- •Казанский кооперативный институт (филиал)
- •Эконометрика лекционный материал
- •080105.65 «Финансы и кредит»
- •Тема 1. Введение в эконометрику.
- •Тема 2. Линейная модель парной регрессии
- •Регрессионный анализ и его применения в экономике. Диаграмма рассеяния
- •Метод частных средних
- •Простая линейная регрессия
- •Метод наименьших квадратов
- •Построение регрессионной прямой по сгруппированным данным
- •Тема 3. Модель множественной линейной регрессии
- •Линейная множественная регрессия
- •Исходные предположения регрессионного анализа и свойства оценок
- •Тема 4. Проблемы линейных регрессионных моделей.
- •Предпосылки метода наименьших квадратов (условия Гаусса-Маркова)
- •Последствия гетероскедастичности.
- •Методы смягчения проблемы гетероскедастичности.
- •Тема 4. Нелинейные модели регрессии .
- •Обобщенный метод наименьших квадратов
- •Фиктивные переменные во множественной регрессии
- •Тема 5. Временные ряды
- •Решение:
- •4. Экспоненциальное сглаживание
- •5. Суть, причины и последствия автокорреляции.
- •6. Обнаружение автокорреляции.
- •Тема 5.Системы эконометрических уравнений
- •2. Структурная и приведенная формы модели.
- •3. Проблема идентификации.
- •4. Оценивание параметров структурной модели: косвенный мнк, двухшаговый мнк.
- •Косвенный мнк (кмнк)
- •Использованная литература
- •Эконометрика лекционный материал
- •420045 Республика Татарстан, г. Казань,
Метод наименьших квадратов
Вычисляют выборочную дисперсию, характеризующую меру разброса опытных данных (xi; yi)вокруг значений регрессии, то есть дисперсию остатков
.
Знаменатель показывает число степеней свободы. Оно определяется как разность между объемом выборки и числом параметров регрессии, подлежащих оценке. Стандартной ошибкой регрессии называется
.
Стандартная ошибка должна быть минимальна, это равносильно условию:
. (1)
Геометрическая интерпретация формулы(1)следующая: сумма площадей заштрихованных квадратов должна быть наименьшей.
Пусть ŷi = b0 + b1x1;i= 1, 2, …,n; тогда
и надо найти b0иb1.
Для наличия экстремума S(b0; b1)необходимо выполнение равенств:
(2)
Для вторых частных производных функции S(b0; b1)справедливы соотношения:
Существование минимума обеспечивается выполнением условия:
После преобразований уравнений (2)получаем систему двух уравнений первой степени (систему нормальных уравнений) относительно неизвестныхb0иb1:
(3)
Применяя к ней правило Крамера, получаем:
Получить b0иb1из уравнений(3)можно по-другому. Первое из уравнений системы почленно разделим наn. Тогда
; или
, откуда ;
; .
Коэффициент регрессии b1можно представить следующим образом:
, где
- ковариация между переменными xиy,- дисперсия переменнойx.
Вычислим коэффициенты регрессии общей суммы налогового сбора (переменная y) на сумму поступлений налога на добавленную стоимость по несгруппированным данным:
Время наблюдения |
№ наблюдения |
y(общая сумма налогов и платежей в консолидированный бюджет РФ), млрд. руб. |
x(общая сумма поступлений в консолидированный бюджет РФ по НДС), млрд. руб. |
xi2 |
yi2 |
xiyi |
январь |
1 |
38,9 |
13,4 |
179,56 |
1513,21 |
521,26 |
февраль |
2 |
45,3 |
15,4 |
237,16 |
2052,09 |
697,62 |
март |
3 |
61,1 |
16,7 |
278,89 |
3733,21 |
1020,37 |
апрель |
4 |
70,4 |
16,2 |
262,44 |
4956,16 |
1140,48 |
май |
5 |
63,8 |
13,0 |
169 |
4070,44 |
829,4 |
июнь |
6 |
67,7 |
15,0 |
225 |
4583,29 |
1015,5 |
июль |
7 |
70,6 |
20,8 |
432,64 |
4984,36 |
1468,48 |
август |
8 |
78,9 |
16,4 |
268,96 |
6225,21 |
1293,96 |
сентябрь |
9 |
73,2 |
17,4 |
302,76 |
5358,24 |
1273,68 |
октябрь |
10 |
78,1 |
23,6 |
556,96 |
6099,61 |
1843,16 |
ноябрь |
11 |
103,0 |
23,9 |
571,21 |
10609 |
2461,7 |
декабрь |
12 |
133,4 |
34,4 |
1183,36 |
17795,56 |
4588,96 |
Σ |
|
884,4 |
226,1 |
4667,94 |
71980,4 |
18154,6 |
График уравнения регрессииyнаx выглядит следующим образом:
Экономические явления обычно находятся во взаимодействии, то есть переменная yзависит от переменнойx, и наоборот, переменнаяxзависит от переменнойy. В этом случае говорят о логически обратимой регрессии. При переходе от одной зависимости к другой нельзя из уравнения
выразить xвыразить черезy, так как эмпирические точки лежат не на прямой, а подвержены рассеянию и фиксированному значениюxможет соответствовать несколько значенийyи наоборот.
Уравнения регрессии ине выводимы друг из друга. Они задают сопряженные регрессионные прямые.
Построим регрессию xнаyдля рассматриваемого нами примера.
;
График регрессии xнаyбудет выглядеть следующим образом:
Совместим графики регрессии xнаyиy наx:
Регрессионные прямые образуют «ножницы». По величине раствора ножниц можно судить приблизительно о степени зависимости обеих переменных. Чем более раскрыты ножницы, тем слабее связь. Если обе прямые регрессии пересекаются под прямым углом, то эмпирические данные не позволяют подтвердить гипотезу о существовании зависимости между переменными. Если отсутствует регрессия xнаy, то не существует также регрессииy наx, и наоборот. Приb1= 0 обязательноb1*= 0 и обратно.