- •Идз №7:
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
- •I. Дифференциальное уравнение вида
- •II. Дифференциальное уравнение вида
- •1) И 2).
- •1) И 2) .
- •1) И 2).
- •1) И 2).
- •2.4. Уравнения в полных дифференциалах
- •3. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •3.1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •5. Литература
- •Вариант № 1
2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка
(9)
называется однородным относительно переменных x и y, если – однородная функция нулевой степени относительно своих аргументов.
Дифференциальное уравнение первого порядка
(10)
называется однородным относительно переменных x и y, если и– однородные функции одной и той же степениk относительно своих аргументов.
Функция называетсяоднородной степени k относительно переменных x и y, если для произвольного действительного числа a выполняется равенство
.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (как уравнение (9), так и уравнение (10)) может быть представлено в виде
. (11)
Метод интегрирования однородных дифференциальных уравнений состоит в следующем. Однородное дифференциальное уравнение приводится к виду (11). Вводится новая переменная или, где(), и после подстановки в уравнение (11) приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно переменнойxи новой функцииt(x).
В задании 2 необходимо решить однородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.
Задание 2. Найти общий интеграл (общее решение) дифференциального уравнения. Сделать проверку.
a) , b),
c) , d).
Решение: Во всех случаях имеем однородные относительно переменных x и y обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Все они могут быть сведены к уравнению вида (11). В случаях a), c), d) предварительно необходимо показать, что эти уравнения являются однородными, а затем привести их к виду (11).
Задание 2a. .
Данное уравнением является уравнением первого порядка. Рассмотрим функцию . Эта функция является однородной функцией нулевой степени, так как для произвольного действительного числаa выполняется равенство
.
Таким образом, данное уравнением является однородным и его можно свести к уравнению (11). Для этого разделим числитель и знаменатель правой части на x:
; .
Сделаем замену переменной или, где. Найдеми подставим в преобразованное уравнение
; ;;
; .
Пришли к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой искомой функции t(x). Заменяя и разделяя переменные, получим
; .
Проинтегрируем обе части полученного уравнения
Возвращаясь к исходному уравнению, получим
.
Умножив обе части равенства на два и уединяя произвольную постоянную, получим общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными
.
Для нахождения общего интеграла исходного уравнения вернемся к старой переменной через замену :
,
,
,
.
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения примет вид:
.
Сделаем проверку. Вычислим производную искомой функции как функции, заданной неявно.
, ,
, ,
; ,
, ,.
Подставим найденное значение в искомое уравнение
и получим тождество (верное равенство).
Ответ: общий интеграл
Задание 2b. .
Имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, однородное относительно переменных x и y. Сделаем замену переменной или, где. Найдеми подставим в исходное уравнение
; .
Пришли к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой искомой функции t(x). Заменяя и разделяя переменные, получим
; .
Проинтегрируем обе части полученного уравнения
Интеграл, стоящий в правой части является табличным .
Найдем интеграл от дробно рациональной функции, стоящей слева. Для этого можно, например, разложить подынтегральную функцию на сумму простейших или, выделив в знаменателе полный квадрат и сделав замену переменной, прийти к табличному интегралу.
Тогда, возвращаясь к исходному уравнению, получим
, ,
, .
Возвращаясь к старой переменной, получим
.
Откуда после преобразований записываем общий интеграл
.
Проверка выполняется аналогично тому, как это делалось в предыдущих заданиях.
Ответ: общий интеграл .
Задание 2c. .
Данное уравнением является уравнением первого порядка. Рассмотрим функцию . Эта функция является однородной функцией нулевой степени, так как для произвольного действительно числаa выполняется равенство
Таким образом, данное уравнение является однородным и его можно решить аналогично тому, как это показано в пункте a), предварительно разделив числитель и знаменатель правой части на .
.
Сделаем замену переменной
или ,;
; .
Пришли к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой искомой функции t(x).
; ;.
Тогда
,
,
,
,
,
.
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения примет вид:
.
Проверку выполняется аналогично предыдущим примерам.
Ответ: общий интеграл .
Задание 2d. .
Рассмотрим функции ,. Эти функции являются однородными первой степени относительно переменныхx и y. Действительно:
,
.
Тогда исходное уравнение может быть сведено к уравнению вида (9), а затем к виду (11).
,
,
.
Заметим, что полученное уравнение совпадает с уравнением из задания 2(a), то есть пришли к случаю, который уже рассмотрен.