Теорія поля / Посiбник

51

РОЗДІЛ 2 ЧАСТКОВІ ВИДИ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ

2.1 Загальні властивості і рівняння квазістатичних, квазістаціонарних і стаціонарних полів

Рівняння Максвелла описують змінне електромагнітне

→

поле як єдиний процес взаємозв'язку електричного ∂ D / ∂ t

→

і магнітного ∂ B / ∂ t полів. Залежно від швидкості зміни

→→

∂D / ∂ t і ∂ B / ∂ t розрізняють квазістатичне, квазістаці-

онарне й швидкозмінне поле. У граничних випадках, коли

→→

∂D / ∂ t і ∂ B / ∂ t дорівнюють нулю, рівняння Максвелла

спрощуються і описують окремі види стаціонарних елек-

тромагнітних полів: електростатичне поле, електричне поле постійного струму та магнітне поле постійного струму. Ці поля мають свої особливості і закономірності, коротко зупинимося на найбільш загальних із них.

1 Квазістатичним полем	називається змінне елек-
→	∂ t =0. Таке поле вважається
тромагнітне поле, у якому ∂ B /
→	= 0 та для нього відсутній
потенціальним, тому що rot E

взаємний вплив електричного і магнітного полів.

2 Квазістаціонарне поле – це повільно змінне у часі вихрове поле, для якого можна вважати, що густина стру-

→	→
му зміщення (δ	зм = ∂ D / ∂ t ≈ 0 ) мала порівняно із густи-

→

ною струму провідності δ пр . Ефект запізнювання (ефект випромінювання) відсутній. Для металевих провідників

нехтування струмами зміщення (	ωεa	<<1) припустимо в
	γ
широкому діапазоні частот аж до	f = 1017 Гц. Ефект запіз-

52

нювання, обумовлений кінцевою швидкістю хвилі, неістотний, якщо лінійні розміри електромагнітних установок набагато менші за довжину хвиль, які поширюються в досліджуваній області. При низьких частотах, наприклад при промисловій частоті f = 50 Гц, довжина хвилі в повітрі

λ = 6000 км, тому ефектом запізнювання можна знехтувати у межах великих областей поля. Більшість електромагнітних полів, які досліджуються в електродинаміці та радіотехніці, можуть розглядатися як квазістаціонарні.

Ураховуючи визначення квазістатичного та квазістаціонарного полів, їхні диференційні рівняння запишуться у такий спосіб:

Квазістатичне поле

→	→	+
rot H = γ E

→

rot E = 0 ,

→

div D = ρ ,

→

div B = 0 .

→

∂ D , ∂t

(2.1)

Квазістаціонарне поле

	→		→
	rot H = γ		E ,
	→		→
		= − ∂ B		,	(2.2)
	rot E
	→		∂t
	div D = ρ ,
	→	= 0 .
	div B

3 Стаціонарні поля. Умовою стаціонарності електромагнітних полів є відсутність їх зміни в часі, тобто вектори

→ → → →

E , H , D і B є функціями тільки координат. Це означає, що змінні у часі компоненти полів, які входять в рівняння Максвелла (1.9) – (1.12) і рівняння безперервності, відсутні. Доповнивши дану систему рівняннями Лапласа і Пуассона (1.17), (1.18), отримаємо спільну систему рівнянь, яка описує стаціонарні поля:

53

Ñò	→ →	→ →	rot H = δ ,		Ñ ϕ = -			ρ	,
	H dl = Ñò	δ dS ,
			→	→	2
l	S						εa
Ñò	→ →		→		→				→
	E dl = 0 ,
			rot E	= 0 ,	Ñ2 A = -μa δ ,
l
	→ →		→		→	→
Ñò D dS = ò ρ dV = åq ,
			div D = ρ ,		D = εa E ,				(2.3)
S	V
Ñò	→ →		→		→	→
	B dS = 0 ,
			div B	= 0 ,	B = μa H ,
S
Ñò	→ →		→		→	→
	δ dS = 0 ,
			divδ = 0 ,		δ = γ	E .

S

Із аналізу компонентів полів, що входять у систему (2.3), випливає, що її умовно можна розбити на дві групи

→ →

рівнянь, що характеризують електричні (вектори E , D ) і

→→

магнітні (вектори H , B ) поля:

	Електричні поля			Магнітні поля
Ñò	→ →	→	Ñò	→ →	Ñò	→ →	→	→
	E dl	= 0 , rot E = 0 ,		H dl =		δ dS , rot H = δ ,
l			l		S
Ñò	→ →	→	Ñò	→ →			→
	D dS = q , div D = ρ ,			B dS =	0 , div B = 0 ,
S			S
Ñò	→ →	→	→	→
	δ dS	= 0 , divδ = 0 ,	(2.4) B = rot A ,					(2.5)

S

Ñ2ϕ = - ρ ,

εa

→ → → →

D = εa E , δ = γ E .

→→

Ñ2 A = -μa δ ,

→ →

B = μa H .

Із системи рівнянь (2.4) і (2.5) видно, що між ними існує тільки непрямий зв'язок через вектор густини струму

54

→	→	→
δ	= γ E . Якщо δ = 0 , що справедливо для полів постійних

магнітів і областей існування магнітних полів, не зайнятих струмами, то рівняння (2.4) і (2.5) стають цілком незалежними і характеризують електростатичні та магнітостатичні поля. Такі поля називаються потенціальними.

Для потенціальних (безвихрових) полів лінійний інтеграл за будь-яким замкненим контуром від вектора напру-

→ →

женості електричного поля Ñò E dl , а також від вектора на-

l

→ →

пруженості магнітного поля Ñò H dl в області, не зайнятій

l

струмом, дорівнює нулю. Тому потенціальні поля характеризують скалярними функціями: електричним потенціа-

лом ϕ електричного поля та магнітним потенціалом ϕм –

магнітного поля постійного струму.

У розділі 1 наводилось визначення скалярного потенціалу. Зупинимося більш детально на поясненні його фізичної сутності при застосуванні для розв'язання широкого класу задач електромагнетизму. Розглянемо питання про роботу, яку здійснюють сили поля при переміщенні заряду, і про пов'язані з роботою поняття потенціалу і різниці потенціалів.

Помістимо в електричне поле деякий заряд q . На заряд

→

буде діяти сила q E . Нехай заряд q із точки 1 перемістив-

ся в точку 2 по шляху 1-3-2 (рис. 2.1). Робота, витрачена на перенесення заряду із точки 1 у точку 2 по шляху 1-3-2,

→ →

визначиться як сума елементарних робіт q E dl . Ця сума

2 → →

може бути записана у вигляді лінійного інтеграла qòE dl .

1

E
	dl
3	2

1

q

Рисунок 2.1 – Схема переміщення заряду q

55

Заряд q може бути будь-яким.

Візьмемо його таким, що дорівнює одиниці (одиничний заряд). Під рі-

зницею потенціалів ϕ1 −ϕ2 розумі-

ють роботу, затрачену силами поля при перенесенні одиничного заряду із початкової точки 1 у кінцеву точку 2:

2	→ →
ϕ1 −ϕ2 = òE dl .		(2.6)
1

Формула (2.6) дозволяє визначити різницю потенціалів точок 1 і 2 як лінійний інтеграл від напруже-

ності поля.

Якщо потенціал кінцевої точки шляху 2 дорівнював би нулю (ϕ2 = 0 ), то потенціал точки 1 визначився б так:

2 → →

ϕ1 = òE dl ,

1

тобто потенціал довільної точки поля може бути визначе-

ний як робота, що виконується силами поля із перенесення одиничного позитивного заряду із даної точки поля в точку поля, потенціал якої дорівнює нулю.

За точку, яка має нульовий потенціал, може бути взята будь-яка точка поля. Якщо така точка обрана, то потенціали всіх точок поля визначаються однозначно.

У курсах фізики потенціалом називають роботу, спричинену силами поля при перенесенні одиничного заряду із

∞ → →

даної точки поля в нескінченність: ϕ1 = òE dl . В електро-

1

техніці вважають, що точка із нульовим потенціалом перебуває на поверхні землі (земля в умовах електростатики є

56

провідним тілом, тому немає різниці, де саме – на поверхні землі або в її товщі - знаходиться ця точка).

Таким чином, потенціал будь-якої точки залежить від того, якій точці поля заданий нульовий потенціал, тобто потенціал визначається із точністю до постійної величини. Однак істотного значення це не має, тому що практично важливий не потенціал якої-небудь точки поля, а різниця потенціалів і похідна від потенціалу по координатах.

При складанні різниці потенціалів довільну постійну, з точністю до якої визначають потенціал, віднімають – тобто в різницю потенціалів вона не входить. На значенні похідної від потенціалу по координатах довільна постійна також не позначиться, оскільки похідна від постійної величини дорівнює нулю.

Картини поля є графічним зображенням сукупності ліній вектора поля та ліній рівного потенціалу. Плоскопа-

ралельне поле має однакову картину поля у всіх площинах, які перпендикулярні до однієї з осей прямокутної системи координат (наприклад, поле конденсатора). При плоскомеридіанному полі картина поля однакова у всіх площинах поля, які проходять крізь вісь симетрії (наприклад, поле циліндричного конденсатора).

2.2 Електростатичне поле

Електростатичне поле створюється нерухомими у просторі і незмінними в часі зарядами.

Виходячи з цього формулювання випливають такі умови існування електростатичного поля: швидкість заряду

→

vq = 0 ; струм провідності відсутній (δ = 0 ); питома провідність середовища γ = 0 , тобто електростатичне поле формується у середовищі вакуум – діелектрик; поле – по-

→

тенціальне, тому що rot E = 0 .

57

У зарядженому тілі (якщо загальний заряд його незмінний з часом) елементарні заряди рухаються хаотично. Тому навіть у безпосередній близості від поверхні цього тіла магнітне поле, створене елементарними зарядами, практично відсутнє. Це і дає можливість розглядати в електричному полі лише одну «сторону» електромагнітного поля, а саме електричну складову, яка описується вектора-

→→

ми E , D , потенціалом ϕ і параметром середовища εa . Як

відзначалося в п. 1.1, тут і надалі будемо розглядати поля в однорідних та ізотропних середовищах.

Основні рівняння, які описують електростатичні поля, випливають із загальної системи (2.4) із урахуванням того,

→

що δ = 0 і γ =0:

Ñò	→ →					→
	E dl	= 0 ,				rot E = 0 ,
l
Ñò	→ →					→
	D dS	= q ,				div D = ρ ,		(2.7)
S	→ →				→
ϕ = -òE dl+ const ,					E	= -gradϕ ,
l			ρ
	2				2
	Ñ ϕ = -			,	Ñ ϕ = 0 при ρ =0.
			εa

Граничні умови електростатики випливають із загальних граничних умов (1.28) для електричних компонентів поля:

58

Границя

Границя

діелектрик – діелектрик

діелектрик – провідник

(див. п. 1.6, приклад 1.7)

D1n - D2n = σ ,

Dn

= -σ , En = -

σ

,

ε

E

-ε

E

= σ ,

εa

a1

1n

a2 2n

¶ϕ

σ

¶ϕ1

¶ϕ2

= -

εa1

-εa2 ¶n

= σ ,

(2.8)

¶n

εa .

(2.9)

¶n

D1n = D2n при σ =0.

E

= E

,

¶ϕ1

=

¶ϕ2

,

(2.10)

E = 0 ,

¶ϕ = 0 .

(2.11)

¶τ

1τ

2τ

¶τ

τ

¶τ

(ϕ1 = ϕ2 ).

