Теорія поля / Посiбник

121

Енергія вздовж осі хвилеводу передається із груповою швидкістю

		æ	λ	ö2			æ	fкр ö2
	v = c	1-ç		÷	= c 1-		ç		÷	,	(3.46)
			λ					f
	гр	ç		÷
		è	кр ø				è		ø

поданою графіком на рис. 3.9.

Рисунок 3.10 ілюструє зв'язок між довжиною хвилі у вільному просторі λ = c / f , довжиною хвилі у хвилеводі

L = vф / f та груповою довжиною хвилі λгр = vгр / f – відстанню, на

λ

яку переміщається енергія вздовж осі хвилеводу за період коливань

	λгр		Lλгр = λ	2	або vфvгр = c	2	.

ΛРозуміння описаних вище

Рисунок 3.10 –	явищ було б неповним без з'ясу-
Ілюстрація зв'язку	вання особливостей поведінки
між λ , Λ і λгр	електромагнітних полів у режимі
	відсічення. Якщо будемо намага-

тися збуджувати хвилевод на частоті нижче критичної, то відповідно до (3.45) довжина хвилі, фазова швидкість, а отже, і хвильове число у хвилеводі, повинні бути уявними величинами. Тому хвильові множники в (3.41) набирають

форми e± K ze jωt , яка показує, що складові поля у всіх точках хвилеводу змінюються синфазно у часі, а амплітуда їх уздовж хвилеводу спадає експоненціально. Таке явище не можна назвати загасанням, тому що воно спостерігається у хвилеводах без втрат, а можна розглядати як крайові поля, які існують на деякій відстані від місця збудження, але які не здатні збудити електромагнітну хвилю, яка біжить по хвилеводу.

Крім розглянутого у даному підрозділі явища, дисперсія у хвилеводі можлива також за рахунок втрат на стінках хвилеводу або у його діелектрику, що заповнює простір

122

подібно тому, як це мало місце для випадку плоскої хвилі

(див. п. 3.2).

Чи можливе поширення у хвилеводах без втрат електромагнітних хвиль, для яких не спостерігається диспер-

сія? Формули (3.43) – (3.46) справедливі, якщо ( k2 - K 2 )>0. Саме ця нерівність була вихідною для таких висновків про характер дисперсії у хвилеводах. Якщо можливе існування бездисперсійних хвиль, то необхідною умовою є рівність

( k2 - K 2 )=0 або k = K . Вона означає, що швидкість поширення таких хвиль дорівнює швидкості світла vф = c у се-

редовищі, що заповнює хвилевід, а довжина хвилі у хвилеводі дорівнює довжині хвилі у вільному просторі ( Λ = λ ). Ці ж самі рівності утворюються, якщо в (3.43) – (3.46) формально взяти λкр ® ¥ або fкр =0. Беручи до уваги фізич-

ний зміст fкр , можна зробити висновок про те, що хвилі

без дисперсії не мають режиму відсічення, тобто їхнє поширення у хвилеводі можливо на будь-яких частотах, включаючи найнижчі.

Про характер полів у хвилеводі без дисперсії можна судити з виразу (3.42), якщо в ньому взяти k = K :

∙

Ñ2x, y F ± (x, y) = 0 .

Даний вираз за формою збігається із двовимірним рівнянням Лапласа, яке задовольняють статичні поля. Але оскільки граничні умови на стінках хвилеводу і для змінних і для статичних полів однакові, можна зробити такі висновки: характер розподілу полів у поперечному перерізі хвилеводу для хвиль без дисперсії такий самий, як і для статичних полів; поширення хвиль без дисперсії можливо лише у хвилеводах, що допускають існування статичних полів. До них належать такі лінії передачі, як коаксіальний хвилевід, смугова лінія і т.п., вони мають, як мінімум, два

123

провідники, які і допускають підключення джерела постійної напруги.

