33. Поняття формули-суперечності.

Формула алгебри висловлень A(p1,p2,...,pn), яка набуває значення 0 на всіх наборах (a1,a2,...,an) значень своїх пропозиційних змінних, називається суперечністю, або тотожно хибною формулою.

Формула називається тотожньо хибною, або суперечністю, якщо має значення 0 при всіх можливих значеннях пропозиційних змінних.

Одним із характерних прикладів суперечності є висловлення AÙØA. Ця суперечність використовується у доведенні тверджень вигляду A®B методом "від супротивного". Припускають істинність заперечення Ø(A®B), тобто істинність AÙØB. З істинності ØB виводять ØA, одержуючи суперечність AÙØA. Вона свідчить про хибність AÙØB, тобто істинність A®B.

Зауважимо, що для доведення істинності A®B достатньо з ØB вивести ØA, тобто довести істинність протилежного твердження ØB®ØA. Адже за законом контрапозиції (11) A®B º ØB®ØA

Очевидно, що заперечення будь-якої тавтології є суперечністю, і навпаки. На відміну від тавтологій, підстановка висловлень у суперечності породжує хибні висловлення.

34. Поняття нейтральної формули.

Нейтральная формула. Формула называется нейтральной, если во всех своих интерпретациях она принимает значение так И, как и Л.

Формулу, яка не є ні тавтологією, ні суперечністю, називають нейтральною.

Множина всіх формул алгебри висловлень розбивається на тавтології, суперечності та нейтральні формули.

Формула, яка не є суперечністю, називається виконуваною.

Наведемо ряд тверджень, справедливість яких очевидна.

1. Заперечення тавтології є суперечністю і навпаки.

2. Кожна тавтологія є виконуваною формулою (навпаки, взагалі кажучи, ні).

3. Кожна нейтральна формула є виконуваною, але не навпаки.

4. Заперечення виконуваної формули може бути, як виконуваною формулою, так і невиконуваною формулою.

35. Загальна характеристика основних законів логіки висловлювань.

Ще філософи Давнього світу здогадувалися про те, що зв'язки між думками в структурі міркування не залежать від волі того, хто міркує, а в міркуваннях є щось таке, що виступає як примусова сила стосовно суб'єкта мислення - людини. Скажімо, стверджуючи, що всі люди - егоїсти, автор цього судження (бажає він цього чи ні) називає егоїстом і себе.

Здогад про наявність названих примусових сил (йдеться про об'єктивні, тобто незалежні від свідомості й волі людини закони, які діють у сфері мислення) був конкретизований у працях Арістотеля, котрий сформулював три із чотирьох основних законів логіки, - закони тотожності, суперечності й виключеного третього. Четвертий закон - закон достатньої підстави, - вважають деякі науковці, сформулював Лейбніц, хоча подібні думки висловлювали й інші мислителі, зокрема Е. Паскаль.

Перелічені закони логіки назвали основними на тій підставі, що вони виражають такі корінні риси логічно правильного мислення, як визначеність, послідовність, несуперечливість1 і обґрунтованість думок. Несуперечливість є виявом послідовності мислення. Загальне визначення закону логіки тривалий час було нечітким, розпливчастим, надто широким. Закон мислення визначали як "внутрішній, необхідний, істотний зв'язок між думками".

Іноді до перелічених ознак закону мислення додавали ще одну - загальність. Назване визначення відіграло певну гносеологічну роль, проте воно не давало можливості відрізнити справжні закони логіки від їх виявів - численних необхідних зв'язків між думками. Був час, коли висловлювалися твердження, ніби всі закони логіки вже відомі. А тим часом за допомогою засобів математичної (символічної) логіки було доведено, що законів мислення існує багато.

Закони логіки мають загальнолюдський характер, їх повинні дотримуватися всі люди, незалежно від того, до якої раси, нації, соціальної групи вони належать. Якби люди керувалися не одними й тими самими законами мислення, то діяльність таких інституцій, як Організація Об'єднаних Націй, була б неможливою. Проте одна справа, що люди "повинні дотримуватися", а інша - чи дотримуються вони цих законів. Так, представники радикальних, фанатично налаштованих політичних партій та релігійних організацій, як правило, "не в ладах" з логікою.

Всезагальність, універсальність законів логіки виявляється і в тому, що вони діють у всіх сферах людського мислення.

Сучасна логіка визначає закон мислення як "завжди істинне" висловлювання (формулу). Сформульовані таким чином закони використовуються при розв'язанні складних логічних задач у кібернетиці, теорії релейно-контактних схем, у роботі електронно-обчислювальних машин, автоматичних пристроїв, математичній лінгвістиці тощо.

