II. Дифференциальное уравнение вида

где m – любое действительное число, отличное от нуля и единицы, т.е. и, называетсяуравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли можно преобразовать в линейное уравнение, производя замену неизвестной функции при помощи подстановки . На практике уравнение Бернулли решается аналогично тому, как решаются линейные дифференциальные уравнения первого порядка, т.е. применяется либо метод Бернулли, либо метод вариации произвольных постоянных.

Пример. Найти общее решением дифференциального уравнения

.

Решение. Имеем уравнение Бернулли. Решим его методом подстановки (методом Бернулли): ,

,

.

Отсюда получаем два уравнения с разделяющимися переменными:

1) И 2).

Решая первое уравнение, находим v как простейший частный интеграл этого уравнения:

, ,,,,

, ,.

Таким образом, .

Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим u как общий интеграл этого уравнения:

, ,,,,

, ,,,

.

Таким образом, .

Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения

.

Ответ: общее решение уравнения Бернулли .

В задании 3 необходимо найти решение задачи Коши линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Задание 3. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Сделать проверку.

a) .

b) .

c) .

Решение. Для нахождения частного решения, или решения задачи Коши предварительно найдем общее решение, а затем, подставляя начальные условия, вычислим соответствующее этим начальным значениям C. Подставляя его в общее решение, получим решение задачи Коши.

Данные уравнения относятся к линейным уравнениям первого порядка. Их можно решать или методом подстановки (метод Бернулли), или методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Для задания 3 (a) покажем оба способа решения, остальные примеры решим только методом Лагранжа.

Задание 3a. .

Первый способ – метод подстановки.

Полагаем , тогдаи данное уравнение преобразуется к виду:

, .

Так как одну из вспомогательных функций uилиv можно взять произвольно, то выберем в качествеvкакой-либо частный интеграл уравнения. Тогда для отысканияuполучим уравнение. Таким образом, приходим к двум уравнениям первого порядка с разделяющимися переменными:

1) И 2) .

Решая первое из этих уравнений, найдем v, как простейший, отличный от нуля частный интеграл этого уравнения:

, , ,

, ,.

Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим u как общий интеграл этого уравнения:

, ,,,

, .

Интеграл, стоящий слева, вычислим отдельно.

Возвращаясь к уравнению, получим

Зная u и v, находим искомую функцию y:

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

Подставим заданные начальные условия , т.е.,, в общее решение и найдемC:

, ,.

Таким образом, и частное решение, или решение задачи Коши примет вид:

Сделаем проверку.

.

Найдем производную и подставим в исходное уравнение .

,

,

.

Получили верное равенство, т.е. решение дифференциального уравнения найдено верно.

Второй способ – метод вариации произвольных постоянных.

1. Составим однородное линейное уравнение, соответствующее исходному уравнению, заменив правую часть уравнения на ноль:

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решая его, получим

, , ,

, ,,

, ,.

2. Общее решение исходного неоднородного уравнения будем искать в виде общего решения однородного уравнения, считая C функцией от x (), то есть. Подставим это решение в исходное уравнение и найдем из него неизвестную функцию.

, .

.

.

Получили уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя уравнение (как это было выполнено при решении уравнения илипервым способом с той разницей, что в первом способе в качестве искомой функции выступала функция, а в нашем случае в качестве искомой функции выступает функция), получим

Тогда общее решение примет вид

.

Как легко заметить общее решение исходного уравнения получились одинаковыми. Частное решение находится аналогично тому, как это было сделано в первом способе.

Задание 3b. .

Разделим обе части равенства на

Полученное уравнение является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его методом подстановки (методом Бернулли). Полагаем , тогдаи данное уравнение преобразуется к виду.

,

Отсюда получаем два уравнения с разделяющимися переменными: