Теорія поля / Посiбник

S2

Рисунок 1.10 – Схема проходження струму по колу конденсатора

		41
		Виберемо іншу поверх-
i	S1	ню S2 , обмежену таким са-
		мим контуром, але розмі-
l		щену між пластинами кон-
		денсатора, де струм провід-
		ності переривається. Тоді

		Ñò	→ →	dtd	ò	→ →
E	iзм		H dl =			D dS2 .
		l			S2

Однак результат виникнення магнітного поля не повинен залежати від вибору поверхні інтегрування, тому праві частини останніх виразів повинні бути рівні. Отже, струм провідності у

колі конденсатора замикається струмом зміщення між його пластинами:

d Ñ → →

iзм = dt òS D dS .

Густина струму зміщення

→

δ→зм = ∂∂Dt .

Струм зміщення виникає у будь-якому діелектрику при зміні електричного поля в часі. Хоча природа струму провідності і струму зміщення різна, обоє вони утворюють магнітне поле.

Приклад 1.2 (друге рівняння Максвелла)

→

У просторі, де є магнітне поле B , розглянемо одиночний дротовий контур l (рис. 1.11). Згідно із другим рівнянням Максвелла в інтегральній формі (1.10)

42

B l

S

Рисунок 1.11 – Одиночний дротовий контур у магнітному полі

		→ →			→ →
	Ñò	E dl = −	d	Ñò	B dS у просторі
			dt
	l			S

виникає електричне поле. Інтеграл у правій частині являє со-

→ →

бою потік Ф = Ñò B dS вектора

S

→

магнітної індукції B через поверхню S , обмежену контуром l . Інтеграл у лівій частині являє собою електрорушійну силу, що виникає у контурі:

→ →

e = Ñò E dl .

l

Рівняння

e = − ddtФ

виражає закон електромагнітної індукції, отриманий Фа-

радеєм.

Приклад 1.3 (третє рівняння Максвелла)

Розглянемо точковий заряд q , навколо якого існує

електричне поле. Відповідно до третього рівняння Максвелла в інтегральній формі (1.11) маємо

→→

εε0 Ñò E dS = òρdV = q .

S V

Якщо за поверхню інтегрування вибрати сферу (рис. 1.12) із центром у місці розміщення заряду, очевидно,

→ →

що через центральну симетрію вектори E і dS колінеарні, а напруженість постійна по всій поверхні інтегрування. Тоді інтеграл у лівій частині дорівнює добутку E на пло-

						43
щу поверхні сфери 4π r2 , а інтеграл у правій частині дорів-
нює заряду q .
	E		Напруженість поля точкового
			заряду визначається виразом
		r	E =	q		.
				4πεε0r	2
+
		S	Якщо в електричне поле за-
q			ряду q внести пробний заряд q* ,
			то сила, що діє на нього, буде до-
	V		рівнювати
				*		qq*
Рисунок	1.12	–		F = q	E = 4πεε0r2 .
Електричне поле то-			Даний вираз являє собою за-
чкового заряду
			пис закону Кулона про взаємодію
			між зарядами (див. п.2.2).

Приклад 1.4 (четверте рів-

няння Максвелла)

B

	Четверте рівняння Максвелла
	(1.12) показує, що потік вектора
S	магнітної індукції крізь замкнену
	поверхню S дорівнює нулю, тобто

Vвхідний потік дорівнює вихідному (рис. 1.13). Це означає, що магнітні

	Рисунок 1.13 –	силові лінії завжди замкнені і не
		мають ні початку, ні кінця. Силові
	Потік вектора маг-
		лінії електричного поля почина-
	нітної індукції
		ються або закінчуються на зарядах.

Приклад 1.5 (рівняння безперервності)

44
Якщо у однорідному середовищі, яке характеризується
питомою електропровідністю γ , будь-яким чином створи-
ти об'ємний заряд ρ , то очевидно, що за рахунок струмів
провідності цей заряд буде "розпливатися" доти, доки не
розподілиться рівномірно по всьому об'єму, тобто до зник-
нення створеного ним електричного поля. Це явище нази-
вається релаксацією, тобто поверненням до стану рівнова-
ги. Проведемо кількісний аналіз процесу релаксації об'єм-
ного заряду		ρ	за допомогою рівняння			безперервності
					→	підставимо його
(1.15), для чого замість густини струму δ
значення з (1.6), а замість					→		ρ	з (1.11)
					div E – величину
(постійні величини γ і εε0							εε	0
					можна винести за знак опера-
тора дивергенції). У результаті отримаємо диференційне
рівняння	∂ρ	+	γρ = 0 ,	розв'язком якого		є	експонентна
	∂t		εε0
функція ρ (t) = ρ (0) et /τ м				(рис. 1.14).
	ρ
ρ (0)
ρ (0)/ e
	0			τм				t
Рисунок 1.14 – Характеристика зміни об'ємного заряду
ρ від часу t

