Теорія поля / Посiбник

31

щення енергії, яка проходить за одиницю часу крізь оди-

→

ницю площі, перпендикулярної вектору П (рис. 1.3).

	dS
dS	E

S

H

V

П=[EH]

→ → →

Рисунок 1.3 – Орієнтація векторів E , H , П до поверхні S, яка обмежує об'єм V

→

Якщо вектор П спрямований усередину поверхні, то його потік, який проходить крізь поверхню, буде позитив-

ним: -Ñò	→ →	→
	П dS >0 (при позитивному напрямку	dS у бік
S

зовнішньої нормалі до поверхні).

Фізичний зміст теореми Умова-Пойнтінга: енергія електромагнітного поля витрачається на теплові втрати

	γ E2 і на збільшення електричної	¶	æ	εa E	2 ö	і магнітної
			ç		÷
		¶ t è		2	ø

¶æ μa H 2 ö енергій у заданому об'ємі.

¶t çè 2 ÷ø

Теорема Умова-Пойнтінга у комплексній формі запису

використовується для опису енергетичного балансу гармо-

32

нічних електромагнітних коливань. При її виведенні скористаємося першим і другим рівняннями Максвелла (1.14):

∙	∙	∙	∙	∙
→	→	→	→	→
rot H = γ E		+ jωεa E ; rot E		= - jωμa H .

При знаходженні повної потужності необхідно ком-

∙

→

плекс вектора напруженості електричного поля E помножити на сполучений комплекс вектора напруженості маг-

∙

→

нітного поля H і виконати послідовність операцій, викладених вище при отриманні рівняння для миттєвих значень. Унаслідок отримаємо

∙	æ	μa H	2		εa E	2	ö
→				-				(1.22)
-div П = γ E2	+ 2 jω ç						÷ .
	è	2			2		ø

Для визначення енергії у повному об'ємі проінтегруємо (1.22) по об'єму V і застосуємо до лівої частини теорему Остроградського-Гаусса (1.7):

∙

→ →

-Ñò П dS

S

	æ	μa H	2	-	εa E	2	ö
= òγ E2dV + j2ωòç							÷ dV . (1.23)
V	V è	2			2		ø

Перший доданок правої частини являє собою активну потужність, другий – реактивну потужність. Таким чином, теорема Умова-Пойнтінга в комплексній формі може бути записана і сформульована у такий спосіб:

∙

→→

-Ñò П dS = P + jQ ,

S

∙

→

потік комплексного вектора Пойнтінга П крізь замкнену поверхню дорівнює комплексній потужності, що виділяється усередині об'єму, обмеженого цією поверхнею.

33

1.5 Закони зміни векторів електромагнітного поля на границі поділу двох середовищ (граничні умови)

Для областей, що містять границю поділу двох або більше середовищ, безпосередній розв'язок диференційних рівнянь Максвелла неможливий. Як правило, розв'язують рівняння для кожного середовища окремо, а отримані роз- в'язки «зшивають» на границі поділу. Для цього використовують так звані граничні умови – співвідношення між значеннями векторів поля по обидва боки від границі поділу середовищ. Оскільки рівняння Максвелла є векторними, а розв'язки їх, як правило, перебувають у проекціях на осі координат, то граничні умови зручно подати у вигляді нормальної (проекція на вісь у ) і тангенціальної (проекція

на вісь x ) складових (рис. 1.4).

	y
Kn	K K
	τ	x

→

Рисунок 1.4 – Подання вектора K в проекціях на осі координат у вигляді тангенціальної ( Kτ ) і нормальної ( Kn ) складових

Методика виведення граничних умов базується на використанні рівнянь Максвелла (1.9) – (1.12).

Граничні умови для нормальних складових поля. Не-

хай досить гладкий елемент поверхні S розділяє два середовища 1 і 2 з різними діелектричними проникностями ε1 і ε2 ; у кожному середовищі параметри ε1 і ε2 постійні

34

(рис. 1.5). Позначимо вектор електричної індукції (електричного зміщення) у сере-

dS1

довищі 1

→

у

α1

D , B

вектором D1 ,

1

1

середовищі

2 – вектором

1

S1

→

ε

, μ

S dS

h

D2 . Побудуємо на плоскій

1

границі поділу елемент ци-

1

ε2, μ2

α2

ліндра з висотою

h →0 і

D2, B2

основою

циліндра

S

S1 =

S2

=

S .

Вектори

2

dS2

2

→

→

dS1 і dS2 будуть спрямо-

Рисунок 1.5

–

Перелом-

вані

перпендикулярно

до

основ

і

поверхні

поділу

→

→

лення

векторів

і

→

→

→

D

B на

границі поділу середовищ

( dS = n dS , де n – нормаль

до поверхні поділу), на якій

у загальному випадку роз-

поділений заряд з поверхневою щільністю σ =

dq . По-

→

→

dS

через α1 , між векто-

значимо кут між векторами D1

і dS1

→

→

рами D2

і dS2 – через α2 .

Скористаємося третім рівнянням Максвелла у інтегра-

→ →

ò ρdV = Ñòσ dS .

льній формі (1.11): Ñò D dS =

S

V

S

Сумарний інтеграл по поверхні циліндра в лівій частині буде містити два інтеграли по основах і один – по бічній поверхні, який можна виключити з урахуванням того, що при h →0 площа бічної поверхні Sбічн → 0 . Тоді для виділеного циліндра

35

Ñò

→ →

ò

→

→

ò

→

→

= ò σ dS .

D dS =

D1 dS1

+

D2 dS2

S

S1

S2

S

Оскільки

S1 =

S2 =

S , а

dS1

=

dS2

=

dS

, то з ура-

хуванням рівності підінтегральних скалярних добутків при переході до запису в проекціях на осі координат отримає-

мо D1 cosα1 + D2 cos(180° −α2 ) = σ .

Для остаточного запису граничних умов розкладемо,

→

наприклад, вектор D1 на нормальну і тангенціальну складові (рис. 1.6).

D1τ

Із

рис. 1.6

видно,

що

cosα

=

D1n

.

1

D1

D1n

Аналогічне

розкладання

α1

можна провести і для вектора

D1

→

D1 cosα1 = D1n ,

D2 .

Тоді

D2 cos(180° −α2 ) = −D2n .

Рисунок 1.6 – Прик-

Ураховуючи те що сере-

→

довища 1 і 2 ізотропні, а заряд

лад розкладу вектора D

σ розподілений

по

поверхні

на складові

поділу рівномірно, отримуємо

остаточний вираз

для

нор-

мальних складових вектора електричної індукції на границі поділу середовищ:

D1n − D2n = σ .

(1.24)

Фізичний зміст: нормальна складова вектора електричної індукції Dn при переході через границю поділу

двох середовищ зазнає стрибка, який чисельно дорівнює поверхневій густині електричного заряду σ .

36

Граничну умову для нормальної складової магнітного поля можна одержати із четвертого рівняння Максвелла

→ →

(1.12): Ñò B dS = 0 .

S

Уцьому випадку виведення граничних умов аналогічне вищенаведеному виведенню для електричного поля (студенти роблять виведення самостійно).

Урезультаті отримуємо

B1n − B2n = 0

або

B1n = B2n .

(1.25)

Фізичний зміст: нормальна складова вектора магнітної індукції Bn при переході через границю поділу двох сере-

довищ не змінюється.

Граничні умови для тангенціальних складових поля виводяться з першого і другого рівнянь Максвелла (1.9), (1.10).

Нехай досить гладка поверхня S розділяє два середовища 1 і 2 з різними магнітними (діелектричними) проникностями μ1 і μ2 (ε1 і ε2 ); параметри середовищ постійні

→

(рис. 1.7). Позначимо вектором H1 напруженість магніт-

→

ного поля у середовищі 1, H2 – у середовищі 2. Охопимо

границю невеликим контуром довжиною l	і висотою	h ,
який складається із елементарних відрізків	l1 , l2 і	l3 ,
		→

обумовлених за напрямами одиничними векторами dl1 ,

→	→		= h →0, а вздовж поверхні
dl2	і dl3 . Припустимо, що	l3

S у нескінченно тонкому шарі, поміщеному на границі поділу, проходить поверхневий струм із густиною

37

→

iпов = dI / dl . Позначимо кут падіння вектора H1 на грани-

→

цю через α1 , а кут заломлення вектора H2 – через α2 .

H1, E1

l1

(dl1)

l3

μ1, ε1

1

h

l

α1

α

μ

, ε

2

(dl

)

2

2

2

l2

3

2,

(dl2)

2

H

E

→

→

Рисунок 1.7 – Переломлення векторів H і E на границі поділу середовищ

Запишемо перше рівняння Максвелла (1.9) в інтегральній формі

		Ñò	H dl = Ñò	δ dS + d	Ñò D dS .
			→ →	→ →	→ →
		l	S	dt	S
	Очевидно, що з умов			l →0 і Sбічн →0 випливає заміна
Ñò	→ →	→ →		→
	δ dS	на Ñò iпов dl , тому що δ за розміром кінцева величи-
S		l

