Последствия гетероскедастичности.

При невыполнимости предпосылки постоянства дисперсий отклонений гомоскедастичность) последствия применения МНК будут следующими.

1. Оценки коэффициентов по-прежнему останутся несмещенными и линейными.

2. Оценки не будут эффективными (т.е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра). Они не будут даже асимптотически эффективными. Увеличение дисперсии оценок снижает вероятность получения максимально точных оценок.

3. Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением.

4. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- иF-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно,t-статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющихся.

Методы смягчения проблемы гетероскедастичности.

При установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии отклонений.

Для этого используется взвешенный метод наименьших квадратов (ВНК).

Тема 4. Нелинейные модели регрессии .

Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.

1.Типы нелинейных моделей:

2. Нелинейные модели линейные по объясняющим переменным и их линеаризация.

3.Нелинейные модели по оцениваемым параметрам.

Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и может использоваться для анализа и прогнозирования. Однако в силу многообразия и сложности экономических процессов ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными функциями, безусловно, не даст положительного результата. Так, например, нелинейными являются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства - трудом, капиталом и т.п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам. К таким функциям относятся квазилинейные функции.

Например, это полиномы различных степеней

Равносторонняя гипербола

2. регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам. К таким регрессиям относятся нелинейные функции второго класса.

Например, степенная функция

Показательная

Экспоненциальная

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов, так как эти функции линейны по параметрам. Так, например, в полиноме второй степени

заменивх = х₁, х² = х₂,получиму = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + u.Применив метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов этого полинома, получим следующую систему нормальных уравнений

Ее решение возможно методом Крамера.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых легко оцениваются с помощью МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу:

Она может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у. Английский экономист А.В.Филлипс, анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х годов 20 века, установил обратную зависимость прироста заработной платы от уровня безработицы.

Заменив в уравнении равносторонней гиперболы 1/хнаz, получим уравнение линейной регрессииy = b₀ + b₁ z + u,оценка параметров которого может быть дана с помощью МНК.

Модели вида

называются полулогарифмическими моделями. Эти модели также относятся к нелинейным моделям относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейным по параметрам.

Такие модели обычно используются в тех случаях, когда необходимо определять темп роста или прироста каких-либо экономических показателей. Например, при анализе банковского вклада по первоначальному вкладу и процентной ставке, при исследовании зависимости прироста объема выпуска от относительного (процентного) увеличения затрат ресурса, бюджетного дефицита от темпа роста ВНП, темпа роста инфляции от объема денежной массы и т.д.

Зависимость

где Y₀– начальная величина переменнойY(например, первоначальный вклад в банке);r– сложный темп прироста величиныY(процентная ставка);Y_t – значение величиныYв момент времениt(вклад в банке в момент времениt). Эта модель легко сводится к полулогарифмической первого вида, параметры которой легко оцениваются с помощью МНК.

Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Например в экономических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция

где y– спрашиваемое количество

х – цена

u– случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, так как включает параметрыаиbнеаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как логарифмирование данного уравнения, например, по основаниюeприводит его к виду

Оценка параметров в полученном уравнении может быть произведена с помощью МНК.

Наибольшее распространение степенной функции в эконометрике связано с тем, что параметр bимеет четкое экономическое истолкование, – он является коэффициентом эластичности. Это значит, что коэффициентbпоказывает, на сколько % в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

Для степенной функции коэффициент эластичности будет рассчитываться следующим образом

При b<0 характеризуется эластичность спроса, а приb>0– предложения.

В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. В силу этого для них обычно рассчитывается средний показатель эластичности

Если же модель степенной регрессии представить в виде

то она становится внутренне нелинейной, так как ее невозможно превратить в линейный вид. В этом случае, то есть, если модель внутренне нелинейна по параметрам, используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода. Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях, однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду.

Рассмотренные функции регрессий легко обобщаются на большее количество переменных.Ввиду четкой интерпритации параметров наиболее широко используется степенная функция. В степенной функции

Коэффициенты b_j являются коэффициентами эластичности.

Например, при исследовании спроса на мясо получено уравнение

где у – количество спрашиваемого мяса, х₁– цена, х₂– доход.

Рост цен на 1% при том же доходе вызывает снижение спроса в среднем на 2,63%. Увеличение дохода на 1% обусловливает при неизменных ценах рост спроса на 1,11%.

Зачастую данная степенная модель используется при анализе производительных функций. Например, хорошо известна производственная функция Кобба-Дугласа

После логарифмирования обеих частей получим

Здесь α и β – эластичности выпуска по затратам капитала и труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба. При α + β = 1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При α + β <1 имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При α + β >1 – возрастающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).

Гомоскедастичность

Гомоскедастичностьостатков означает, что дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значенийx. Если это условие не соблюдается, то имеет местогетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (смотри рисунок).

Т.к. дисперсия характеризует отклонение то из рисунков видно, что в первом случае дисперсия остатков растет по мере увеличенияx, а во втором – дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях величиныxи уменьшается при минимальных и максимальных значенияхx. Наличие гетероскедастичности будет сказываться на уменьшении эффективности оценок параметров уравнения регрессии. Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно определять также по графику зависимости остатков от теоретических значений.

Отсутствие автокорреляции остатков

Под автокорреляциейостатков понимают зависимость распределения значений остатковдруг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Оценить эту зависимость можно вычислив коэффициент корреляции между этими остатками по формуле, аналогичной (6)

. (10)

Если этот коэффициент окажется существенно отличным от нуля, то остатки автокоррелированны.

Пример.Проверить для уравнения регрессии, полученного ранее, выполнение предпосылок МНК.

Вычисляем теоретические значения по уравнению регрессии полученному ранее, а остатки по формуле и записываем в таблицу

Номер предприятия	1	2	3	4
, (%)	1	2	3	5
, (%)	0	1	3	4
, (тыс. руб.)	6	11	19	28
, (тыс. руб.)	5,79	11,31	19,07	27,87
, (тыс. руб.)	0,21	-0,31	-0,07	0,13

Теперь для проверки случайного характера остатков построим график их зависимости от теоретических значений .

Хотя по четырем точкам судить трудно, но в целом можно сделать вывод, что остатки распределены случайно. Из этого же рисунка можно сделать вывод о гомоскедастичности остатков, т. к. дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений x.

Вычислим теперь величину суммарного отклонения:

.

По малости этой величины можно сделать вывод о практически нулевой средней величине остатков.

Коэффициент автокорреляции остатков находим по следующим рядам данных:

, (тыс. руб.)	-0,31	-0,07	0,13
, (тыс. руб.)	0,21	-0,31	-0,07

;

;

;

Отсюда находим

Коэффициент корреляции не так велик, и его можно считать приемлемым. Таким образом мы установили, что у нас были все предпосылки к тому, чтобы применять МНК и линейное уравнение регрессии к исходным данным.