3.1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка и в частности 2-го порядка (в конечном виде) удается произвести только в некоторых частных случаях.

Рассмотрим некоторые типы уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, т.е. позволяющие свести уравнение к системе двух уравнений первого порядка.

1. Рассмотрим уравнение вида

.

Общее решение этого уравнения находится методом двукратного интегрирования. Умножая обе его части на и интегрируя, получаем уравнение первого порядка:

Повторяя эту операцию, получим общее решение исходного уравнения

Таким образом, общее решение исходного уравнения

.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Общее решение найдем двукратным интегрированием

Таким образом, .

2. Рассмотрим уравнение вида

,

т.е. уравнение, в запись которого явно не входит искомая функция. Такое уравнение можно решить, введя новую неизвестную функцию . Сделав замену переменной и учитывая, чтополучим уравнение первого порядка, т.е. понизим порядок исходного уравнения на одну единицу. Если удастся отыскать общее решение полученного уравнения первого порядка, т.е., то для нахождения общего решения исходного уравнения необходимо решить следующее дифференциальное уравнение первого порядка

.

Это уравнение относится к первому типу и решается однократным интегрированием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Данное уравнение является уравнением, не содержащим искомой функции. Сделаем замену . Тогда, учитывая, что, получим уравнение первого порядка

или .

Получили линейное уравнением первого порядка, которое решим методом Бернулли: ,. Тогда

, ,

1) , и 2)..

Первое уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными.

1) ,,,,

, ,,.

Таким образом, . Подставим найденное значение во второе уравнение и получим уравнение с разделяющимися переменными

2) ,,,,,,

.

Таким образом, решение второго уравнения . Учитывая замену переменных, получим:

.

Таким образом, .

3. Рассмотрим уравнение вида

,

т.е. уравнение, в запись которого явно не входит независимая переменная. Такое уравнение можно решить, введя новую неизвестную функцию . Сделав замену переменной и учитывая, что

,

где , получим уравнение первого порядка относительно новой искомой функцииp(y) и новой независимой переменной y, т.е. понизим порядок исходного уравнения на одну единицу. Если удастся отыскать общее решение полученного уравнения первого порядка, т.е. , то для нахождения общего решения исходного уравнения необходимо решить следующее дифференциальное уравнение первого порядка

.

Это уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

с начальными условиями .

Решение. Данное уравнение является уравнением, не содержащим явно независимую переменную. Сделаем замену . Тогда, учитывая, что, получим уравнение первого порядка

.

Учитывая, что , получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

, ,,,

, ,.

Так как необходимо найти частное решение данного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях, то при появлении произвольных постоянных в процессе решения уравнения, их можно сразу определять.

Определим произвольную постоянную . Так каки, то в силу заменыполучим. Подставимив полученное промежуточное решение:

, .

Таким образом, или. Так как, то

.

Получили уравнение первой степени с разделяющимися переменными.

, ,,

, .

Таким образом, общее решение примет вид:

.

Найдем произвольную постоянную , подставиви:

,

Окончательно получаем общий интеграл

или общее решение

Ответ: общее решение исходного уравнения .