Граничні умови для потенціалів випливають із порів-

				→	→		→
няння	виразів:			E	= τ	Eτ + n En
= -τ æ	¶ϕ ö - n	æ ¶ϕ ö		, звідки E = - ¶ϕ
→	→
ç	÷	ç	÷			τ	¶τ
è	¶τ ø	è	¶n ø

→

→	= -gradϕ =
та E
і E = - ¶ϕ		→
		. Тут τ і
n	¶n

n – одиничні вектори тангенціальних і нормальних складових.

Основні властивості, теореми і закони електростатики

1 Електростатичне поле – безвихрове, потенціальне

→

поле ( rot E = 0 ).

2 За наявності електричного поля у провідному тілі відбувається розподіл зарядів. У результаті цього усередині провідника створюється внутрішнє електричне поле, яке компенсує зовнішнє поле. Тоді усередині ідеального про-

відника напруженість електричного поля і вектор елек- тричного зміщення дорівнюють нулю: E = 0 , D = 0 .

59

3 Теорема Гауса: потік вектора електричного зміщення крізь замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі вільних зарядів, які перебувають усередині замкненої по-

	→ →
	верхні ( Ñò D dS = åq ).
	S	tgα		ε
	→				1
	4 Закон заломлення вектора E :	1	=			. Із гранич-
				ε2
		tgα2

них умов електростатики (границя діелектрик - діелектрик) випливає, що безперервна тангенціальна складова вектора

→

E , тобто E1τ = E2τ (але E1n ¹ E2n ) і D1n = D2n при σ = 0 (але D1τ ¹ D2τ ). Звідси видно, що повні значення вектора

→→

E і вектора D у загальному випадку змінюються стрибком на границі поділу. Зв'язок між кутом падіння α2 і ку-

том заломлення α1 (рис. 1.5) знаходиться із аналізу трикутників розкладання векторів на складові (рис. 1.6 п. 1.5):

tgα =	D1τ	= εa1E1τ , tgα	2	=	D2τ	= εa2 E2τ	або tgα1	=	ε1	.
1	D1n	D1n			D2n	D2n	tgα2		ε2

5 Закон Кулона призначений для визначення електростатичного поля і описує його механічний прояв при впливі на заряди. Сформулювати його можна таким чином: два точкові заряди q1 і q2 у вакуумі взаємодіють один із од-

→

ним з силою F , прямо пропорційною добутку зарядів q1 , q2 і обернено пропорційною квадрату відстані r між ни-

ми:	q1q2 r		0 ,
F =
→		→
	4πε0 r2

→

де r 0 – одиничний вектор, спрямований вздовж лінії, яка з'єднує заряди.

60

Ця сила спрямована вздовж лінії, яка з'єднує точкові заряди (рис. 2.2). Якщо заряди мають однакові знаки, то вони намагаються відштовхнутися один від одного, заряди протилежних знаків намагаються зблизитися.

Про значення закону Кулона в

		F фізиці.		Шарль Кулон народився у
	r		1736 році, за освітою – військовий
		q2	інженер. Сформулював у 1785 році
			закон, названий на його честь, і екс-
	r0		периментально		підтвердив цей за-
			кон у 1789 році. Закон Кулона віді-
	q1
			грав вирішальну роль у розвитку не
	Рисунок 2.2 –		тільки	теорії	електромагнетизму,
			але й у ядерній фізиці. Так, напри-
	Взаємодія зарядів
			клад, він став основою при побудові
	q1 і q2
			загальної теорії		електромагнітного

поля Максвеллом. У 1911 році Резерфорд, використовуючи закон Кулона, побудував планетарну модель атома, на підставі якої теоретично пояснив фізику розсіювання α -часток на ядрі (формула Резерфорда). Експериментальні перевірки точності закону «зворотних квадратів» (закону Кулона) до теперішнього часу досягли

рекордних значень ( :10−16 ), що дозволило фізикам зробити висновок про рівність нулю маси спокою фотона. Більш докладна історія відкриття закону Кулона і його роль у розвитку класичної та квантової електродинаміки описані

в[13].

2.3Електричне поле постійного струму

Електричне поле постійного струму утворюється усередині та ззовні провідників при проходженні по них постійного струму, створеного зовнішніми джерелами е.р.с.