Поля у поперечному перерізі хвилеводу розраховують-

ся шляхом розв'язання рівняння (3.42). Слід зазначити, що функції F ± (x, y) , які характеризують розподіл полів, по-

дібні. Тому для з'ясування їх загальних закономірностей обмежимося розглядом лише падаючої хвилі. Рівняння типу (3.42) у частинних похідних зручно розв'язувати мето-

дом поділу змінних		(див.	п. 5.4). Позначивши
F ± (x, y) = X (x) Y ( y)	і	виконавши процедуру		поділу,
отримаємо замість (3.42) два рівняння:
d 2 X	2	d 2Y	2
dx2 − kx X = 0 , dy2			− kyY = 0 .	(3.47)
Тут через kx і ky	позначені так звані постійні поділу,
для яких виконується рівність

kx2 + ky2 = k2 − K 2

і які іноді називають (за аналогією із k та K ) поперечними хвильовими числами, незважаючи на те, що у поперечному напрямку поширення хвиль не відбувається.

Розв'язок рівнянь (3.47) може бути подано у вигляді гармонійних функцій:

X (x) = Cx cossin (kx x +ϕx ) , Y ( y) = Cy cossin (ky y +ϕy ).

Подвійний запис означає, що, виходячи зі зручності, можна вибирати кожну із функцій, поки постійні інтегрування ϕx та ϕy не визначені.

Отримані вирази дозволяють записати загальний вигляд розв'язку хвильових рівнянь для кожної зі складових електричного і магнітного полів у формі

∙	∙	+ (x, y) e j(ω t−K z) =
F (x, y, z, t) = F

124

=C+ sin	(kx x +ϕx ) sin	(ky y +ϕy ) e j(ω t−K z) .	(3.48)
cos	cos

Цей вираз показує, що гармонійні зміни напруженості аналогічні до полів стоячої хвилі у поперечному перерізі, а у поздовжньому напрямку у хвилеводі існує хвильовий процес, що характеризується поздовжнім хвильовим числом K . Постійні інтегрування ϕx та ϕy знаходять із гра-

ничних умов, які можуть бути сформульовані для кожного конкретного хвилеводу (див. главу 4).

Типи хвиль у хвилеводах визначаються за наявністю або відсутності поздовжніх складових полів Ez і Hz . Зро-

бимо спочатку деякі формальні перетворення. Скористаємося комплексними виразами рівнянь Максвелла в проекціях на осі координат і будемо вважати, що у хвилеводі поширюється тільки падаюча хвиля. Це не змінить суті ви-

∙

сновків, тому що функції F + (x, y)

∙

і F − (x, y) подібні.

Розв'язуючи ці системи рівнянь, отримуємо такі вирази для поперечних складових полів через поздовжні [1]:

æ

∙

∙

ö

j ç K

¶ Ez

+ωμμ

0

¶ H z

÷

¶y

∙

ç

¶x

÷

Ex = -

è

ø

,

(3.49)

(k2 - K 2 )

æ

∙

∙

ö

j ç

ωεε

0

¶ Ez

+ K

¶ H z

÷

∙

ç

¶x

¶y

÷

H y = -

è

ø

,

(k2 - K 2 )

æ

∙

∙

ö

j ç K

¶ Ez

-ωμμ

0

¶ H z

÷

∙

ç

¶y

¶x

÷

E y = -

è

ø

,

(k2 - K 2 )

125

	æ			∙		∙	ö
	j ç	ωεε		¶ Ez	- K	¶ H z	÷
						¶x
∙	ç		0 ¶y				÷
H x =	è						ø	.
			(k2 - K 2 )

Структура цих виразів однотипна: перший доданок у чисельнику визначається поздовжньою складовою електричного поля, другий – поздовжньою складовою магнітного поля. Очевидно, що можливе існування таких структур хвиль, у яких відсутня поздовжня складова або електричного, або магнітного поля. У окремому випадку при k ® K можуть бути відсутні обидві поздовжні складові. Відповідно виділяють три основні групи хвиль: так звані H -хвилі, E -хвилі та T -хвилі.

1 H -хвилі характеризуються відсутністю поздовжньої

∙

складової електричного поля ( Ez =0). Однією із особливостей таких хвиль є те, що відношення поперечних складових електричного і магнітного полів не залежить від координат. Це відношення називається еквівалентним опором хвилеводу, причому

∙

Z H =

E

=

ωμμ0

= Z

L

=

Z0

. (3.50)

0 λ

∙

е

K

æ fкр ö

2

H

1

- ç

÷

f

è

ø

2 E -хвилі характеризуються відсутністю поздовжньої

∙

складової магнітного поля ( H z =0). Еквівалентний опір хвилеводу для цих хвиль

∙

E

K

λ

æ

fкр ö

2

E

Zе

=

=

= Z0

= Z0

1- ç

÷

. (3.51)

∙

ωεε0

L

f

H

è

ø

126

3 T -хвилі характеризуються відсутністю обох поздов-

∙∙

жніх компонентів поля ( Ez = H z =0). Для таких хвиль ха-

рактерна відсутність	дисперсії ( k = K , vф = c , Λ = λ ), а
			[Ом]. Для E - або
еквівалентний опір	ZеT = Z0 = 377	μ0
		ε0

H -хвиль можливе існування нескінченної безлічі їх типів. T -хвилі (розподіл поперечних полів для яких такий самий, як і для статичних полів) при заданій конфігурації хвилеводу мають єдиний розв'язок рівнянь Лапласа.

Доцільність проведеної класифікації полягає у тому, що порівняно легко можна кількісно аналізувати лише окремі типи хвиль, а будь-які складні гібридні поля можна

подати як їх	суперпозицію. До таких хвиль належать
∙	∙
HE -хвилі ( H z ¹ 0, Ez ¹ 0 ).

3.5 Випромінювання електромагнітних хвиль

Випромінюванням електромагнітних хвиль називають явище поширення у просторі електромагнітних хвиль, які мають кінцеву швидкість і які втратили зв'язок зі своїми джерелами (змінними зарядами і струмами). Існування електромагнітного поля далеко від його джерел обумовлю-

ється взаємним зв'язком змінних магнітного	→
	( ¶ B/ ¶ t ) і
→	виникнення
електричного ( ¶ D/ ¶ t ) полів. Початкове ж

електромагнітного поля залежить від джерел поля. Основним завданням розрахунків електромагнітного поля випромінювання є визначення структури поля і його напруженості залежно від заданого розподілу струмів і зарядів випромінювача. Знаходження співвідношень між характеристиками поля і його джерела зводиться до спільного розв'язання рівнянь Максвелла та подальшого інтегруван-

127

ня неоднорідних диференційних рівнянь Даламбера (3.9), (3.11).

Припустимо, що фронт хвилі випромінювання є сферичним. Тоді рівняння (3.11) із урахуванням сферичної симетрії пабуде такого вигляду:

1 d

æ

2

dϕ ö

1 ¶2ϕ

ρ

ç r

÷

-

2

= -

.

r

2

v

2

¶ t

εa

d r è

d r ø

	æ	r ö
	f çt -		÷
Розв'язок шукається у вигляді функції	è	v ø		і для
	r

складової потенціалу від заряду ρ (t)dV , яка змінюється в

часі, має вигляд [1]:								r ö
					ρ	æ
						çt -			÷dV
						è		v ø		.
						4πεar
æ	r ö
Вираз ρ çt -		÷	слід розуміти так: об'ємний заряд ρ є
è	v ø
				æ		r ö
функцією аргументу				çt -			÷ . Результуюче значення потен-
				è		v ø

ціалу отримаємо, якщо додамо складові потенціалу від зарядів, розподілених в об'ємі V :

			æ		r ö
	1		ρ çt -			÷ dV
ϕ =		Vò	è		v ø		.	(3.52)
	4πεa			r

Обговоримо розв'язання рівняння (3.9). У загальному випадку це рівняння можна розбити на три рівняння для трьох проекцій вектора-потенціалу. Кожне із рівнянь у проекціях буде складено відносно скалярної величини (проекція вектора є величина скалярна). Загальний розв'я- зок для кожної із проекцій проводиться так само, як і про-

128

водився розв'язок для скалярної величини ϕ , але замість об'ємного заряду буде брати участь відповідна проекція густини струму і μa замість 1/ εa .

Після множення розв'язків на відповідні орти і додавання виявиться, що складова вектора-потенціалу від еле-

→

мента струму δ dV у деякій точці простору, віддаленій від

елемента струму на відстань r ,

r ö

→ æ

→

μa δ çt -

÷dV

è

v ø

d A =

.

4π r

Для одержання результуючого значення

→

A необхідно

геометрично додати складові від усіх елементів струму:

→ æ

r

ö

→

μa

δ

çt -

÷dV

v

ò

è

ø

A =

.

(3.53)

4π

r

V

Вирази (3.52), (3.53) також можна подати у комплексній формі запису [1] за умови завдання гармонічно змінно-

		го струму i = Im sin (ω t +ϕ ) .
		Аналіз	поля випроміню-
i	E	вання, як правило, проводять,
		досліджуючи поле елемента-
H	П	рних випромінювачів. При
П		цьому	випромінювальні
		установки (антени) розгля-
Рисунок 3.11 – За-		дають як сукупність елемен-
		тарних	випромінювачів.
гальна картина	роз-	Установка	є випромінюваль-
поділу електричного та		ною, якщо електричне і маг-
магнітного полів в ви-		нітне поля розподілені в од-
промінювальній	уста-	ній і тій самій області прос-
новці		тору (рис. 3.11).

129

Електромагнітне поле, створене елементарними випромінювачами в оточуючому їх діелектричному середовищі ( ρ =0), аналізують за допомогою запізнених потенці-

алів (див. приклад 3.6). Для гармонійних випромінювачів застосовують комплексні зображення. Знаходять комплекс

∙

→

запізненого векторного потенціалу A , за яким визначають комплексний вектор напруженості магнітного поля

∙	∙
→	→
H = rot A/ μa . Напруженість електричного поля розрахо-
	∙	∙
	→	→
вують за рівнянням Максвелла E		= rot H/ ( jωεa ) .
	За приклад розглянемо основні типи випромінювачів.
	Елементарним електричним випромінювачем нази-

вають відрізок провідника із гармонійним струмом i (однаковим по всій довжині у будь-який момент часу) та довжиною провідника l , значно меншою ніж довжина хвилі λ генератора: l << λ (див. рис. 3.11). Провідник є лінійним, тому що його переріз малий порівняно із довжиною.

При дослідженні	поля гармонійний струм провідника
i = Im sin (ω t +ϕ )	заміняють його комплексним зображен-
∙	∙
	→

ням I m . Комплексний векторний потенціал A збігається за напрямком зі струмом, який спрямований вздовж осі z . Припускають, що в полі об'ємні заряди відсутні ( ρ =0).

Електричним диполем зі змінним зарядом (диполем Герца) називають відрізок дроту, на кінцях якого розміщені металеві кульки (рис. 3.12), які утворюють зосереджені ємності. Високочастотний генератор періодично перезаряджає кульки, змінюючи їх заряди за гармонійним законом +Qm cosω t і −Qm cosω t . При цьому по відрізку дроту,

який з'єднує кульки, проходить струм провідності

	130
	i = dQ / dt = ±ω Qm sinω t ,				а через діелектрик, що оточує
	диполь, проходить струм зміщення. У будь-який момент
					часу струм однаковий по всій
		+Qmcosωt			довжині дроту ( l << λ ). Тому
		H		H	розрахунки поля диполя прово-
					дять аналогічно до розрахунків
			iпр	E	електромагнітного поля, ство-
			iпр		реного елементарним електри-
				iзм	чним випромінювачем.
		iзм
					Елементарний магнітний
		-Qmcosωt			вібратор являє собою штир із
					матеріалу з великою магнітною
		Рисунок	3.12	–
					проникністю μ >>1 (наприклад,
	Електромагнітне			по-	ферит), на кінцях якого знахо-
	ле	електричного		ди-
					дяться кулі (рис. 3.13). За при-
	поля
					стрій збудження, як правило,
	використовується петля зі струмом провідності. Принцип
	роботи магнітного вібратора такий: при проходженні змін-
	ного електричного струму провідності по петлі у стрижні
	створюється змінне магнітне поле, яке спрямовано вздовж
					штиря. Оскільки μ >>1, то це

H	H
?	i
	H
E

Рисунок 3.13 – Електромагнітне поле елементарного магнітного вібратора

магнітне поле підсилюється феромагнітним стрижнем. Із четвертого рівняння Максвелла випливає, що силові лінії магнітного поля замкнені. Тому силові лінії магнітного поля, створеного в стрижні, проходять через кулі і замикаються через повітряний простір (див. рис. 3.13). Вектори напруженості електричного поля

→

E будуть спрямовані навколо