9.1 Упражнения к теме 9

1. Создать анимацию графика функции f(x) = sin x + sin²x.

10 Математическое моделирование

Весьма важной областью применения компьютеров является математическое моделирование в физике, химии, биологии и в других отраслях науки и техники. В основе математического моделирования лежат численные методы решения различных уравнений.

10.1 Основные понятия моделирования

10.1.1 Назначение и цели моделирования

Моделирование — замещение исследуемою объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом (моделью) и изучение свойств оригинала путем исследования свойств модели. С моделями и моделированием мы сталкиваемся в нашей жизни каждый день. В детстве ребенка окружают игрушки: машинки, куклы, кубики и т.д. — модели, повторяющие отдельные свойства реально существующих предметов. Играя, ребенок получает важные знания о них. В процессе мышления человек оперирует образами объектов окружающего мира, которые являются разновидностями моделей — когнитивными (мысленными) моделями.

Реальная польза от моделирования может быть получена при выполнении двух главных условий:

• модель должна быть адекватной оригиналу, в том смысле, что должна с достаточной точностью отображать интересующие исследователя характеристики оригинала;

• модель должна устранять проблемы, связанные с физическим измерением каких-то сигналов или характеристик оригинала.

Моделирование может осуществляться с двумя главными целями:

• для изучения механизма явлений (познавательная цель);

• для управления объектом, т.е. для выработки по модели оптимальных управляемых воздействий.

В обоих случаях модель создается для определения и прогноза интересующих характеристик или сигналов объекта.

10.1.2 Основные виды моделей и их свойства

В зависимости от способа реализации все модели можно разделить на два класса.

Физические модели — предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые интересуют исследователя. Физические модели упрощены и называются макетами. Физическое моделирование иначе называется макетированием.

Математические модели представляют собой формализованные описания объекта или системы с помощью некоторого абстрактного языка, например в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма. Различают различные виды математического моделирования: вербальные (словесные), графические, табличные, аналитические и алгоритмические.

Иногда математическая модель описывается уравнениями, которые вытекают из рассмотрения физической сущности моделируемого явления или системы. Однако чаще описание моделируемых объектов и систем носит чисто формальный характер и базируется на том, что многие явления порой самой различной природы описываются уравнениями (алгебраическими, дифференциальными и иными) одного и того же вида. В этом случае говорят о формальных моделях.

Кроме того, явления, системы и их модели могут быть нестационарными и стационарными. Нестационарные модели характеризуются зависимостью их параметров от времени. У стационарных моделей такой зависимости нет. Естественно, что моделирование нестационарных явлений гораздо сложнее, чем стационарных.

Модели обладают рядом свойств, от которых зависит успех их применения. Отметим некоторые из них, наиболее важные.

Адекватность — это степень соответствия модели исследуемому реальному объекту. Она никогда не может быть полной. На практике модель считают адекватной, если она с удовлетворительной точностью позволяет достичь целей исследования.

Простота (сложность) — также является одной из характеристик модели. Чем большее количество свойств объекта описывает модель, тем более сложной она оказывается. Не всегда чем сложнее модель, тем выше ее адекватность. Надо стремиться найти наиболее простую модель, позволяющую достичь требуемых результатов изучения.

Потенциальность (предсказательность) — способность модели дать новые знания об исследуемом объекте, спрогнозировать его поведение или свойства.