- •Идз №7:
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
- •I. Дифференциальное уравнение вида
- •II. Дифференциальное уравнение вида
- •1) И 2).
- •1) И 2) .
- •1) И 2).
- •1) И 2).
- •2.4. Уравнения в полных дифференциалах
- •3. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •3.1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •5. Литература
- •Вариант № 1
4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение
(16)
где коэффициенты – постоянные, называетсялинейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Если , то уравнение (16) называетсянеоднородным.
Если , то уравнение (16) называетсяоднородным.
I. Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(17)
Общим решением уравнения (17) является функция
(18)
где – фундаментальная система решений уравнения (17).
Фундаментальной системой решений называется всякая система линейно независимых решений, содержащая столько функций, каков порядок дифференциального уравнения.
Функции называютсялинейно зависимыми в интервале , если существуют постоянные числа, не все равные нулю, такие чтодля любых. Если же указанное тождество выполняется только в случае, когдаи, то функцииназываютсялинейно независимыми в интервале .
Кратко критерий линейной независимостиможет быть сформулирован следующим образом: функцииявляются линейно независимыми, если определитель Вронского
отличен от нуля. В противном случае функции линейно зависимы.
Алгоритм нахождения общего решения однородного уравнения (17):
1) составляют соответствующее ему характеристическое уравнение (заменяя в однородном уравнении производные от искомой функции на k в соответствующей степени, то есть на,наина)
(18).
Полученное квадратное уравнение может иметь (в зависимости от дискриминанта ) два различных действительных решения, два совпадающих (кратный корень) действительных решения и пару комплексно-сопряженных решений;
2) в зависимости от корней характеристического уравнения выделяются частные решения (соответствующие корням характеристического уравнения), образующие фундаментальную систему решений и записывается соответствующее общее решение (18).
|
Корни характеристического уравнения |
Частные решения |
Общее решение однородного дифференциального уравнения |
I |
Два действительных и различных корня, т.е. , | ||
II |
Два действительных и совпадающих корня, т.е. | ||
III
|
Два комплексно сопряженных решения, т.е. |
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
a) , b) ,
c) .
Решение.Во всех трех случаях имеем однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение найдем по приведенному выше алгоритму.
Пример a. .
Составим характеристическое уравнение
и решим его
; ;.
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных решения, т.е. имеем первый случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения
,
и получить общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Сделаем проверку найденного общего решения. Для этого найдем первую и вторую производную от общего решения
,
,
.
Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходное уравнение
Пример b. .
Составим характеристическое уравнение
.
Не сложно заметить, что в правой части уравнения записан полный квадрат разности
.
Откуда получим (аналогичный результат можно было получить, используя обычный метод решения квадратных уравнений).
Характеристическое уравнение имеет два совпадающих действительных решения (или один действительный корень кратности два), т.е. имеем второй случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения
,
и получить общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Пример c. .
Составим характеристическое уравнение
и решим его
;
;
.
Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных решения, т.е. имеем третий случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения
,
и получить общее решение исходного дифференциального уравнения
.
II. Рассмотрим теперь решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (16):
.
В общем случае это уравнение может быть решено методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа). Алгоритм нахождения решения методом Лагранжа состоит в следующем:
1. Находим общее решение однородного линейного уравнения (17), соответствующего исходному неоднородному уравнению (16)
.
2. Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде общего решения однородного уравнения, считая, что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной x, т.е. в виде
.
При этом функции могут быть найдены как решения системы
которая является линейной системой двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными относительно . Определитель этой системы является определителем Вронского, который отличен от нуля, еслиобразуют фундаментальную систему решений. Поэтому система двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение. Интегрируя полученные равенства, найдем функциии тем самым получим общее решение исходного неоднородного уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен, поэтому в ряде случаев, когда правая часть имеет специальный вид, можно использовать другой метод – метод неопределенных коэффициентов, воспользовавшись следующим утверждением о структуре общего решения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (16) равно сумме общего решениясоответствующего однородного уравнения (17) и частного решенияисходного неоднородного уравнения (16), т.е.
.
Общее решение линейного однородного уравнения находим по алгоритму, приведенному выше. Далее необходимо найти частное решение неоднородного уравнения. В некоторых случаях вид частного решения устанавливается по правой части исходного неоднородного уравнения.
