2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

I. Дифференциальное уравнение вида

. (12)

где – заданные непрерывные функции отx или постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Его характерным признаком является наличие лишь первых степеней функции и ее производной. Если, то линейное уравнение называетсянеоднородным. Если , то уравнение

. (13)

называется линейным однородным.

Для решения неоднородных линейных уравнений можно использовать: 1) метод Бернулли, или метод подстановки (аналогично тому, как это делалось для однородного относительно переменных x и y уравнения первого порядка); 2) метод вариации произвольных постоянных, или метод Лагранжа, который может быть также использован и для интегрирования линейных дифференциальных уравнений более высоких порядков.

Рассмотрим первый метод.

Будем искать решение неоднородного линейного уравнения в виде

. (14)

Для удобства аргумент x в дальнейшем будем опускать. Тогда . Подставляя (14) в уравнение (12), получим

;

.

Если функцию выбрать как некоторое решение уравнения с разделяющимися переменными(или однородного линейного уравнения), то исходное уравнение примет вид

.

Подставляя найденное решение в данное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными относительно переменнойxи функцииu(x). Если– общее решение полученного уравнения, то общее решение исходного линейного уравнения (12) примет вид:

,

или окончательная формула для определения имеет вид:

.

Таким образом, интегрирование линейного уравнения (12) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными, одно из которых является однородным.

Замечание. Если вместо иподставить полученное после интегрирования значение, то получим, что общее решение линейного, уравнения (12), равное сумме общего решения соответствующего однородного линейного уравнения (13) и частного решения неоднородного линейного уравнения (12).

Рассмотрим второй метод.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) состоит в следующем.

1) Составляется однородное линейное уравнение (13) соответствующее неоднородному линейному уравнению (12) за счет замены правой части на ноль. Это уравнение легко проинтегрировать как уравнение с разделяющимися переменными. Его решением является функция

,

где C – произвольная постоянная.

2) Общее решение неоднородного линейного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения, варьируя произвольную постоянную, т.е. полагая, что

,

где – некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция отx.

Для нахождения нужно подставитьв исходное уравнение, что приводит к уравнению с разделяющимися переменными

,

которое имеет следующее решение:

,

где A – произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения примет вид

.

Как несложно заметить, полученное решение совпадает с решением, найденным методом Бернулли.