на і слід ураховувати лише поверхневий струм iпов . Внес-

ком бічних сторін ( l →0) на контурний інтеграл тут знехтуємо. Другий інтеграл у правій частині рівняння Макс-

велла також прямує до нуля, оскільки				S = l × h →0. То-
ді вихідне рівняння буде мати такий вигляд:
Ñò	→ →	→ →	→ →	→ →
	H dl = ò	H1 dl1 + ò	H2 dl2	= òiпов dl .
l	l1	l2		l

38

Із урахуванням того що при

l1 = l2 = l і

→→ →

dl1 = dl2 = dl підінтегральні вирази рівні, при записі скаля-

рних добутків векторів у проекціях на осі координат маємо:

H1 cosα1 − H2 cosα2 = iпов .

					→
	Розкладемо вектор				H1 на нормальну і тангенціальну
						складові (рис. 1.8). Тоді
						cosα1 = H1τ / H1 , аналогічно
		H1
					H1n	cosα2 = H2τ / H2 . У резуль-
			α1			таті маємо:
		H1τ				H1 cosα1 = H1τ ,
						H2 × cosα2	= H2τ .
	Рисунок 1.8 – Приклад					Остаточно	отримуємо
						граничну умову для танген-
			→		на
	розкладу вектора H					ціальної складової магніт-
	складові					ного поля:
			H1τ − H2τ			= iпов .	(1.26)

Фізичний зміст: тангенціальна складова вектора напруженості магнітного поля Hτ при переході через границю поділу двох середовищ зазнає стрибка, який чисельно дорівнює поверхневому струму iпов .

Граничну умову для тангенціальної складової електричного поля можна отримати із другого рівняння Макс-

велла (1.10).

Виведення граничних умов для електричного поля аналогічне вищевикладеному виведенню для магнітного поля (студенти виведення роблять самостійно).

У результаті отримуємо

39

E1τ − E2τ = 0

або

E1τ = E2τ .

(1.27)

Фізичний зміст: тангенціальна складова вектора напруженості електричного поля Eτ при переході через гра-

ницю поділу двох середовищ не змінюється.

Таким чином, загальна система граничних умов для електромагнітних полів має такий вигляд:

Електричні	Магнітні
компоненти поля	компоненти поля
D1n − D2n = σ ,	B1n = B2n ,	(1.28)
E1τ = E2τ ,	H1τ − H2τ = iпов .

Індекс 1 відповідає верхній півплощині середовища, індекс 2 – нижній півплощини.

1.6 Приклади використання основних рівнянь і законів при описі електромагнітних полів

Для більш глибокого розуміння фізичної сутності наведених вище рівнянь і законів розглянемо найпростіші приклади їх використання при описі електромагнітних процесів.

Приклад 1.1 (перше рівняння Максвелла)

Розглянемо прямий провідник, вздовж якого проходить постійний струм I (рис. 1.9). Навколо провідника виникає магнітне поле H , яке може бути визначене із першого рівняння Максвелла в інтегральній формі (1.9):

Ñò	H dl = Ñò	→	=0).
		δ dS , ( d D
	→ →	→ →
l	S	dt

40

Виберемо поверхню S , обмежену контуром l у вигляді кола радіусом r із центром, що збігається з віссю провідника і розміще-

Iне у площині, перпендикулярній до осі провідника. Використовуючи

			осьову симетрію	задачі,	замінимо
	r		скалярний добуток векторів		→ →
					H dl до-
H		l	бутком їх довжин і винесемо			H за
			знак інтеграла як	величину		сталу
			вздовж контуру інтегрування. Тоді
			Ñò d l = 2π r , а інтеграл у правій части-

Рисунок 1.9 – Магнітне поле провідника зі струмом

l			I , який
ні дорівнює повному струму
перетинає поверхню S . Отже,
H =	I	.	(1.29)
	2π

Дане співвідношення є виразом закону Ампера для знаходження магнітного поля провідника, через який проходить постійний струм.

d Ñ → →

Проаналізуємо значення другого доданка dt òS D dS в

правій частині першого рівняння Максвелла (1.9). Розглянемо дві пластини конденсатора (рис. 1.10), у

колі якого проходить струм i . Виберемо контур інтегрування l у вигляді кола, яке охоплює провідник. Якщо поверхня S1 , обмежена цим контуром, перетинає провідник

до першої пластини конденсатора, то згідно з рівнянням Максвелла (1.9) струм провідності створює магнітне поле, обумовлене таким співвідношенням:

Ñò	→ →	→ →
	H dl = ò	δ dS1	= iпр .
l	S1