6. Диференціал та його геометричне значення

Нехай функція диференційовна на проміжку. Оскільки, то, депри.

Отже, приріст функції є сумою двох доданків:(припустимо, що). Отже, приперший доданок, тобто, є нескінченно малою величиною першого порядку відносно, а– нескінченно мала вищого порядку відносно.

Добуток називаєтьсядиференціалом функції і позначають або.

Наприклад, диференціал функції , тобто. Але, тому– диференціал незалежної змінної співпадає з її приростом. таким чином,.

В наближених обчисленнях деколи користуються формулою , або.

Диференціал має властивості, аналогічні властивостям похідних:

1. 

2. 

3. .

Диференціал має властивість, яка називається інваріантністю його форми: виявляється, що форма диференціала не залежить від того, є аргумент функції незалежною змінною чи функцією іншого аргументу. Так, маючи складну функцію , знаходимо:, звідки.

Наприклад, для функції її диференціал можна представити або у вигляді, або у формі(тут).

Щоб вияснити геометричне значення диференціала, надамо змінній приріст, а змінній– приріст.

За допомогою безпосередньої перевірки встановлюємо: диференціал функції , який відповідає даним значеннямі, дорівнює приросту ординати дотичної до кривої в даній точці .

7. Похідні та диференціали вищих порядків

Похідна від першої похідної називається другою похідною (або похідною другого порядку): .Похідною -го порядку від функції називається перша похідна від-ої похідної:.

Відзначимо основні властивості похідної -го порядку.

1. ;

2. ;

3. Формула Лейбніца:

(тут )

Так, наприклад, згідно з останньою формулою знайдемо похідну 4-го порядку від функції (тут).

Маємо:

.

Обчислимо: та знаходимо похідні,

. Отже, , згідно з формулою Лейбніца, має вигляд

.

Диференціалом 2-го порядку називається диференціал від диференціала функції:

.

Знайдемо . Маємо:.

Диференціалом -го порядку називається перший диференціал від диференціалу -го порядку:

.

Зауваження 1. Якщо функція задана неявно, то для знаходження похідної другого порядку потрібно спочатку знайти та про диференціювати цю функцію за звичайними правилами диференціювання неявних та складних функцій. пояснимо це наприкладі. Знайдемо для неявно заданої функції виду

.

Розв'язування. Спочатку знайдемо . Диференціюючи тотожність по, маємо:

, або .

Звідси одержуємо: . Знаходимо:. Підставивши в цей вираз, одержимо:

. Аналогічно можна знайти похідну 3-го, 4-го і т.д. порядку.

Зауваження 2. Якщо функція задана двома рівняннями (1), де, то говорять, що (1) – цепараметричні рівняння кривої. Якщо – диференційовні функції, причомумає обернену функцію, яка теж є диференційовною, то можна знайти похіднуза формулою:.

Наприклад. Якщо , то.

Щоб знайти похідну другого порядку від функції, заданої параметрично, потрібно першу її похідну продиференціювати ще раз. Можна довести, що має місце формула:

.

Так, для попереднього прикладу знайдемо . Для цього зауважимо, що,. Маємо:, або.

8. Формула Тейлора

Нехай функція має всі похідні до-го порядку включно в деякому околі точки. Знайдемо многочленстепеня не вище, такий, щоб виконувалися умови.

Будемо шукати цей многочлен у виді , де– поки що не визначені коефіцієнти. Знаходимо

.........................................................................

.

При одержуємо:

Звідси маємо:

Отже, шуканий многочлен має вигляд _.

При цьому , де– залишковий член, який можна представити у формі Лагранжа:,. Одержана формула називаєтьсяформулою Тейлора. При її ще називають формулою Маклорена.

Наприклад, для функції формула Маклорена має вигляд:,, причому, при будь-якому скінченому значенні. При,, наприклад, одержуємо числоз точністю 5 знаків після коми:.

Для функції формула Маклорена має вигляд:

,

для функції –

, причому залишкові члени в цих формулах також прямують до нуля при для будь-яких скінченних значень.