2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида (3), которое может быть представлено в виде

(4)

или

(5)

называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Метод интегрирования таких уравнений состоит в следующем. Если в уравнении (4) производную представить в виде отношения дифференциалови функцияне равна нулю на рассматриваемом интервале, то данное уравнение приводится к виду

. (6)

Если функции в уравнении (5) не равны нулю, то его можно привести к виду

. (7)

Полученные дифференциальные уравнения (6) и (7) называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделенными переменными.

Замечание. При делении обеих частей уравнений (4) и (5) на переменную величину ограничимся случаем, когда эти величины отличны от нуля (,) и случай их равенства нулю отдельно рассматривать не будем (как это делается в классических курсах).

Проинтегрируем уравнение (6) почленно

или

, (8)

где . Выражение (8) представляет собой общий интеграл (общее решение) уравнения (4).

Аналогично интегрируя уравнение (7), получим его общий интеграл (общее решение) в виде

.

Замечание. Иногда удобно записывать возникающую при интегрировании произвольную постоянную в видеили, гдеk – произвольно выбранный множитель.

В задании 1 контрольной работы предлагается решить обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Задание 1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку.

a) ,

b) ,

c) .

Решение. Все дифференциальные уравнения задания 1 являются уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными, которые записаны в различных видах: a) в дифференциальной форме, b) в виде уравнения, разрешенного относительно старшей (первой) производной, c) в виде уравнения, не разрешенного относительно старшей (первой) производной.

Для интегрирования этих уравнений применим стандартный прием: переход к дифференциальной форме записи уравнения, разделение переменных и почленное интегрирование, как это показано выше (в общем случае).

Задание 1 a. .

Имеем уравнение первого порядка, которое записано в дифференциальной форме. Преобразуем его следующим образом:

.

Так как

и ,

то данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные

;

;

.

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его.

.

Вычисли отдельно каждый интеграл. При этом произвольную постоянную в каждом интеграле отдельно записывать не будем.

1. .

2. .

Возвращаясь к исходному уравнению, получим

,

, .

Обозначив , получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения. Получим общее решение из общего интеграла, выразивy через x и C:

, .

Общее решение: .

Во многих случаях, когда искомую функцию y сложно выразить через независимую переменную x, удобнее решение оставлять в виде общего интеграла и делать проверку с общим интегралом.

Сделаем проверку. Так как исходное уравнение записано в дифференциальной форме, то найдем дифференциал искомой функции и подставим его в исходное уравнение.

Как известно, дифференциал функции находится по формуле

.

Воспользуемся общим интегралом и найдем производную искомой функции как функции заданной неявно. Для этого проинтегрируем обе части равенства

,

учитывая, что .

, ;

Определим из полученного выражения , учитывая, что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получим

;

.

Тогда дифференциал искомой функции примет вид

.

Подставим в исходное уравнение

;

;

;

(верно).

Ответ: общий интеграл исходного уравнения .

Задание 1b. .

Имеем уравнение первого порядка, записанное в разрешенном относительно старшей производной виде. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как может быть представлено в виде (4). Преобразуем его к дифференциальной форме, учитывая, что и разделим переменные

, ,.

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно. При вычислении первого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям. При вычислении второго интеграла можно воспользоваться заменой переменной или внесением под знак дифференциала.

2. .

Возвращаясь к исходному уравнению, получим

Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения примет вид

.

Сделаем проверку.Вычислим производную от функции, заданной неявно

,

,

,

,

.

Подставляя найденную производную в исходное уравнение, получим

(верно).

Ответ: общий интеграл исходного уравнения: .

Задание 1c. .

Имеем уравнение первого порядка. Выразим первую производную.

, ,,,

.

Полученное уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные, предварительно перейдя к дифференциальной форме, учитывая, что , и проинтегрируем его.

, ,,,

1. .

2. .

Возвращаясь к исходному уравнению, получим (произвольную постоянную выберем в виде )

,

, ,,

, ,.

Тогда общее решение исходного уравнения примет вид

.

Сделаем проверку. Найдем первую производную

.

Подставим общее решение вместе с производной в исходное уравнение

, ,

,

(верно).

Ответ: общее решение исходного уравнения .