10. Відношення між поняттями за обсягом.

Загальні поняття відображають ознаки певної множини предметів, наприклад, "село", "місто", "людина", "закон", "фонема", "студент" тощо.

Якщо загальне поняття відображає обмежену кількість предметів, то його називають реєструючим загальним поняттям. Наприклад, "європейська держава" (в логіці поняття позначають називним відмінком однини, незалежно від кількості відображуваних ним предметів), "студент 1-го курсу університету "Україна" 2001/2002 навчального року", "планета Сонячної системи", "вулиця міста Києва" тощо.

Загальне поняття, яке відображає необмежену кількість предметів, буде нереєструючим загальним поняттям. Наприклад, "людина", "закон", "учень", "юридична особа" тощо.

Одиничні індивідуальні поняття відображають один єдиний предмет. Він, як правило, має власне ім'я. Наприклад, "місто Київ", "найвища вершина світу", "ріка Дніпро", "найбільше прісноводне озеро світу" тощо.

Одиничні збірні відображають ознаки однієї множини предметів. Наприклад, "український народ", "Голосіївський ліс", "австралійський абориген" тощо.

*3бірні поняття відображають ознаки певної сукупності однорідних предметів, що мисляться як одне ціле.

Збірні одиничні відображають ознаки однієї єдиної множини предметів. Наприклад, "сузір'я Оріона", "ФК "Динамо" Київ", "оркестр Національної опери України" тощо.

Збірні загальні поняття відображають ознаки множини сукупності предметів. Наприклад, "сузір'я", "футбольний клуб", "оркестр" тощо.

*Нульові поняття відображають ознаки неіснуючих (нереальних) предметів або предметів, які ще не вивчені сучасною наукою.

Нульові хибні відображають ознаки міфічних істот: "мавка", "святий Миколай", "дідько", "нечиста сила" тощо.

Нульові необхідні - це наукові абстракції, без яких наука не може обійтися. Наприклад, "точка", "абсолютний нуль", "абсолютно тверде тіло", "математичний ліміт" тощо.

Нульові гіпотетичні відображають ознаки предметів, які ще недостатньо вивчені сучасною наукою: "небіологічна форма існування", "паралельний світ", "паранормальне явище", "НЛО" тощо.

11. Загальна характеристика операцій над множинами.

За допомогою декількох множин можна будувати нові множини або, як кажуть, робити операції над множинами. Ми розглянемо такі операції над множинами: об'єднання, перетин, різниця множин, доповнення множини. Всі розглянуті операції над множинами ми будемо ілюструвати на діаграмах Ейлера-Венна.

Означення 1.5. Об’єднання А і В (АВ) – множина, що складається з усіх елементів

множин А, всіх елементів множини В і не містить ніяких інших елементів (рис 1.1,а), тобто

АВ = {x | xA або xВ}.

Наприклад, {1,2,3}{2,3,4} = {1,2,3,4}.

Означення 1.6. Переріз (перетин) А і В (АВ) – множина, що складається з тих і тільки

тих елементів, які належать одночасно множині А та множині В (рис 1.1,б), тобто

АВ = {x | xA та xВ}.

Наприклад, {1,2,3}{2,3,4} = {2,3}.

Різниця А і В або відносне доповнення В до А (А–В, A\B) – множина,

що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множині А та не належать множині

В (рис 1.1,в), тобто

А\В = {x | xA та xВ}.

Наприклад, {1,2,3}\{2,3,4} = {1}.

Означення 1.9. Абсолютне доповнення або просто доповнення А (А’, A ) – множина,

що містить усі елементи універсуму, за винятком елементів А (рис 1.1,д), тобто

А’ = {x | xA).

За означенням: А’ = U\А.

12. Операція над множинами: перетин.

Перетином А ∩ В множин А і В називається множина, яка складається з усіх елементів, що належать одночасно кожному з множин А і В.

Символічна запис цього визначення: А ∩ В = {х | х А і х У}.

Якщо безліч А задається характеристичним властивістю Р (х), a безліч По-властивістю Q (х), то в А ∩ В входять елементи, одночасно володіють і властивістю Р (х), і властивістю Q (х).

Приклади перетинань двох множин:

1) Нехай А = {2; 5; 7; 8}, В = {3, 5, 6, 7}. Тоді А ∩ В = {5; 7}.

2) Нехай А = [-1 / 4; 7 / 4], В = [-2 / 3; 3 / 2]. Тоді А ∩ В = [-1 / 4; 3 / 2].

3) Нехай А = {х | х = 2k, k є Z}, B = {x | x = 3n, n є Z}. Тоді А ∩ В = {x | x = 6m, m Z}.

4) Нехай А-безліч всіх прямокутників, В-множина всіх ромбів. Тоді А ∩ В-безліч фігур, які одночасно є і прямокутниками, і ромбами, тобто множина всіх квадратів.

13. Операція над множинами: об’єднання.

Об'єднання множин

Об'єднанням множин А і В називається множина, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з множин А чи В.

Символічна запис цього визначення: А В = {х | х А чи х У}.

Тут союз «або» розуміється в сенсі «неразделітельного або», тобто не виключається, що х може належати і А і В. Відзначимо, що в такому випадку елемент х, що входить в обидва множини А і В, входить до їх об'єднання тільки один раз (оскільки для множини не має сенсу говорити про те, що елемент входить в нього кілька разів).

