Семінарське заняття 4

Тема 5. Функціональна залежність. Границя функції і послідовності

Питання для усного опитування та дискусії

5.1. Функція однієї та багатьох змінних.

5.2. Послідовність, її границя.

5.3. Границя функції однієї і багатьох змінних.

5.4. Основні теореми про границі.

5.5. Приклади відшукання границь.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : функція однієї змінної, функція багатьох змінних, послідовність, границя послідовності, границя функції однієї змінної, границя функції багатьох змінних, перша «чудова» границя, друга «чудова» границя, теореми про границі.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

1. Функція однієї змінної

Якщо кожному значенню змінної , що належить деякій області, відповідає одне певне значення другої змінної , то єфункція від : .

Сукупність значень , для яких визначаються значення функції в силу правила , називаєтьсяобласть визначення функції.

До основних елементарних функцій відносяться:

1) степенева функція (- дійсне число);

2) показникова функція ();

3) логарифмічна функція ();

1. тригонометричні функції ;

2. обернені тригонометричні функції . Нагадаємо їх графіки (рис. 1– 5)

0

0

а) – ціле додатне число

y

x

б) – ціле від'ємне число

в) – дробово-раціональне число

Рис.1. Степенева функція

0 Рис.2. Показникова функція

0 Рис.3. Логарифмічна функція

а)

0 б)

Рис.4. Тригонометричні функції

-1 0 а)

-1 0 б)

0 в)

г)

Рис.5. Обернені тригонометричні функції

Елементарною функцією називається функція, яка може бути заданою однією формулою виду , де вираз справа складений із основних елементарних функцій і сталих за допомогою скінченого числа операцій додавання, віднімання, множення, ділення і взяття функції від функції.

Алгебраїчною функцією називається будь-яка функція , яка задовольняє рівняння виду

,

де – многочлени від.

До алгебраїчних функцій належать такі елементарні функції:

а) Ціла раціональна функція (многочлен)

(тут – коефіцієнти,– ціле ціле невід’ємне число – степінь многочлена);

б) Дробово-раціональна функція

(тут – коефіцієнти,,,та– цілі невід’ємні числа – степені многочленів в чисельнику і знаменнику);

в) Ірраціональна функція: якщо в формулі в правій частинні виконуються операції додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня з раціональними нецілими показниками, то функціяназивається ірраціональною (наприклад,).

Функція, яка не є алгебраїчно, називається трансцендентною (наприклад, ).