				45
	Величина τ м	=	εε0	характеризує швидкість спадання
			γ

об'ємного заряду і називається максвеловим часом релаксації. Треба мати на увазі, що за час τ м об'ємний заряд

зменшується в e = 2,7 раза. Приблизно вважається, що об'ємний заряд повністю зникає за час, що дорівнює (3-5)τ м . У металах, які мають високу провідність, цей час

дуже малий (порядку 10−17 −10−18 с). У діелектриках

залежно від їхньої якості він дорівнює 10−2 −10−6 с. Описане явище спостерігається, наприклад, при такій

простій ситуації, як розрядження конденсатора за рахунок струмів витоку, які проходять через ізолюючий діелектрик. Час розрядження визначається параметрами діелектрика:

діелектричною проникністю ε				і питомою електропровід-
ністю середовища γ .
Іншим найпростішим прикладом використання рівнян-
ня безперервності		є	аналіз	вузла	електричного	кола
	S		(рис. 1.15), у якому сходяться
in			кілька	провідників з постійними
	i1		струмами i1 , i2 , i3 , ..., in . Оточимо
	i2		даний	вузол	деякою замкненою
	i3		поверхнею S		і скористаємося рів-
			нянням	безперервності у		формі
			(1.16). Оскільки при постійних
			струмах заряд усередині поверхні
			не накопичується і не зникає, то
Рисунок 1.15		–	перший доданок дорівнює нулю.
Вузол електричного			Другий доданок дорівнює повно-
кола			му струму, який проходить крізь
			поверхню S , тому

n

åik = 0 .

k =1

46

Це співвідношення являє собою перший закон Кірхгофа, який є одним із основних у теорії електронних кіл

(див. п.2.3).

Приклад 1.6 (рівняння енергетичного балансу)

Розглянемо найпростіший приклад застосування теореми Умова-Пойнтінга.

Нехай вздовж коаксіального кабелю (рис. 1.16) проходить постійний струм I . Напруга між жилою і оболонкою

U .
Провідність	матеріалу		жили і					R2
оболонки γ . Потужність сиг-							H
налу, переданого по кабелю:
P = IU . Підрахуємо потік век-							E	R1
тора Пойнтінга через попере-
чний переріз діелектрика, який
заповнює простір між жилою і
оболонкою.		магнітного					Діелектрик	Провідне
Напруженість								середовище
поля у діелектрику можна ви-							Рисунок 1.16 – По-
значити за	законом		Ампера			перечний переріз коак-
(1.29):				I		сіального кабелю
		H =			.
				2π r
Нормальна складова вектора напруженості електрич-
ного поля En	у діелектрику для коаксіального контура ви-
значається таким співвідношенням [3]:
		En =			U		,
					æ	ö
				r ln ç		R2 ÷
					è	R1 ø
де R1 – радіус жили;		R2	– внутрішній радіус оболонки.

47

Тоді тангенціальна складова вектора Пойнтінга для точок діелектрика на відстані r від осі ( R1 £ r £ R2 ) визначається виразом

Пτ = En H =

UI

.

2π r

2

æ

R

ö

ln ç

2

÷

è

R1 ø

Потік вектора Пойнтінга через кільце діелектрика з ра-

діусами R1 і R2 дорівнює

→ →

R2

UI

R2

Ñò

= ò Пτ 2π rdr = 2π

ò (r−1 )dr = UI.

П dS

æ

ö

S

R1

2π ln ç

R2

÷

R1

è

R1 ø

Оскільки вся подана до коаксіального кабелю потужність P = IU проходить тільки через діелектрик, то можна зробити такий висновок: електромагнітна енергія від місця її генерування до місця споживання передається по діелектрику; дроти виконують роль каналів, по яких проходить струм, і організаторами структури поля у діелектрику. По жилі і оболонці енергія до приймача не передається. Дроти самі споживають із діелектрика енергію на покриття теплових втрат.

Продемонструємо даний факт. Для цього підрахуємо потік вектора Пойнтінга усередині жили на довжині l .

Тангенціальна	складова	Eτ	напруженості електричного
						I
поля на поверхні жили за законом Ома дорівнює							.
						π r2γ
				1
Тоді потік вектора Пойнтінга через бічну поверхню
жили			l
→ →				2
Ñò П dS	= ò ПndS = òEτ HdS = ò			I	dl = I 2 R.
				π r2γ
S	S	S	0	1

48

Таким чином, ця енергія дорівнює втратам I 2 R у жилі кабелю на довжині l .

Приклад 1.7 (граничні умови)

Розглянемо особливості поведінки електричного поля біля поверхні ідеального провідника. Будемо виходити із того, що якщо його електрична провідність дорівнює нескінченності, то всередині провідника електричне поле повинно бути відсутнім. Але тоді з перших двох граничних умов (1.28) випливає те, що дотична складова поля над поверхнею дорівнює нулю, а вектор напруженості електричного поля буде перпендикулярний до поверхні і дорівнюватиме поверхневій густині заряду E = En = ρпов /εε0 . Цей

висновок спрощено поширюється і на реальні метали. Магнітна складова дорівнює нулю навіть у немагніт-

них металах. Це означає, що нормальна складова вектора напруженості магнітного поля також дорівнює нулю, тому магнітне поле біля поверхні буде дотичним і перпендикулярним до ліній струму, а його напруженість дорівнюватиме поверхневій густині струму (рис. 1.17):

H = Hτ = iпов .

Розглянемо поведінку хвиль на границі поділу діелект- рик-діелектрик. За приклад заломлення вектора на границі двох діелектриків розрахуємо напрямок і величину електричного поля у слюді (ε = 7 , γ <10−11 См/м), якщо біля її границі у повітрі напруженість електричного поля дорівнює 103 В/м, а силові лінії спрямовані під кутом α1 = 45°

до поверхні (рис. 1.18).

Значення питомої електричної провідності показує, що слюда – гарний діелектрик, тому зовнішнє поле не викликає появи на її поверхні наведеного заряду ( ρпов = 0). Ви-

користовуючи позначення на рис. 1.18, запишемо граничні

		49
умови для	нормальної (ε1E1n	= ε2 E2n ) і тангенціальної
( E1τ = E2τ ) складових електричного поля по обидва боки
від границі поділу. Оскільки		E1n = E1 cosα1 » 707 В/м, то
E2n = E1n / ε2	»101 В/м, а E2τ = E1τ = E1 sinα1 » 707 В/м.

H	iпов

Рисунок 1.17 – Розподіл магнітного потоку і струмів на поверхні металу

Повітря			α1	E1
(ε1 =1)
E2	α		Слюда
		2
			(ε 2=7)
Рисунок 1.18 – Залом-
			→
лення вектора E на гра-
ниці поділу слюда-повітря

Отже,

E =		E2	+ E2 » 714 В/м,
2		2n		2τ
			æ	ö
α2	= arctg ç			E2τ		÷	» 82 °.
			è	E2n ø

Запитання для самоперевірки

1 На які основні діапазони можна умовно поділити спектр електромагнітних коливань? Дайте їхню коротку характеристику.

50

2 Які основні вектори характеризують електромагнітні поля? Запишіть зв'язок між ними через матеріальні параметри середовища.

3 Який фізичний зміст мають вектори поляризованості і намагніченості?

4 Для чого вводяться поняття скалярного електричного і векторного магнітних потенціалів?

5 Які електродинамічні параметри характеризують матеріальні середовища? Перелічіть основні типи середовищ.

6 Які лінії називаються силовими і еквіпотенціальними? Продемонструйте їх розподіл на конкретних прикладах елементарних джерел електричних і магнітних полів.

7 З яких законів електромагнетизму випливають рівняння Максвелла в інтегральній формі? Запишіть їх і поясніть фізичний зміст.

8 Яким чином здійснюється перехід від інтегральної форми запису рівнянь Максвелла до диференційної?

9 Яким чином здійснюється перехід від диференційної до комплексної форми запису рівнянь Максвелла? Для якого типу електромагнітних процесів ці рівняння справедливі?

10 Які властивості електромагнітного поля характеризує закон безперервності?

11 Яким чином з рівнянь Максвелла можна одержати рівняння Лапласа і Пуассона?

12 Яким рівнянням характеризується закон збереження енергії електромагнітного поля для замкненої системи?

13 Чому в рівнянні балансу енергії для гармонійних коливань відсутні члени, які містять похідні за часом?

14 Які співвідношення зв'язують вектори електромагнітного поля на границі поділу двох середовищ?

15 Які основні теореми і принципи використовуються при розв'язанні задач теорії електромагнетизму?