Теорія поля / Посiбник

61

Виходячи із визначення, умови існування електричного поля постійного струму полягають у такому: густина

→

струму δ ¹ 0 ; об'ємний заряд ρ = 0 ( q = 0 ); на поверхні провідника поверхнева густина заряду постійна (σ = const ), питома провідність середовища γ >>ε . Отже, електричне поле постійного струму характеризується век-

→ →

торами E , δ , потенціалом ϕ і параметром середовища γ .

Виходячи із цього, основні рівняння електричного поля постійного струму мають такий вигляд:

	Ñò	→ →							→
		E dl	= 0 ,						rot E = 0 ,
	l
	Ñò	→ →							→
		δ dS	= 0 ,						divδ = 0 ,
	S
		→ →						→
	ϕ = -òE dl+ const ,							E = -gradϕ , (2.12)
	l
		→ →							→	→
	I = Ñò δ dS ,								δ = γ	E .
		S
	Граничні умови електричного поля постійного струму
		→
для вектора E випливають із системи (1.28), а для вектора
→			→ →
δ	– із рівняння Ñò δ dS = 0 за методикою, викладеною у
п. 1.5:			S
			δ1n = δ2n ; γ1E1n = γ 2 E2n
		E1τ = E2τ ; ( E1n ¹ E2n ) при Eстор =0								(2.13)
				¶ϕ1	=	¶ϕ2 ; ϕ = ϕ		2	.
				¶τ		¶τ	1

62

Основні закони електричного поля постійного струму

			→
1 Закон заломлення ліній вектора δ				виводиться ана-
	→
логічно до закону для вектора E (див. п. 2.2) і має вигляд
tgβ1	=	γ1	,
		γ 2
tgβ2

де β1 і β2 – кути падіння і заломлення в провідному середовищі відповідно.

→ →

2 Закон Ома в диференційній формі: δ = γ E – густи-

→

на струму провідності δ пропорційна напруженості еле-

→

ктричного поля E . В інтегральній формі закон Ома має вигляд U = IR .

3 Узагальнений закон Ома в диференційній формі для областей, зайнятих джерелами е.р.с.:

δ= γ æ → + → ö ,

çE Eстор ÷

è ø→

→

де Eстор – поле у джерелі е.р.с. 4 Перший закон Кірхгофа:

→ →

– в інтегральній формі: Ñò δ dS = 0 – потік вектора гус-

S

тини струму провідності крізь замкнену поверхню дорівнює нулю;

→

– у диференційній формі: divδ = 0 – дивергенція вектора густини струму провідності дорівнює нулю (лінії

→

δ замкнені).

63

5 Другий закон Кірхгофа:

→ →

– в інтегральній формі: Ñò E dl = 0 – циркуляція вектора

l

→

E поза джерелами е.р.с. дорівнює нулю;

→

– у диференційній формі: rot E = 0 – поле потенціальне поза джерелами е.р.с.

E S

+		i	γ	−

l

Рисунок 2.3 – Елемент провідника зі струмом

6 Закон Джоуля-Ленца в диференційній формі: p = γ E2 –

потужність теплових втрат p ,

що розсіюється за одиницю часу в одиниці об'єму провідного середовища при проходженні струму провідності (рис. 2.3), пропорційна питомій провідності γ сере-

довища і квадрату напруженості прикладеного електричного поля E . Даний закон є наслід-

ком його інтегральної форми P = I 2 R при розгляді елементарного відрізка провідника зі струмом довжиною l і перерізом S . Нижче наведена схема виведення закону Джоуля-Ленца в диференційній формі:

P

I 2 R

I = δ

S,

p =

=

=

V =

l S,

=

(2.14)

V

V

R =

1

l

γ

S

=

δ 2 S2

×

1 l

=

δ 2 = γ 2 E2

= γ E2.

γ

S

l S

γ

γ

64

2.4 Магнітне поле постійного струму

Магнітне поле постійного струму створюється в провіднику і навколишньому просторі при проходженні постійного струму по провіднику.

Основною умовою існування стаціонарного магнітного поля є наявність незмінного з часом струму провідності

→		→ →
(δ ¹ 0 ). Магнітне поле – вихрове ( rot H = δ ) і характери-
→	→	→ →
зується векторами B ,	H ,	A , δ , а в областях, не зайнятих

струмами, – скалярним магнітним потенціалом ϕм .

Основні властивості магнітного поля постійного струму на підставі системи рівнянь (2.5) можуть бути сформульовані у такий спосіб:

1) закон повного струму:

→ →

– інтегральна форма Ñò H dl = åI – циркуляція векто-

l

→

ра напруженості магнітного поля H дорівнює алгебраїчній сумі струмів, які проходять усередині контура інтегрування;

→ →			→
– диференційна форма rot H = δ – ротор вектора			H
→	(поле вихрове);
дорівнює вектору густини струму δ
2) принцип безперервності ліній магнітної індукції:
→ →
– інтегральна форма Ф = Ñò B dS	= 0 або з використан-
S
	→	→

ням теореми Стокса (1.8) і співвідношення B = rot A маємо

вираз для магнітного потоку Ф через векторний потенціал

→	→ →	→ →
A : Ф = Ñò rot AdS = Ñò		Adl ;

S

l

65

→

– диференційна форма div B = 0 – дивергенція вектора магнітної індукції дорівнює нулю (магнітне поле не має

→

джерел). Аналогічно div A = 0 ;

3) закон Біо-Савара-Лапласа визначає, яку індукцію

→

→

магнітного поля d B створює елемент провідника d l зі струмом I на відстані r від провідника за відсутності феромагнітних середовищ:

é → →ù

é

→

→0

ù

→

μ0 I

êd l ´ r

ú

μ0

I

êd l ´ r

ú

d B =

ë

û

=

ë

û

,

(2.15)

4π

r3

4π

r2

→

→

в точку,

де r – радіус-вектор, проведений із елемента d l

→

в якій визначається магнітна індукція d B (рис. 2.4);

→

r0 – одиничний орт.

Результуюча індукція магнітного поля в заданій точці

буде мати вигляд

→

é

→

ù

→

μ0 I

êd l ´r0

ú

ë

û

B

= 4π òl

.

(2.16)

r2

Вирази (2.15) і (2.16) можна записати через густину

→

струму δ шляхом введення I у векторний добуток і замі-

→	→	dV – елемент об'єму провідника із
ни I d l	на δ dV , де
	→
густиною струму δ :							→
			é			→		ù
					δ´ r0			ú
	→		ê
			μ0 ë					û
	d B =								dV ;	(2.17)
			4π				r2

66

	r				→ →	ù
					éδ´ r0
		dB	→	μ0	ê	ú
					ë	û
	r0		B =	4π ò	r2		dV .
dl				V
			Формули (2.17) у літературі
			іноді називають законом Ампера
	I		за аналогією з (1.29) для замкне-
			ного контура.
Рисунок		2.4 –	Закони	повного		струму та
Ілюстрація		закону	Біо-Савара-Лапласа дозволяють
Біо-Савара-Лапласа			визначити	магнітну			індукцію,
			що створюється струмом. Однак

закон повного струму може бути застосований тільки до замкнених контурів, тоді як закон Біо-Савара-Лапласа справедливий і для відрізків провідників зі струмом;

4) закони зміни векторів магнітного поля на границі поділу двох середовищ випливають із загальної системи (1.28) і розгляду таких рівнянь для векторного потенціалу

→	→ →	→	→
A : Ñò	Adl = 0	і div A = 0 ( A = const ).
l

Використовуючи методику п. 1.5 та вираз (1.28), отримуємо співвідношення для векторів магнітного поля на границі поділу двох середовищ:

H1τ - H2τ = iпов ,							A1τ = A2τ ,		(2.18)
	B1n = B2n ,						A1n = A2n .
Із (2.18) випливає, що вектор						→
						A не зазнає стрибків на
границі поділу двох середовищ.
При використанні			скалярних			магнітних			потенціалів
(поле потенціальне)				∂ϕ1м				∂ϕ2 м .
ϕ	= ϕ		, μ		= μ
				¶n
1м		2 м	1				2	¶n

67

Закон заломлення ліній вектора магнітної індукції має вигляд, аналогічний до електричних стаціонарних полів:

tgα1 = μ1 . tgα2 μ2

2.5 Аналогія між стаціонарними полями

Аналогія між електричним полем постійного струму і електростатичним полем. За своєю природою елек-

тростатичне поле і поле постійного струму в провідному середовищі різні. Електростатичне поле створюється незмінними у часі і нерухомими у просторі електричними зарядами, тоді як в електричному полі в провідному середовищі електричні заряди рухаються впорядковано під дією зовнішнього джерела. Проте між двома полями може бути проведена певна формальна аналогія.

Загальною властивістю електричного поля постійного струму і електростатичного поля є їх потенціальність:

→

rot E = 0 . Для обох полів справедливе рівняння Лапласа Ñ2ϕ = 0 , якщо розглядаємо область електричного поля, яка

перебуває поза джерелами енергії, а область електростатичного поля – поза об'ємним зарядом.

З подібності рівнянь, які описують ці поля, випливає формальна аналогія між відповідними величинами у цих рівняннях і тотожність граничних умов для них при однаковій формі граничних поверхонь (табл. 2.1). При цьому картини обох полів подібні, що дозволяє електростатичне поле у діелектрику моделювати електричним полем постійного струму в провіднім середовищі і навпаки.

68

Таблиця 2.1 – Аналогія електричних стаціонарних полів

	Електростатичне					Електричне поле постій-
			поле				ного струму
	Ñò	→ →				Ñò	→ →
		E dl = 0					E dl	= 0
	l					l
		→	= 0				→
	rot E					rot E = 0
Ñò	→ →					→ →
	D dS		= 0 (при ρ =0)			òδ dS		= 0
S						S
		→	= 0 (при ρ =0)				→
	div D					divδ = 0
	→		→			→	→
	D	= εa E				δ	= γ E
	→	= -gradϕ				→	= -gradϕ
	E					E
			→ →					→ →
	ϕ = -òE dl + const					ϕ = -òE dl + const
			l				l
	Ñ2ϕ = 0					Ñ2ϕ = 0
	E1τ = E2τ					E1τ = E2τ
	D1n = D2n (при σ =0)					δ1n = δ2n
	tgα1 =			ε1		tgβ1 =			γ1
	tgα2			ε2		tgβ2			γ 2
	ϕ1 = ϕ2					ϕ1 = ϕ2
	Q					I
	→					→
	D					δ
	εa					γ

Аналогія між магнітним полем постійного струму і електростатичним полем. Диференційні рівняння магнітного поля постійного струму, записані для простору поза струмом, і диференційні рівняння електростатичного

69

поля за відсутності об'ємних зарядів аналогічні. У цьому випадку застосуємо принцип подвійності (див. п. 1.1). Розрахунки магнітного поля аналогічні до розрахунків електростатичного поля, але при розв'язанні заміняють εε0 на

μμ0 , ϕ на ϕ	→	→ →	→
	м , E на H , D на B (табл. 2.2).

Таблиця 2.2 – Аналогія електричного і магнітного стаціонарних полів

	Електростатичне			Магнітне поле
			поле	постійного струму
	Ñò	→ →		Ñò	→ →
		E dl = 0			H dl = 0
	l			l
		→	= 0		→
	rot E			rot H = 0
Ñò	→ →			→ →
	D dS		= 0 (при ρ =0)	òB dS = 0
S				S
		→			→
	div D = 0 (при ρ =0)			div B = 0
	→		→	→	→
	D	= εa E		B	= μa H
	→	= -gradϕ		→	= -gradϕм
	E			H
			→ →		→ →
	ϕ = -òE dl + const			ϕм = -òH dl + const
			l		l
	Ñ2ϕ = 0			Ñ2ϕм = 0
	E1τ = E2τ			H1τ = H2τ
	D1n = D2n (при σ =0)			B1n = B2n

Між картиною електростатичного поля і картиною магнітного поля постійного струму в областях, не зайнятих

70

струмом, існує відповідність двох типів (одна з них наведена на рис. 2.5).

Перший тип відповідності – існує однаковий розпо-

діл лінійних зарядів в електростатичному полі і лінійних струмів у магнітнім полі. У цьому випадку картина магнітного поля подібна до картини відповідного електростатичного поля. Відмінність полягає лише в тому, що силовим лініям електростатичного поля відповідають еквіпотенціальні лінії магнітного поля, а еквіпотенціалям електростатичного поля відповідають силові лінії магнітного поля (див. рис. 1.2, розділ 1).

		Другий тип відповідно-
Полюс		сті – коли існує однакова
		форма	граничних еквіпоте-
		нціальних поверхонь в елек-
		тростатичному полі і в маг-
E	ϕ	нітному		полі		постійного
H		струму.		У	цьому випадку
Якір		картина		поля		виявляється
		повністю однаковою. На-
		приклад, силові лінії магніт-
Рисунок 2.5 – Демон-		ного	поля		в	повітряному
		проміжку			між	полюсом і
страція аналогії силових		якорем		машини постійного
і еквіпотенціальних	лі-	струму збігаються із сило-
ній магнітостатичного і		вими	лініями			електричного
електростатичного полів		поля, що створюється елек-
		тродами, які мають форму
		полюса і якоря (рис. 2.5).

2.6 Електрична ємність, власна і взаємна індуктивність, енергія стаціонарних полів

Поняття електричної ємності C , власної L і взаємної M індуктивностей є інтегральними характеристиками не