- •Методичні рекомендації
- •1. Опис навчальної дисципліни
- •2. Структура навчальної дисципліни
- •3. Зміст семінарських занять
- •1. Вектори (основні поняття)
- •2. Лінійні операції з векторами
- •Із означення випливає, що (комутативність).
- •3. Лінійна залежність векторів
- •4. Скалярний добуток векторів
- •Визначники другого порядку
- •Визначники третього порядку
- •Основні властивості визначників
- •Матриці та дії з ними
- •Семінарське заняття 2
- •2. Метод Гаусса
- •3. Розв’язування систем матричним методом
- •4. Ранг матриці та способи його обчислення
- •5. Теорема Кронекера-Капеллі
- •Семінарське заняття 3
- •Тема 3. Пряма, площина. Тема 4. Криві та поверхні другого порядку
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Пряма, площина
- •1. Різні види рівнянь прямої лінії
- •2. Нормальне рівняння площини
- •3. Загальне рівняння площини
- •4. Рівняння площини у відрізках на осях
- •5. Рівняння площини, яка проходить через дану точку; через дані три точки.
- •6. Кут між двома площинами
- •7. Віддаль від точки до площини
- •8. Пряма лінія у просторі (векторне рівняння; параметричні та канонічні рівняння; пряма як лінія перетину площин)
- •9. Кут між прямими
- •10. Кут між прямою і площиною
- •11. Перетин прямої з площиною
- •Лінії другого порядку
- •Поняття про полярну систему координат
- •Поверхні та їх класифікація
- •2. Поверхні обертання
- •3. Поверхні другого порядку
- •Семінарське заняття 4
- •2. Функція двох змінних
- •3. Нескінченно малі та нескінченно великі величини
- •4. Границя послідовності
- •5. Границя функції
- •Семінарське заняття 5
- •Тема 6. Неперервність функції. Точки розриву
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 6
- •Тема 7. Похідна. Диференціал
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Похідна, її фізичний, геометричний та економічний зміст
- •2. Диференційовність та неперервність функцій
- •6. Диференціал та його геометричне значення
- •7. Похідні та диференціали вищих порядків
- •8. Формула Тейлора
- •9. Частинні похідні та диференціали функції двох змінних
- •10. Похідна по напряму. Градієнт функції
- •Похідною функції в напрямку (де – точка, що лежить на промені ) називається , деі– значення функції в точкахі. Якщо функція– диференційовна, то має місце формула:
- •Наприклад. Знайти похідну функції в точців напрямку, що утворює з віссюкут в. Розв’язок. Визначимо частинні похідні іта обчислимо їх значення в точці:. Враховуючи, що,
- •11. Диференціювання складних функцій
- •12. Геометричні застосування диференціального числення функції двох змінних
- •13. Похідні і диференціали вищих порядків
- •Семінарське заняття 7
- •2. Правило Лопіталя
- •3. Монотонність функції
- •4.Дослідження на екстремум
- •5. Вигнуті та увігнуті криві
- •6. Вертикальні та похилі асимптоти
- •7. Застосування похідної в економіці
- •Семінарське заняття 8
- •Умовний екстремум
- •3. Метод найменших квадратів
- •Таблиця 1
3. Зміст семінарських занять
Змістовий модуль 1
Лінійна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ в математичний аналіз
Семінарське заняття 1
Тема 1. Вектори. Матриці. Визначники
Питання для усного опитування та дискусії
1.1. Скалярні, векторні величини. Основні операції над векторами.
1.2. Визначники, їх властивості.
1.3. Матриці, дії з ними.
1.4. Поняття про модель Леонтьєва.
Аудиторна письмова робота
Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.
Методичні вказівки
Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : скаляр, вектор, скалярний добуток, визначник, порядок визначника, матриця, додавання матриць, множення матриці на число, добуток матриць, одинична матриця, невироджена матриця, мінор, алгебраїчне доповнення, обернена матриця, математична модель, модель Леонтьєва.
З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.
1. Вектори (основні поняття)
Скалярні величини повністю характеризуються своїм числовим значенням у вибраній системі одиниць (наприклад, час, температура та ін.).
Векторні величини, крім того, мають напрямок у просторі (наприклад, сила, швидкість та ін.). Векторну величину (вектор) можна зобразити відрізком у просторі (умовившись про одиницю масштабу). Цей відрізок орієнтований (вказано його початок і кінець); орієнтація позначається стрілкою. Модуль (довжина) вектора – це скаляр. Вектор позначають так: , а його модуль – так:.
Отже, задати вектор – це задати його модуль і напрямок у просторі.
Два вектора рівні, якщо вони мають однаковий модуль, паралельні та направлені в одну й ту ж саму сторону.
2. Лінійні операції з векторами
Лінійні операції з векторами – це додавання, віднімання векторів та множення вектора на скаляр (число).
а) Додавання двох векторів визначається за правилом паралелограма: якщо потрібно додати вектори і , їх відносять до спільного початку, будують на них паралелограм; діагональ цього паралелограма, яка виходить з того ж самого початку, і дає суму .
Рис.1. Сума векторів . (Правило паралелограма)
Із означення випливає, що (комутативність).
Оскільки , маємо:. Звідси випливаєправило трикутника додавання векторів: до кінця одного вектора приставити початок другого; тоді сумою служитиме вектор, що йде від початку першого в кінець другого (рис.2).
Рис. 2. Правило трикутника додавання векторів
При додаванні кількох векторів користуються правилом многокутника, проілюстрованим на рис. 3.
Рис.3. Правило многокутника
За допомогою рис. 3 легко переконатися, що має місце асоціативний закон додавання векторів: .
б) Вектор, кінець якого співпадає з його початком, називається нуль-вектором; його модуль дорівнює нулю, а напрямок невизначений; .
Якщо дано вектор , то векторназиваєтьсяпротилежним вектором до вектора і позначається –;.
Відняти який-небудь вектор – це значить додати протилежний до нього вектор. Геометрично правило утворення різниці показано на рис.4.
Рис.4. Різниця векторів
в) Добуток вектора на склярвизначається так: прице – вектор, направлений так само, як, модуль якого дорівнює; при– вектор, направлений, як, модуль якого дорівнюєприце нуль-вектор.
Із наведених означень випливають такі властивості:
1) ; |
6) ; |
2) ; |
7) ; |
3) ; |
8) ; |
4) ; |
((к-ть раз) – ціле число,>0). |
5) ; |
|