Будь-яка достатньо розвинута наука містить положення, які називають законами. Під законами загалом розуміють необхідні, суттєві, постійні і повторювані відношення між явищами природи, суспільства, мислення. Логіка спеціалізується на вивченні і застосуванні фундаментальних законів мислення. Це не означає, що тільки логіка вивчає закони мислення. Можна назвати ще кілька галузей науки, предметом яких є закони мислення (філософія, психологія, кібернетика тощо). Логіка бере закони мислення не в усій повноті їх виявлення, а лише частково.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Суттєвою особливістю логічних законів є те, що їх дія пов’язана із формальною правильністю різних інтелектуальних операцій.

В.І.Свінцов

Формальність означає, що дії логічних законів підлягає не зміст, а форма будь-яких думок; логіка відволікається від того, які предмети дійсності увійшли у сферу їх (законів) застосування.

Закони логіки перебувають у певній відповідності із законами природи і суспільства. Як ті, так і інші закони мають об’єктивний характер. Їх неможливо поміняти, вони діють незалежно від бажань і волі людей. Той факт, що мислення відрізняється від світу речей більшою свободою в оперуванні ідеальними утвореннями, не означає волюнтаризму в сфері дії законів логіки, можливості довільно їх створювати їх або відміняти. Порушення законів логіки так само, як і намагання змінити закони природи, заздалегідь приречені на невдачу. Спроби це зробити, користуючись специфікою ідеальної реальності, рано чи пізно засвідчують об’єктивну даність та непорушність цих законів. Той, хто не хоче з цим рахуватися, відчує абсурдність своїх бажань. Так, спроби якоїсь людини злетіти, як птах, не маючи спеціальних пристроїв, які здатні певною мірою долати земне тяжіння, неодмінно ведуть до її загибелі. Невдачі тих, хто порушує закони логіки, мають інші форми, проте виразно показують якщо не самому порушнику, то оточуючим, хибність подібних дій. Наприклад, людина, яка про одну й ту ж річ висловлює суперечні судження, викликає осуд як особа нещира, брехлива.

Незаперечним є той факт, що помилки у мисленні є звичним явищем. Однак це зовсім не свідчить про довільність і волюнтаризм логічних законів. Порушення цих законів відбуваються з різних причин: недостатня освіченість, недосконалість мислення, прагнення досягти мети неправедними засобами, свідомо відходячи від істини, хвороби мозку тощо. Наша свобода у використанні зазначених законів більшою мірою полягає у намаганні пізнати їх і користуватися цим знанням. Те саме стосується будь-яких інших об’єктивних законів.

Проте об’єктивність логічних законів відрізняється від об’єктивності речей.

Хоча закони логіки засновані на законах буття, проте самі вони не є законами буття. Закони логіки абстраговані з дійсності.

Г.Клаус

Специфіка логічних законів порівняно із законами буття виявляється, на перший погляд, в тому, що люди значно легше ставляться до фактів їх порушення як у власному мисленні, так і щодо інших людей. Правильно мислити – це радше заклик, ідеал, але не те, що є імперативом повсякденного життя. Правильне мислення іноді вважають ознакою високоосвічених інтелектуалів. Решта не вбачає великого гріха у порушеннях того чи іншого логічного закону. Вимоги логічних законів подібні до правил морального життя: можна дотримуватися їх, а можна і порушувати: не завжди і не всіх чекає швидке покарання. Проте дотримання чи порушення подібних законів не призводить до їх скасування чи змін. Покарання несе порушник. В цьому також виявляється об’єктивність логічних законів.

Закони логіки універсальні. Їх вимоги чинні для всіх народів нашої планети, для всіх без винятку поколінь, для тих, хто жили в давні часи, і далеких нащадків. Саме закони логіки є вагомим фактором взаємопорозуміння між різними за етнічними, соціальними, віковими і іншими ознаками людьми. Завдяки однотипності структур мислення можливий переклад з однієї мови на іншу. Малі діти і дуже літні люди, жінки і чоловіки, фахівці різних професій, витончені інтелектуали і неписьменні – всі ці категорії людей пов’язані спільними законами мислення.

Ми не будемо розглядати дуже складне і дискусійне питання походження цих законів, не беремося обґрунтовувати позицію їх апріорності чи апостеріорного характеру. Логіка сприймає їх як даність. Її завдання - виявити ці закони, описати їх і зафіксувати в зручній для користування символічній формі, виробити процедури, які дозволяють розпізнати у будь-якій формальній структурі її закономірний характер. Значною мірою дане завдання логікою вже реалізоване, проте це не означає, що відкриті і описані всі без винятку логічні закони.

Коли я вивчав логіку і розглядав предикамети, тобто будь-яке співвідношення нескладних термінів і всіх мислимих в них речей (що давало мені невимовну насолоду), мені прийшло в голову, що логіки повинні відкрити нові предикаменти складних термінів, в яких висловлювання співвідносилися би для побудови силогізмів так само, як нескладні терміни співвідносяться у звичайних предикаментах для побудови речень.

