- •Методичні рекомендації
- •1. Опис навчальної дисципліни
- •2. Структура навчальної дисципліни
- •3. Зміст семінарських занять
- •1. Вектори (основні поняття)
- •2. Лінійні операції з векторами
- •Із означення випливає, що (комутативність).
- •3. Лінійна залежність векторів
- •4. Скалярний добуток векторів
- •Визначники другого порядку
- •Визначники третього порядку
- •Основні властивості визначників
- •Матриці та дії з ними
- •Семінарське заняття 2
- •2. Метод Гаусса
- •3. Розв’язування систем матричним методом
- •4. Ранг матриці та способи його обчислення
- •5. Теорема Кронекера-Капеллі
- •Семінарське заняття 3
- •Тема 3. Пряма, площина. Тема 4. Криві та поверхні другого порядку
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Пряма, площина
- •1. Різні види рівнянь прямої лінії
- •2. Нормальне рівняння площини
- •3. Загальне рівняння площини
- •4. Рівняння площини у відрізках на осях
- •5. Рівняння площини, яка проходить через дану точку; через дані три точки.
- •6. Кут між двома площинами
- •7. Віддаль від точки до площини
- •8. Пряма лінія у просторі (векторне рівняння; параметричні та канонічні рівняння; пряма як лінія перетину площин)
- •9. Кут між прямими
- •10. Кут між прямою і площиною
- •11. Перетин прямої з площиною
- •Лінії другого порядку
- •Поняття про полярну систему координат
- •Поверхні та їх класифікація
- •2. Поверхні обертання
- •3. Поверхні другого порядку
- •Семінарське заняття 4
- •2. Функція двох змінних
- •3. Нескінченно малі та нескінченно великі величини
- •4. Границя послідовності
- •5. Границя функції
- •Семінарське заняття 5
- •Тема 6. Неперервність функції. Точки розриву
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 6
- •Тема 7. Похідна. Диференціал
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Похідна, її фізичний, геометричний та економічний зміст
- •2. Диференційовність та неперервність функцій
- •6. Диференціал та його геометричне значення
- •7. Похідні та диференціали вищих порядків
- •8. Формула Тейлора
- •9. Частинні похідні та диференціали функції двох змінних
- •10. Похідна по напряму. Градієнт функції
- •Похідною функції в напрямку (де – точка, що лежить на промені ) називається , деі– значення функції в точкахі. Якщо функція– диференційовна, то має місце формула:
- •Наприклад. Знайти похідну функції в точців напрямку, що утворює з віссюкут в. Розв’язок. Визначимо частинні похідні іта обчислимо їх значення в точці:. Враховуючи, що,
- •11. Диференціювання складних функцій
- •12. Геометричні застосування диференціального числення функції двох змінних
- •13. Похідні і диференціали вищих порядків
- •Семінарське заняття 7
- •2. Правило Лопіталя
- •3. Монотонність функції
- •4.Дослідження на екстремум
- •5. Вигнуті та увігнуті криві
- •6. Вертикальні та похилі асимптоти
- •7. Застосування похідної в економіці
- •Семінарське заняття 8
- •Умовний екстремум
- •3. Метод найменших квадратів
- •Таблиця 1
3. Монотонність функції
Функція називається зростаючою в інтервалі, якщо більшим значенням відповідають більші значення функції і спадною, якщо більшим значеннямаргументу відповідають менші значення функції.
Інтервал незалежної змінної, в якому функція зростає, називається інтервалом зростання функції, а інтервал, в якому функція спадає, – інтервалом спадання. Інтервали зростання і спадання називають інтервалами монотонності функції, а функцію в цьому інтервалі – монотонною функцією.
Якщо функція диференційована, то досліджувати її на зростання і спадання можна за допомогою похідної.
Має місце така
Теорема 1. (Про монотонність функції). Якщо функція , яка має похідну на проміжку, зростає на цьому відрізку, то її перша похідна похідна невід’ємна на цьому проміжку.
Якщо функція неперервна на відрізку, диференційована в проміжку, причомупри, то функціязростає на.
Аналогічно формулюється теорема про спадання функції: Якщо функція зростає, то дотична в будь-якій її точці утворює гострий кут з віссю, ф якщо спадає – тупий (придотична паралельна осі).
Наприклад. Число людей, які під час епідемії захворіють, дорівнює ; воно прогнозується функцією часу(числа днів з початку спостережень):
.
Визначити, протягом якого часу з моменту початку спостереження кількість хворих зростатиме.
Розв'язок. Визначимо :. Звідси визначаємо, що примонотонно зростає (оскількипри, а при).
4.Дослідження на екстремум
Говорять, що функція в точцімаємаксимум, якщо її значення більше, ніж значення у всіх точках деякого інтервалу, що містить точку:
,
які б не були знаки (чи).
Функція маємінімум при , якщо, яке б не було(чи). Підкреслимо, що максимальне чи мінімальне значення функції можуть досягатися тільки у внутрішніх точках відрізка. Найменше і найбільше значення функції може досягатися не тільки в точках екстремума (максимума чи мінімума), але і на кінцях відрізка .
Має місце така
Теорема 2 (необхідна умова існування екстремуму).
Якщо диференційовна функція має в точцімаксимум або мінімум, то її похідна перетворюється в нуль в цій точці, тобто.
Геометрично це означає, що в точках екстремума дотична до графіка функції паралельна осі .
Отже, якщо функція диференційована, то вона може мати екстремуми тільки при тих значеннях аргументу, при яких похідна перетворюється в нуль.
Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне: якщо , то не обов’язково в цій точціфункція досягнена максимума чи мінімума. Так, наприклад, кубічна параболане має екстремального значення при, хоча необхідна умова існування екстремума у цій точці виконується.
Якщо ж функція не диференційовна в деяких точках, то в них може бути екстремум, а може і не бути.
Наприклад, функція прине диференційовна. В цій точці вона має мінімум.
Ті значення аргументу, при яких похідна перетворюється в нуль або терпить розрив, називаються критичними точками (або критичними значеннями). Ці точки є “підозрілими” на екстремум.
Сформулюємо достатні умови існування екстремума.
Теорема 3 (достатні умови існування екстремума з використанням першої похідної).
Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, що містить критичну точку, і диференційовна у всіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої точки). Якщо при переході зліва на право через цю точку похіднаміняє знак з “+” на “–”, то прифункція має максимум. Якщо ж при переході зліва направо через точкупохідна міняє знак з “–” на “+”, то функція має в цій точці мінімум.
Нехай при . Нехай, крім того,існує та неперервна в деякому околі точки. Тоді, функціюможна досліджувати на екстремум за допомогою другої похідної.
Теорема 4 (другі достатні умови існування екстремума – з використанням другої похідної).
Нехай при , причомуіснує та неперервна в деякому околі точки. Тоді прифункція має максимум, якщо, і мінімум, якщо.
Наприклад №1. Дохід фірми залежить від попитуна продукцію згідно з формулою:
.
Визначити максимальний дохід фірми.
Розв'язок. Обчислимо першу похідну функції та порівняємо її до нуля:
при .
Знайдемо :
.
За допомогою другої похідної переконуємося, що придосягає максимального значення – 37880000 грошових одиниць.