Семінарське заняття 6

Тема 7. Похідна. Диференціал

Питання для усного опитування та дискусії

7.1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний, фізичний, економічний зміст.

7.2. Таблиця похідних.

7.3. Частинні похідні та їх економічні застосування.

7.4. Диференціал функції однієї та двох змінних.

7.5. Похідні і диференціали вищих порядків.

7.6. Формула Тейлора.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : похідна, частинна похідна, геометричний зміст звичайної похідної, фізичний зміст звичайної похідної, економічний зміст звичайної і частинної похідної, таблиця похідних, диференціал функції однієї змінної, диференціал функції двох змінних, похідні і диференціали вищих порядків, формула Тейлора (випадок функції однієї і двох змінних).

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

1. Похідна, її фізичний, геометричний та економічний зміст

Нехай ми маємо функцію , визначену в деякому проміжку. Знайдемо приріст функції в точці:

складемо відношення та знайдемо. (Якщо ця границя існує).

Похідною функції по аргументуназивається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідну позначають так: .

Операція знаходження похідної від функції називаєтьсядиференціюванням цієї функції.

Розглядаючи, наприклад, рух деякої точки вздовж прямоїта маючи залежність віддалі(від початкової точки) від часу, за допомогою похідної можна знайтишвидкість руху в будь-який момент часу:. Якщо, скажімо,, то користуючись означенням похідної, одержуємо:

.

Середня швидкість руху . Швидкість руху в даний момент

.

Отже, .

Значення похідної при даному значенні аргументудорівнює тангенсу кута, утвореного з додатнім напрямом осідотичною до графіка функціїу відповідній точці.

Дамо економічну інтерпретацію похідної.

Нехай витрати виробництва є функцією обсягу продукції.

Границю називаютьграничними витратами виробництва. Нехай, наприклад, функція витрат має вигляд:

Знайдемо :

.

Оскільки реальний економічний зміст мають лише цілі, то можна написати наближену рівність:

.

Таким чином, функція показує, наскільки зміняться витрати при збільшенні виробництва на одиницю. Наприклад,. Це означає, що при збільшенні обсягу виробництва з 50 до 51 одиниці витрати виробництва зростуть на 399 одиниць.

2. Диференційовність та неперервність функцій

Якщо функція має похідну в точці, тобто якщо існує

,

то функція при даному значенніназиваютьдиференційованою.

Має місце така

Теорема. Якщо функція диференційована в деякій точці, то вона в цій точці неперервна.

Дійсно, оскільки , то(– нескінченно мала величина при). Отже,, іпри. А це і означає неперервність функції. Таким чином, ясно, що в точках розриву функція не може мати похідної.

Обернена теорема не має місця: із неперервності функції, взагалі кажучи, не впливає її диференційованість.

3. Похідні від елементарних функцій. Правила диференціювання (теореми про сталий множник, про похідну суми, добутку і частки).

Користуючись означенням похідної, можна знайти похідні від таких елементарних функцій.

1. (– стале число). Покажемо, що:;. (Студентам рекомендується дати геометричне тлумачення цього факту).

2. . Покажемо, що . Маємо:. Знаходимо

(ми скористалися першою “чудовою” границею).

3. . Доведемо, що . Дійсно, маємо:. Тому.

4. . Покажемо, що .

Дійсно, . Знайдемоі скористаємося властивостями логарифмів:

.

Перейдемо до границі:

(через ми позначили вираз). Якщо, зокрема,, то.

При знаходженні похідних елементарних функцій користуються теоремами про сталий множник, про похідну суми, добутку і частки.

Теорема 1. Сталий множник можна виносити за знак похідної: якщо , то.

Дійсно, ;.

Наприклад, .

Теорема 2. Похідна суми скінченого числа диференційованих функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Так, якщо , то.

Дійсно, . Знаходимо відношення. Переходимо до границі при:

.

Теорема 3. Похідна добутку диференційованих функцій визначається за формулою:

.

Дійсно, .

Визначаємо границю

. При цьому . При цьому,,(скінченна величина), апри(оскільки з диференційованості функціївипливає її неперервність). ТомуТеорема доведена.

Теорема 4. Похідна частки диференційованих функцій визначається за формулою:

.

(студентам рекомендується довести цю теорему самостійно).

Наприклад:

а) знайдемо похідну функції :

;

б) визначимо похідну функції :

.

4. Диференціювання складної, наявної, оберненої функції.

а) Має місце така теорема про диференціювання складної функції.

Теорема. Якщо функція має в деякій точці похідну, а функціямає при відповідному значенніпохідну, тоді складна функціяу вказаній точцітеж має похідну, яка дорівнює.

Наприклад. Знайти похідну функції . Тут, де. Маємо:

Аналогічно, якщо ,,, то.

Наприклад. Знайти похідну функції . Тут, де, причому. Маємо:.

б) Розглянемо питання про диференціювання неявної функції.

Нехай функція задана неявним рівнянням: . Потрібно знайти похідну, не розв’язуючи рівняння відносно(що часто неможливо). Для цього слід про диференціювати ліву і праву частину по, враховуючи, що, а потім знайтиз лінійного (відносно) рівняння.

Наприклад. Знайти , якщо функція задана неявно рівнянням.

Диференціюючи цю тотожність по , маємо:

, або .

Звідси одержуємо відповідь: .

Навчившись диференціювати неявну функцію, можна легко знайти похідні функцій (– довільне дійсне число) та. Так, логарифмуючи рівність, маємо:. Це – неявна функція. Диференціюючи обидві частини останньої рівності по, одержуємо, звідки знаходимо, що, тобто.

Аналогічно, логарифмуючи вираз , одержуємо неявно задану функцію. Після диференціювання маємо, звідки дістаємо відповідь:.

За допомогою попереднього логарифмування можна знаходити похідні від складних виразів, що містять добутки, частки, ірраціональності. Покажемо, як знайти похідну від складної показникової функції виду на такому конкретному прикладі:. Маємо:, звідки випливає, що

(зауважимо, що вираз називаєтьсялогарифмічною похідною). Отже, , або остаточно.

в) Вивчимо питання про диференціювання оберненої функції.

Має місце така

Теорема. Якщо для функції існує обернена функція, яка в даній точцімає похідну, відмінну від нуля, то у відповідній точціфункціямає похідну.

Дійсно, диференціюючи рівність поза правилом диференціювання складної функції, маємо:

.

Звідси одержуємо: .

Завдяки правилу диференціювання оберненої функції можна довести, що

; ;

; .

Доведемо, наприклад, першу з цих формул. Оскільки , то.

За правилом диференціювання оберненої функції маємо:

_. З тригонометрії відомо, що . Таким чином,. При цьому перед коренем беремо знак “+”, оскількипри. (Студентам рекомендується довести самостійно інші три формули).

5. Таблиця основних формул диференціювання.

Наведемо основні формули диференціювання.

Таблиця

Функція	ЇЇ похідна	Функція	ЇЇ похідна
	0
			(зокрема, при)