Теорія поля / Посiбник

151

Виходячи із цього, лінії передачі можна також розділити на багатозв'язні (кількість контурів pc ³2, наприклад, дводротова, коаксіальна і смугова лінії передачі) і однозв'язні ( pc =1, наприклад, порожні металеві і діелектричні

хвилеводи).

Розглянемо низку ліній передач, які найбільш часто використовуються на практиці.

4.2 Багатозв'язні лінії передачі

Характерною рисою розглянутих нижче дводротової, коаксіальної і смугової ліній передачі є те, що основним типом хвилі в них є T -хвиля, яка характеризується відсутністю дисперсії і, як наслідок, – рівністю фазової швидкості і швидкості світла для даного діелектричного середовища.

Характер розподілу полів у поперечній площині для біжучих T -хвиль збігається із розподілом статичних полів і підпорядковується рівнянню Лапласа.

	d	Дводротова лінія передачі
	εa, μa	являє собою два дроти, які
		розміщені у повітряному (на
	E	ізоляторах) або у діелектрич-
		ному середовищі із параметра-
H	H	ми εa і μa (рис. 4.4). Енергія
	E	електромагнітного поля пере-
		дається по діелектрику вздовж
	Рисунок 4.4 – Дво-	дротів при	λ >> d .	Частина
		енергії, яка надходить із ді-
дротова лінія		електрика в	дроти,	перетво-

риться у тепло. Швидкість передачі енергії дорівнює швидкості руху електромагнітної

хвилі в діелектрику v =1/ εa μa . При високих частотах (дециметрові хвилі) така лінія не може використовуватися

152

для передачі енергії, тому що вона вже активно випромінює енергію в навколишній простір. При цьому втрати енергії в дротах за рахунок явища скін-ефекту (див. п. 3.6, приклад 3.3) стають значними.

Коаксіальний хвилевід – найпоширеніша лінія передачі. Використовуються як жорсткі хвилеводи з повітрям, так і гнучкі з діелектричним заповненням (коаксіальні кабелі).

Отримати аналітичні вирази для полів біжучої T -хвилі можна, розглядаючи у виразах для статичних E - і H - полів струм і напругу як миттєві значення, що дорівнюють відповідним значенням амплітуд, помножених на хвильовий множник:

		æ			ö
		ç		Um	÷
	E =	ç				÷
		ç		æ D ö ÷cos(ω t - k z) ,
		ç r ln ç			÷ ÷
		è		è d ø ø
		æ		Im	ö
	H = ç				÷cos(ω t - k z) .
		è		2π r ø

→→

Напрямок векторів E , H і характер їх зміни у просторі для фіксованого моменту часу показані на рис. 4.5. Із часом уся картина розподілу полів зміщується вздовж осі z зі швидкістю світла.

E

d D

z

λ

H

Рисунок 4.5 - Розподіл полів у коаксіальному хвилеводі

153

Важливим параметром коаксіальних ліній є так званий хвильовий опір, який у цьому випадку визначається як відношення амплітуд напруги і струму для падаючої хвилі. Враховуючи, що для T -хвиль відношення амплітуд E і H дорівнює хвильовому опору середовища, отримуємо

Z	хв [Ом] = 60	μ	æ	D ö
		ε	ln ç	÷ .
			è	d ø

Коаксіальний хвилевід можна використовувати для будь-яких частот, включаючи постійний струм. Однак на високих частотах у ньому можуть збуджуватися вищі типи хвиль і значно зростати теплові втрати. Тому верхня частота використання обмежена найближчим вищим типом хвилі H11 , який має критичну довжину хвилі, що приблизно

дорівнює довжині середнього кола поперечного перерізу коаксіальної лінії. Тому в діапазоні НВЧ коаксіальні хвилеводи в основному використовуються у вигляді коротких відрізків сполучних кабелів.

Смугові лінії передачі. У радіоелектронній апаратурі широке застосування знаходять друковані схеми, використання яких дозволяє спростити конструкції елементів і вузлів, знизити їхню масу, зменшити габарити, удосконалити процес виготовлення. Технологічні методи створення звичайних друкованих схем виявилися прийнятними і у діапазоні НВЧ для виготовлення смугових ліній (СЛ) передачі.