Г.Лейбніц

Для зручності поділимо всі відомі закони логіки в такий спосіб: *закони традиційної логіки і *закони математичної логіки. Спочатку з’ясуємо те головне, що слід знати про закони традиційної логіки. Відомі 4 такі закони, вимоги яких відображають найбільш суттєві властивості нашого мислення – визначеність, несуперечливість, послідовність, обгрунтованість. Відповідно до цього розглянемо: *закон тотожності, *закон суперечності, *закон виключеного третього і *закон достатньої підстави. В тих чи інших формах зазначені закони були предметом уваги з дуже давніх часів. Проте виразної форми і докладного тлумачення їм надали два європейські мислителі – Арістотель (перші три закони) і Г.Лейбніц (четвертий закон).

36. Тотожна істинність формул.

Якщо формула F приймає значення 1 (тобто є виконуваною) для всiх

наборiв значень з M, то вона називається тотожно iстинною в M. Формула,

тотожно iстинна у будь-яких M, називається тотожно iстинною або логiчно

загальнозначущою (скорочено - лзз).

Якщо формула F є невиконуваною в M, то вона називається тотожно

хибною в M. Формула, невиконувана в усiх M, називається тотожно хибною,

або суперечнiстю.

Приклад 5.7. Формула (xA(x,y)((xA(x,y) є виконуваною i вона ж є тотожно

iстинною в усiх одноелементних областях M. Формула

F(x1,x2,...,xn)((F(x1,x2,...,xn) тотожно iстинна, а формула

F(x1,x2,...,xn)((F(x1,x2,...,xn) тотожно хибна. Тотожно iстинними будуть

формули (xP(x)(P(y) i P(y)((xP(x).

37. Еквівалентні перетворення.

Формули F1 i F2 називаються рiвносильними (еквiвалентними), якщо при

всiх можливих пiдстановках значень замiсть їх змiнних вони набувають

однакових значень; позначається F1 = F2.

Наприклад, усi тотожно iстиннi (усi тотожно хибнi) формули рiвносильнi мiж собою. Очевидно також, що коли F1 i F2 рiвносильнi, то формула F1~F2

є тотожно iстинною, і навпаки.

Розглянемо еквівалентні формули, які задають правила перетворень. Такі екві-

валентності називають законами логіки висловлювань. Перетворення виконують за-

міною якоїсь формули в складі іншої формули на еквівалентну їй формулу. Цю

процедуру повторюють доти, доки не буде отримано формулу в потрібній фор-

мі.

За допомогою правил p →q p􀁵 ∨q та p ~ q (p →q) ∧(q →p) можна усувати

логічні операції імплікації й еквівалентності з формул. Ці правила можна вико-

ристовувати також для введення імплікації й еквівалентності.

Наведені еквівалентності можна перевірити, побудувавши таблиці істинності.

Зокрема, у прикладі 1.14 доведено еквівалентність p →q p􀁵 ∨q, а приклад 1.15

показує, що імплікація не комутативна. Покажемо, як можна застосувати зако-

ни логіки висловлювань для доведення еквівалентності формул.

38. Мінімізація.

В общем случае логическая функция может иметь некоторое множество эквивалентных по логике, но разных по аналитическому представлению, вариантов. Эти варианты могут отличаться по составу независимых переменных и по числу логических операций, образующих функцию. В прикладном отношении возникает потребность поиска эквивалентного варианта представления функции с минимальным числом операций и, возможно, с меньшим числом независимых переменных. Процесс решения этого вопроса называется минимизацией логических функций.

При решении практических задач логического типа, их исходное аналитическое описание обычно представляется либо в СДНФ, либо в СКНФ. При всей своей структурной стройности эти формы, в большинстве своём, громоздки и нуждаются в минимизации.

Минимизация осуществляется путём направленного преобразования функции с помощью аксиом и законов алгебры логики. Для одной и той же функции может быть несколько путей достижения цели. Каждый такой путь обеспечивает нахождение минимальной формы функции сравнительно с исходной формой. Но, это ещё не означает, что цель достигнута. Тут надо знать следующее. В процессе преобразования могут быть достигнуты промежуточные и тупиковые формы функций. Тупиковая форма, в отличии от промежуточной, далее не минимизируется. Каждый возможный путь минимизации завершается тупиковой формой функции. У одной и той же функции тупиковых форм может быть несколько. Среди тупиковых всегда имеет место форма функции с меньшим числом логических операций (возможно и с меньшим числом независимых переменных). Её называют минимальной тупиковой формой функции. Существуют различные возможные исходы минимизации функций. Может быть несколько различных минимальных тупиковых форм. С точки зрения дальнейшего использования они почти всегда эквивалентны. В составе минимальных тупиковых форм могут присутствовать и не минимальные тупиковые формы. В простейшем случае функция имеет только одну минимальную тупиковую форму. Ну, и конечно, форма исходной функции может являться минимальной тупиковой. В этом случае говорят, что функция не минимизируется.

Существуют несколько методов минимизации логических функций. Рассмотрим некоторые из них.