сопротивлениямиRi, R₅.Требуется выяснить, как изменятся ток источника /iи напряжение на датчиках при увеличении длины линии связи. Ясно, что при этом увеличится сопротивлениеRq.Из формулы (1.32) видно, что при увеличенииR₃возрастаетRДля того чтобы убедиться в этом, достаточно разделить числитель и знаменатель выражения (1.32) на {-/?4₅. Увели­чение сопротивленияR_аъприводит к уменьшению тока /_1экак следует из (1.33). Из формулы (1.34) вытекает, что ток/₃с ростом сопротивленияR$уменьшится; уменьшатся также токи /₄,/₅датчиков, что видно из формул (1.35), а следовательно, и напряжения на датчиках.

Пример 1.2. Определим, при каком значении сопротивления R_c<iмостовой цепи рис. 1.20, а ток в диагональной ветвиR_caбудет равен нулю, если /?_а&=20 Ом,Rb_C= =30 Ом иRad—40 Ом.

Если TOitBветвиR_caравен нулю, то потенциалы узлова и сбудут одинаковы. Это значит, что падения напряжений в ветвяхR_ab,Rbc>^атакже в ветвяхR_Ulф R_ca будут одинаковыми. На основании этого можно составить уравнения;

ab~ Rbc^be ^и Rad^a^Rcd^с*

При отсутствии тока в диагональной ветви 1_аъ—1_а^и^Ьс—^с'При этом условии деление первюго уравнения на второе даст такое соотношение между сопротивлениями плеч моста:

RablRad⁼⁼Rbc/^cd ИЛИ RabRcd^ RbcRad*

Эти соотношения называют условиями равновесия мостовой цепи.В рассматриваемом примере мост будет уравновешен, т. е. ток в диагональ­ной ветви будет равен нулю приR_Cd⁼⁼RbcRad^ab⁼60 Ом*