Смугову лінію (хвилевід) можна одержати, деформуючи коаксіальний хвилевід (рис. 4.5) із круглим поперечним перерізом так, щоб перетин його внутрішнього і зовнішнього провідників став прямокутним. Вилучивши вузькі стінки зовнішнього провідника, одержимо симетричну смугову лінію (ССЛ) (рис. 4.6 а), а при усуненні однієї із зовнішніх пластин – несиметричну смугову лінію (НСЛ) (див. рис. 4.6 б).

154

Симетрична СЛ утворюється внутрішнім провідником прямокутного поперечного перерізу (смужкою), симетрично розміщеним між двома заземленими пластинами, які є зовнішніми провідниками лінії (екраном). Лінія може мати діелектричне або повітряне заповнення, бути відкритою або екранованою з боків.

E	H
а	б

Рисунок 4.6 – Розподіл полів у поперечному перерізі симетричної (а) і несиметричної (б) смугових ліній

Несиметрична СЛ являє собою провідник прямокутного (стрічкового) перетину, розміщений над заземленою пластиною, що є другим провідником лінії. При аналізі НСЛ розрізняють два випадки: 1) провідники містяться в однорідному діелектрику (на практиці заповнення звичайне повітряне); 2) провідники розділені шаром діелектрика

– основою (підкладкою) із діелектричною проникністю більшою ніж у навколишнього простору. Лінію в цьому випадку називають мікросмуговою лінією передачі (МСЛ).

Симетрична і несиметрична СЛ являють собою два основні типи СЛ. У рамках цих двох типів конструкції СЛ відрізняються більшою різноманітністю залежно від способу закріплення смужки, характеру заповнення простору між пластинами і смужкою. Відзначимо, що недоліком НПЛ вважається неповне екранування поля і підвищені втрати на випромінювання. Симетричні СЛ мають гарне екранування, однак їх виготовлення і налагодження більш складне.

155

Основне застосування СЛ знайшли в пристроях НВЧапаратури, які довгий час стримували вирішення проблеми комплексної мініатюризації. Використання матеріалів з малими втратами і високою відносною діелектричною проникністю, прогрес технології привели до освоєння МСЛ, виготовлених методом плівкової технології. Прагнення поліпшити характеристики пристроїв НВЧ стимулювала поява інших модифікацій ПЛ. До них належать, наприклад, щілинні і компланарні лінії передачі. Щілинна лінія (рис. 4.2 б) утворюється вузькою щілиною в провідному шарі, нанесеному на поверхню основи у вигляді тонкої діелектричної пластини. Інша поверхня пластини залишається вільною від покриття. Компланарна лінія складається із розміщених на поверхні діелектричної основи центральної смужки і двох паралельних їй заземлених провідників.

Для компланарної, симетричної і несиметричної ліній основною є квазі T -хвиля. Її існування обумовлене наявністю ізольованої смужки, яка забезпечує двозв'язність поперечного перерізу лінії. Можна вважати, що вектори поля лежать у площині поперечного перерізу СЛ і не мають поздовжніх складових (див. рис. 4.6).

Діапазон частот СЛ досить широкий: від метрового до міліметрового. Обмеження з боку низьких частот обумовлені розмірами смугових елементів, а на високих частотах

– допусками на виготовлення, а також рівнем втрат. Більш докладну інформацію щодо смугових ліній передачі можна знайти в [23].

4.3 Однозв'язні лінії передачі

Характерною рисою однозв'язних ліній передачі є наявність тільки E - і H -хвиль, для яких характерна дисперсія.

156
За приклад однозв'язної лінії розглянемо прямокутний
хвилевод. Прямокутні хвилеводи (рис. 4.7) широко вико-
ристовуються при передачі електромагнітних хвиль, особ-
ливо при високих рівнях потужності. Для спрощення бу-
демо вважати, що втрати на стінках хвилеводу і в діелек-
y		трику, що його заповнює, відсутні.
		Це дає можливість простіше сфор-
		мулювати граничні умови: на стін-
		ках хвилеводу			відсутня			дотична
b		складова	електричного					поля
a	x	( Ey = Ez =0	при		x =0		і	x = a ,
		Ex = Ez =0 при		y =0 і		y =b ). Щоб
z
Рисунок 4.7 –		не визначати		сталі		інтегрування
Прямокутний		для кожної складової поля, скори-
хвилевод		стаємося таким прийомом: запи-
		шемо вираз для поздовжньої скла-
дової поля у формі (3.48), а поперечні знайдемо із (3.49),
при цьому можна обійтися без формулювання граничних
умов для магнітного поля. Крім того, припущення про не-
скінченну довжину хвилеводу дозволяє розглядати лише
падаючу хвилю. Деякі особливості			E -	і	H -хвиль вимага-
ють їхнього роздільного аналізу.
	∙
H -хвилі ( Ez =0). Запишемо вираз для амплітуди (хви-
льовий множник опускаємо) поздовжньої складової маг-
	∙	∙
нітного поля:	H z =	j H 0 cos(kx x +ϕx )× cos(ky y +ϕy ), під-
ставляючи його в (3.49), отримуємо вираз для поперечних
складових:	∙
∙	H 0 kyωμμ0 cos(kx x +ϕx )sin (ky y +ϕy )							,
Ex = −		(k2 − K 2 )

	∙	0 kxωμμ0 sin (kx x +ϕx )cos(ky y +ϕy )
∙	H
E y =							,
			(k2 - K 2 )
			∙	+ϕx )cos(ky y +ϕy )
∙			H 0 kx K sin (kx x
H y = -					,
			(k2	- K 2 )
			∙	+ϕx )sin (ky y +ϕy )
∙			H 0 ky K cos(kx x
H x = -					.
			(k2	- K 2 )

∙

157

(4.1)

Вважаючи відповідно до граничних умов E y =0 при

x =0 і	x = a ,	одержуємо	ϕx =0	і	kx	= mπ / a ,	де
m =0, 1, 2, 3, …		На широких	стінках				∙
					хвилеводу Ex =0
( y =0,	y =b )	отримуємо	ϕy =0	і	ky	= nπ / b ,	де

n =0, 1, 2, 3, … Визначення сталих інтегрування і сталих розподілу дозволяє одержати вираз для H -хвиль у явному вигляді:

∙

∙

H ky K

æ mπ

ö

æ nπ

ö

Ex

= - H 0 ZЭ

cos

ç

x

÷sin ç

y ÷

,

2

2

kx

+ ky

è a

ø

è b

ø

∙

∙

k

x

K

æ mπ

ö

æ nπ

ö

E y = H 0 ZЭH

sin ç

x ÷cosç

y ÷ ,

2

2

kx

+ ky

è a

ø

è b

ø

∙

∙

ky K

æ mπ

ö

æ nπ

ö

H y = - H 0

cosç

x÷sin

ç

y ÷

,

(4.2)

2

2

kx + ky

è a

ø

è b

ø

∙

∙

kx K

æ mπ

ö

æ nπ

ö

H x = - H 0

sin ç

x ÷cos

ç

y ÷

,

2

2

kx + ky

è a

ø

è b

ø

∙

∙

æ mπ

ö

æ nπ

y

ö

H z

= j H 0 cos

ç

a

x ÷cosç

÷ .

è

ø

è b

ø

158

∙

Стала H 0 може бути визначена із початкових умов або, наприклад, при відомій потужності, яка передана по хвилеводу.

Дуже важливий результат отриманого розв'язку полягає в тому, що у хвилеводі можлива безліч різних типів (мод) хвиль, кожний із яких характеризується певною парою значень чисел m , n і позначається Hmn . З виразів для

компонентів полів легко усвідомити фізичний зміст цих чисел: вони показують кількість півхвиль, які укладаються вздовж широкої і вузької стінок хвилеводу відповідно.

Числа m і n можуть незалежно набувати будь-яких цілих позитивних значень. Винятком є випадок одночасної рівності m =0 і n =0, коли всі поперечні складові набувають нульових значень. Найпростішу конфігурацію полів мають типи хвиль із найменшими індексами. На рис. 4.8 зображений розподіл поздовжньої складової магнітного поля у поперечному перерізі для деяких типів хвиль. Штриховими лініями для хвилі H32 виділені «осередки», у яких розпо-

діл поля має такий самий вигляд, як і для хвилі H11 .

H10

H01

H11

H32

Рисунок 4.8 – Приклади розподілу полів для різних типів H -хвиль

Другий важливий результат полягає у тому, що визначення сталих kx і ky дозволяє з рівності kx2 + ky2 = k2 − K 2 в

явному вигляді знайти критичну довжину хвилі, яка залежить від типу хвилі і розмірів хвилеводу:

λкрmn =

∙

						159
		2			,	(4.3).
	æ m ö2		æ n ö2
	ç	÷	+ ç ÷
	è	a ø	è b ø

E -хвилі ( H z =0). У цьому випадку зручно вибрати вираз для поздовжньої складової електричного поля у формі

∙	∙	∙
Ez = j E0 sin (kx x +ϕx )sin (ky y +ϕy ). Такий вибір		Ez зруч-

ний тим, що використання граничних умов приводить до тих самих значень сталих інтегрування (ϕx =ϕy =0) і сталих

розподілу ( kx = mπ / a , ky = nπ / b ). Остаточні вирази для

складових поля після підставлення сталих набувають вигляду:

∙

∙

kx K

æ mπ

ö

æ nπ

ö

Ex = E0

cosç

x ÷sin ç

y ÷

,

2

2

kx

+ ky

è a

ø

è b

ø

∙

∙

ky K

æ mπ

ö

æ nπ

ö

E y = E0

sin ç

x ÷cosç

y ÷

,

2

2

kx

+ ky

è a

ø

è b

ø

∙

kx K

æ mπ

æ nπ

∙

E0

ö

ö

H y =

cos

ç

x ÷sin ç

y ÷ ,

(4.4)

E

2

2

ZЭ

kx

+ ky

è a

ø

è b

ø

∙

ky K

æ mπ

æ nπ

∙

E0

ö

ö

H x = -

sin ç

x

÷cosç

y ÷

,

E

2

2

ZЭ

kx + ky

è a

ø

è b

ø

∙

=

∙

æ mπ

x

ö

æ nπ

ö

Ez

j E0 sin ç

a

÷sin

ç

b

y ÷ .

è

ø

è

ø

Тут, як і для H -хвиль, можливо безліч мод, які позначаються Emn . Істотна відмінність полягає лише у тому, що

для E -хвиль неможливі нульові значення жодного з індек-

∙

сів m і n , тому що при цьому Ez =0, а отже, дорівнюють нулю й усі інші складові поля.

160

На рис. 4.9 схематично зображено розподіл поздовжньої складової електричного поля вздовж широкої і вузької стінок хвилеводу. Найпростішим буде розподіл для хвилі E11 . Усі інші типи хвиль якісно повторюють розподіл E11

m і n раз. Вирази для розрахунків критичної довжини хвилі Emn такі ж, як і для хвиль Hmn .

E11

E21

E12

E32

Рисунок 4.9 – Приклади розподілу полів для різних типів E -хвиль

На прикладі прямокутного хвилеводу, використовуючи отримані результати, можна проаналізувати деякі загальні закономірності поширення хвиль у хвилеводах і правила вибору його геометричних розмірів. Із ряду причин, зазначених у розділі 3 (див. приклад 3.4), хвилевід використовують, як правило, в так званому одномодовому режимі, тобто на тих частотах, на яких у хвилеводі може поширюватися лише один тип хвилі. Для знаходження цього діапазону розглянемо діаграму (рис. 4.10), на якій уздовж осі

частот нанесені значення fкрmn = c / λкрmn , які можуть бути розраховані за значеннями λкрmn для різних індексів m і n . Найменше значення fкр буде мати хвиля H10 . Усі інші типи хвиль мають більші значення fкр , їх взаємне розміщен-

ня буде залежати від співвідношення розмірів хвилеводу a і b (див. рис. 4.7). Якщо a >2b , то найближчим до fкр10 бу-

де fкр20 , а якщо ні, то – fкр01 .