Якщо безліч А визначається характеристичним властивістю Р (х), а безліч В - характеристичним властивістю Q (х), то А В складається з усіх елементів, які мають, принаймні, одним з цих властивостей.

Приклади об'єднань двох множин:

1) Нехай А = {2; 5; 7}, В = {3, 5, 6}. Тоді А В = {2, 3, 5, 6, 7}.

2) Нехай А = [-1 / 4, 2], В = [-2 / 3; 7 / 4]. Тоді А В = [-2 / 3; 2].

3) Нехай А = {х | х = 8k, k Z}, B = {x | x = 8n-4, n Z}. Тоді A B = {x | 4m, m Z}.

Операція об'єднання множин може проводитися не тільки над двома множинами. Визначення об'єднання множин можна поширити на випадок будь-якої кількості множин і навіть - на систему множин. Система множин визначається так: якщо кожному елементу α безлічі М відповідає безліч А α, то сукупність всіх таких множин ми будемо називати системою множин.

14. Операція над множинами: різниця.

Різницею А \ У множин А і В називається множина, яка складається з усіх елементів множини А, які не належать безлічі В, тобто А \ В = {х | х А і х У}.

Приклади різниць множин:

1. Нехай А = {1, 2, 5, 7}, В = {1, 3, 5, 6}. Тоді А \ В = {2; 7}, а В \ А = {3, 6}.

2. Нехай А = [-1 / 4, 2], В = [-2 / 3; 7 / 4]. Тоді А \ В = (7 / 4, 2], а В \ А = [-2 / 3; -1 / 4).

3. Нехай А - множина всіх парних цілих чисел, В - множина всіх цілих чисел, що діляться на 3. тоді А \ В - множина всіх парних цілих чисел, які не діляться на 3, а В \ А-множина всіх непарних цілих чисел, кратних трьом.

15. Операція над множинами: доповнення.

Нехай безліч А і В такі, що А В. Тоді доповненням множини А до множини В називається різниця В \ А. У цьому випадку застосовується позначення С B А = В \ А. Якщо в якості безлічі У береться універсальне безліч U, то застосовується позначення СА = С U А = U \ А і таке безліч просто називають доповненням множини А. Таким чином, символічна запис визначення доповнення безлічі буде наступною: СА = {x | x A}.

16. Загальна характеристика основних законів операцій над множинами.

Будь-яка достатньо розвинута наука містить положення, які називають законами. Під законами загалом розуміють необхідні, суттєві, постійні і повторювані відношення між явищами природи, суспільства, мислення. Логіка спеціалізується на вивченні і застосуванні фундаментальних законів мислення. Це не означає, що тільки логіка вивчає закони мислення. Можна назвати ще кілька галузей науки, предметом яких є закони мислення (філософія, психологія, кібернетика тощо). Логіка бере закони мислення не в усій повноті їх виявлення, а лише частково.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Суттєвою особливістю логічних законів є те, що їх дія пов’язана із формальною правильністю різних інтелектуальних операцій.

В.І.Свінцов

Формальність означає, що дії логічних законів підлягає не зміст, а форма будь-яких думок; логіка відволікається від того, які предмети дійсності увійшли у сферу їх (законів) застосування.

Закони логіки перебувають у певній відповідності із законами природи і суспільства. Як ті, так і інші закони мають об’єктивний характер. Їх неможливо поміняти, вони діють незалежно від бажань і волі людей. Той факт, що мислення відрізняється від світу речей більшою свободою в оперуванні ідеальними утвореннями, не означає волюнтаризму в сфері дії законів логіки, можливості довільно їх створювати їх або відміняти. Порушення законів логіки так само, як і намагання змінити закони природи, заздалегідь приречені на невдачу. Спроби це зробити, користуючись специфікою ідеальної реальності, рано чи пізно засвідчують об’єктивну даність та непорушність цих законів. Той, хто не хоче з цим рахуватися, відчує абсурдність своїх бажань. Так, спроби якоїсь людини злетіти, як птах, не маючи спеціальних пристроїв, які здатні певною мірою долати земне тяжіння, неодмінно ведуть до її загибелі. Невдачі тих, хто порушує закони логіки, мають інші форми, проте виразно показують якщо не самому порушнику, то оточуючим, хибність подібних дій. Наприклад, людина, яка про одну й ту ж річ висловлює суперечні судження, викликає осуд як особа нещира, брехлива.

Незаперечним є той факт, що помилки у мисленні є звичним явищем. Однак це зовсім не свідчить про довільність і волюнтаризм логічних законів. Порушення цих законів відбуваються з різних причин: недостатня освіченість, недосконалість мислення, прагнення досягти мети неправедними засобами, свідомо відходячи від істини, хвороби мозку тощо. Наша свобода у використанні зазначених законів більшою мірою полягає у намаганні пізнати їх і користуватися цим знанням. Те саме стосується будь-яких інших об’єктивних законів.

Проте об’єктивність логічних законів відрізняється від об’єктивності речей.

Хоча закони логіки засновані на законах буття, проте самі вони не є законами буття. