- •Идз №7:
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
- •I. Дифференциальное уравнение вида
- •II. Дифференциальное уравнение вида
- •1) И 2).
- •1) И 2) .
- •1) И 2).
- •1) И 2).
- •2.4. Уравнения в полных дифференциалах
- •3. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •3.1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •5. Литература
- •Вариант № 1
1) И 2).
Решая первое уравнение, находим v как простейший частный интеграл этого уравнения:
, ,,
, ,,
, .
Таким образом, .
Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим u как общий интеграл этого уравнения:
, ,,,
, .
Таким образом, .
Общий интеграл данного уравнения примет вид:
.
Подставим заданные начальные условия , т.е.,в общее решение и найдемC:
, .
Таким образом, и частное решение или решение задачи Коши примет вид:
Проверка выполняется аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере.
Ответ: частное решение линейного уравнения .
Задание 3c. .
Данное уравнение является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его методом Бернулли (методом подстановки). Полагаем , тогдаи данное уравнение преобразуется к виду:
,
Отсюда получаем два уравнения с разделяющимися переменными:
1) И 2).
Решая первое уравнение, находим v как простейший частный интеграл этого уравнения:
, ,,,
, ,,.
Таким образом, .
Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим u как общий интеграл этого уравнения:
, ,,
, .
Вычисляя интеграл стоящий справа отдельно, применяя формулу интегрирования по частям, получим
.
Возвращаясь к исходному уравнению, получим .
Общий интеграл данного уравнения примет вид:
.
Подставим заданные начальные условия , т.е.,в общее решение и найдемC:
.
Таким образом, и частное решение или решение задачи Коши примет вид:
Проверка выполняется аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере.
Ответ: частное решение линейного уравнения .
2.4. Уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение вида
,
где , называетсяуравнением в полных дифференциалах, т.е. левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции . Если это уравнение переписать в виде, то его общее решение определяется равенством. Функцияможет быть найдена по одной из формул:
или
,
где точка принадлежит области определения функций,.
Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Решение.
По условию имеем ,.
Проверим выполнение условия . Имеем,, т.е. условие выполнено, следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общий интеграл, где функциюможно найти по формуле
,
положив для простоты и. Выбор этих значений,допустим, так как функции,и их частные производные определены в этой точке. Тогда получим
Или окончательно получаем общий интеграл
3. Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение
,
которое связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Если уравнение второго порядка разрешено относительно старшей (второй) производной, то оно имеет вид:
. (15)
Функция называется решением уравнения (15), если при подстановке в (15) она обращает его в тождество.
Функция , зависящая от аргументаx и двух произвольных постоянных называется общим решением уравнения (15).
Если общее решение уравнения (15) получено в виде не разрешенном относительно искомой функции, то это соотношение называетсяобщим интегралом дифференциального уравнения.
Всякое решение уравнения (15), получающееся из общего решенияпри конкретных значениях произвольных постоянных, называетсячастным решением.