Если правая часть дифференциального уравнения имеет вид
где – многочлены степениn и m соответственно, а и b – некоторые постоянные числа, то частное решение неоднородного уравнения будет иметь следующую структуру:
где – многочлены степени, записанные с неопределенными коэффициентами;r – равно числу корней характеристического уравнения (18), совпадающему с числом . Таким образом,, если среди корней характеристического уравнениянет числа;, если существует один корень характеристического уравненияили, совпадающий с числом;, если существует двукратный корень характеристического уравнения, совпадающий с числом.
Зная структуру частного решения неоднородного уравнения, неизвестными которого являются только коэффициенты многочленов, подставим его вместе с производными в исходное уравнение и, приравнивая коэффициенты подобных членов слева и справа, получаем необходимое количество линейных алгебраических уравнений для вычисления этих неизвестных коэффициентов.
Таким образом, для правой части специального вида общее решение дифференциального уравнения может быть легко найдено с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование и решение линейных алгебраических уравнений, не прибегая к операции интегрирования, которая необходима в методе вариации произвольных постоянных.
Частными случаями правой части специального вида дифференциального уравнения являются следующие:
, которая получается из общего случая при ;
, которая получается из общего случая при ;
, которая получается из общего случая при .
В заданиях 4 и 5 необходимо найти общие решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в которых правая часть имеет специальный вид. Эти задания можно решать как методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), так и методом неопределенных коэффициентов. По нашему мнению, последний метод предпочтительнее, так как в нем не требуется применять операцию интегрирования. При решении задания 4 будут показаны оба метода. В задании 5 будет проиллюстрирован только один метод – метод неопределенных коэффициентов.
Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Сделать проверку.
Решение. Имеем обыкновенное дифференциальное уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решим данное уравнение двумя способами: первый способ – метод неопределенных коэффициентов (правая часть специального вида); второй способ – метод вариации произвольных постоянных.
√Первый способ. Общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
.
где – общее решение соответствующего однородного уравнения,
–частное решение исходного неоднородного уравнения.
а) Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения
.
Для этого составим характеристическое уравнение, заменив в нем на,наина:
Решая квадратное уравнение, получим корни характеристического уравнения ,. Эти корни являются действительными и различными, поэтому фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, будет иметь вид,. Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой:
.
б) Найдем – частное решение исходного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения
.
Правая часть исходного уравнения будет иметь специальный вид, если ,,, т.е.,, т.е.. Так как правая часть имеет специальный вид, структура частного решения в общем случае будет иметь вид:
.
Так как и число, то. Так каки, то, т.е.,. Тогда структура частного решение исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид:
,
,
.
Коэффициенты A и B определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого найдем первую и вторую производные от частного решения
,
Подставим найденные выражения в исходное уравнение:
Разделим обе части на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной, т.е. при,и. Получим систему, из которой найдем коэффициентыи. Таким образом,
или
Решая систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя переменными, получим ,. Тогда частное решение
.
Общее решение исходного неоднородного уравнения определяется формулой
Таким образом,
Сделаем проверку.
,
Подставим ,,в исходное уравнение
Получили верное равенство.
√Второй способ a) Запишем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (как это было сделано в первом способе в пункте a):
.
б) Будем искать общее решение неоднородного линейного уравнения в виде общего решения однородного линейного уравнения, считая, что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной x, т.е. в виде
.
Функции могут быть найдены из решения системы
где ,,,,, т.е.
, .
Таким образом,
, .
Тогда
Обозначив через , окончательно получим
Ответ: общее решение
Задание 5. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку.
.
Решение. Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его общее решение имеет вид:
.
где – общее решение соответствующего однородного уравнения,
–частное решение исходного неоднородного уравнения.
а). Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения
.
Для этого составим характеристическое уравнение, заменив в нем на,наина:
.
Решая квадратное уравнение (, , ), найдем корни характеристического уравнения , т.е.и. Имеем два комплексно-сопряженных корня (третий случай), поэтому фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, будет иметь вид:,. Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой:
.
б) Найдем – частное решение исходного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения
.
Правая часть исходного уравнения будет иметь специальный вид, если ,,, т.е.,, т.е.. Так как правая часть имеет специальный вид, то структура частного решения в общем случае будет иметь вид:
.
,
т.е. ,.
Тогда структура частного решение исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид:
,
.
Коэффициенты A и B определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого подставим частное решение с неопределенными коэффициентами в исходное уравнение, предварительно вычислив первую и вторую производные
.
Тогда
Таким образом,
Разделим обе части равенства на и приравняем коэффициенты прии. Получим систему, из которой найдем коэффициентыи. Таким образом,
или
Тогда частное решение
.
Общее решение исходного неоднородного уравнения определяется формулой
Таким образом,
Проверка выполняется аналогично тому, как это было показано в задании 4.