Визначники другого порядку

Визначником (детермінантом) другого порядку називається вираз

_. (1)

Числа називаютьсяелементами визначника. Згідно з формулою (1), маємо правило обчислення визначника другого порядку: цей визначник дорівнює різниці добутків його елементів головної та другої діагоналі.

За допомогою визначників зручно розв’язувати лінійну систему двох рівнянь з двома невідомими:

_. (2)

Нагадаємо, що розв’язком системи (2) називається будь-яка пара чисел , яка перетворює цю систему в тотожність.

Розв'яжемо систему (2), виключаючи з неї спочатку одну невідому, а потім – іншу.

Домножимо перше рівняння системи (2) на , друге – наі почленно додамо.

У результаті отримаємо:

_. (3)

Аналогічно можна домножити перше рівняння системи на , а друге ­ на, почленно їх скласти. Маємо:

_. (4)

Введемо такі визначники:

–головний визначник системи, а також додаткові визначники та.

Завдяки цим позначенням рівняння (3) і (4) можна представити у вигляді

, (5)

Якщо , то з формул (5) одержуємо

(6)

Це – формули Крамера. Вони дають розв'язок системи рівнянь (2) при (якщо, то система (2) або несумісна, тобто не має розв’язків, або невизначена, тобто має нескінченно багато розв’язків).

Наприклад: розв’язати методом Крамера систему рівнянь

Маємо: ,

Отже,

Відповідь:

Визначники третього порядку

Визначником (детермінантом) третього порядку називається вираз

_. (12)

Числа називаються елементами визначника (12). Якщо розкрити у формулі (12) всі визначники другого порядку, одержимо:

(13)

Наприклад: обчислимо визначник . Користуючись означенням, маємо:.

Зауважимо, що формулу (13) легко запам’ятати за допомогою так званого правила трикутника.

Так, у наведеному прикладі із знаком “плюс” беруть такі добутки: а із знаком “мінус” –. Отже,. (звичайно, результат обчислення не залежить від того, яким способом ми обчислювали визначник – за означенням чи за правилом трикутника, яке випливає з означення).

Наведемо декілька важливих означень.

Мінором елемента визначника третього порядку називається визначник другого порядку, який одержується з даного визначника у результаті викреслювання строчки і стовпчика, на перетині яких стоїть даний елемент.

Наприклад, мінор елемента 5 визначника – це визначник.

Говорять, що елемент займає парне місце, якщо сума номерів його строчки і стовпчика – число парне, і непарне місце, якщо сума номерів його сторчки і стовпчика – число непарне.

Наприклад, елемент 5 у попередньому прикладі займає непарне місце, бо знаходиться у 1-ій строчці і у 2-му стовпчику, а 1+2=3 – число непарне.

Алгебраїчним доповненням (мінором із знаком) елемента визначника третього порядку називається мінор цього елемента, взятий із знаком “плюс”, якщо елемент займає парне місце, і із знаком “мінус”, якщо непарне місце.

Наприклад, для визначника вигляду алгебраїчне доповнення елемента– це число, алгебраїчне доповнення елемента– це число(алгебраїчне доповнення елементів позначаються відповідними великими буквами з тими ж самими індексами, які є у елемента).

Якщо елементи визначника представлені як (– номер строчки,– номер стовпчика), тобто якщо, то, позначивши черезмінор елемента, через– алгебраїчне доповнення елемента, маємо:

.

(Тут забезпечує зміну знаків: якщо– число парне, то, а якщо– число непарне, то).

Строчки і стовпчики визначника називають його рядами.

Має місце така теорема про обчислення визначника третього порядку.

Теорема. Визначник третього порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого ряду визначника на їх алгебраїчні доповнення.

Так, визначник (12), згідно з означенням, можна представити так: . Безпосередньою перевіркою встановлюємо, що цей визначник можна обчислювати ще й за такими формулами (що, власне, і доводить теорему):

_.