Вычисление определённого интеграла методом трапеций

xi	f(xi)	f(xi+x)	0,5(f(xi)+f(xi+x))x
–2,0	0,00	1,75	0,4375
–1,5	1,75	3,00	1,1875
–1,0	3,00	3,75	1,6875
–0,5	3,75	4,00	1,9375
0,0	4,00	3,75	1,9375
0,5	3,75	3,00	1,6875
1,0	3,00	1,75	1,1875
1,5	1,75	0,00	0,4375
0,5(f(xi)+f(xi+x))x			10,5

Абсолютная погрешность метода: |10,500–10,667|=0,167.

Относительная погрешность: .

Рис. 4. Графическая иллюстрация метода трапеций.

В данном примере метод трапеций показал такую же точность, как и простой метод прямоугольников. Это объясняется тем, что рассматривавшаяся в примере функция была симметрична и немонотонна на заданном интервале интегрирования. В более общем случае, когда на заданном интервале подынтегральная функция монотонна, метод трапеций даст заметно меньшую погрешность по сравнению с простым методом прямоугольников.

Суть метода парабол (метода Симпсона) заключается в том, что на каждом подынтервале интегрирования кривая f(x) заменяется параболой, проходящей через три точки: f(x_i), f(x_i+0,5x), f(x_i+x) (рис. 5).

Рис. 5. Графическая иллюстрация метода парабол.

Формула для вычисления определённого интеграла выглядит следующим образом:

. (6)

Задание 4. Для функции вида вычислить определённый интеграл в пределах [–2; 2] методом парабол. Рассчитать погрешности данного метода.

Численное решение представлено в табл. 4.

Таблица 4

Вычисление определённого интеграла методом парабол

xi	f(xi)	f(xi+x)	f(xi+0,5x)	Smp(x, x)x
–2,0	0,00	1,75	0,9375	0,458(3)
–1,5	1,75	3,00	2,4375	1,208(3)
–1,0	3,00	3,75	3,4375	1,708(3)
–0,5	3,75	4,00	3,9375	1,958(3)
0,0	4,00	3,75	3,9375	1,958(3)
0,5	3,75	3,00	3,4375	1,708(3)
1,0	3,00	1,75	2,4375	1,208(3)
1,5	1,75	0,00	0,9375	0,458(3)
Smp(x, x)x				10,(6)

Абсолютная погрешность метода: |10,667–10,667|=0.

Относительная погрешность: .

Нулевая погрешность объясняется тем, что исходная функция – та же самая парабола, которой аппроксимировались участки функции на интервалах интегрирования.