7 Работа с матрицами

7.1 Векторные и матричные операции

Некоторые из операторов MathCad имеют особые значения в применении к векторам и матрицам. Например, символ умножения * при применении к векторам означает скалярное умножение и умножение матриц — когда применяется к матрицам.

Векторные и матричные операторы доступны на панели Символьная. Если результатом является вектор, то это обязательно вектор-столбец, а не вектор-строка.

Таблица 7.1

Команды работы с векторами и матрицами

Обозначение	Клавиши	Пояснения
x * y	Ctrl+*	Векторное произведение трехмерных векторов x и y
A^n	^	Степень матрицы. Для квадратной матрицы А и целого положительного n вычисляется n-я степень матрицы А, при n отрицательном n-я степень обратной матрицы А.
|A|	|	Определитель матрицы.

А^-1 – обратная матрица – такая матрица, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Е — единичная матрица — квадратная матрица, элементыглавной диагоналикоторой равны единице, а остальные элементы равны нулю:

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

А^Т — транспонированная матрица — матрица, полученная из исходной матрицызаменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров— матрицаразмеров, определённая как A^T[i,j] = A[j,i].

Например,

и      

7.2 Функции, возвращающие специальные характеристики матриц

max(V) — возвращает максимальный по значению элемент матрицы V;

min(V) — возвращает минимальный по значению элемент матрицы V;

cols(V) — возвращает число столбцов матрицы V;

rows(V) — возвращает число строк матрицы V;

tr(V) — возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы V;

csort(V,n) — возвращает матрицу с переставленными строками в соответствии с элементами N-го столбца, расположенными по возрастанию;

rsort(V,n) — возвращает матрицу с переставленными столбцами в соответствии с элементами N-ой строки, расположенными по возрастанию.

7.3 Упражнения к теме 7

1. Переставить столбцы матрицы по элементам первой строки, по элементам второго столбца.

2. Найти сумму матриц и.

3. Найти матрицу 2А+5В, если и.

4. Найти произведения матриц АВ и ВА, если и.

5. Найти значение матричного многочлена , если, аЕ — единичная матрица третьего порядка.

6. Дана матрица . Найти обратную матрицу.

7. Найти матрицу , еслии.

8. Вычислить |А|, А^т, В^-1, А³, если

Найти максимальный элемент матрицы С=А*В.

Пример выполнения упражнения 1. Для решения системы уравнений включим панель инструментов Матрица: Вид — Панели инструментов — Матрица или воспользуемся кнопкой на панели Математическая . Вводим«D :=», далее можно воспользоваться комбинацией клавиш: «Ctrl» + «M» или выбрать пиктограмму на панели Матрица . На экране появляется менюВставка матрицы (рис. 6.2). Вводим число столбцов 3 и число строк 3, щелкаем ОК. Вводим элементы матрицы, перемещаясь по таблице с помощью клавиши Tab.

Вводим с клавиатуры функцию rsort, вводим аргументы D и 0 (т.к. по умолчанию нумерация строк и столбцов в MathCad начинается с 0), щелкаем знак «=», получаем результат: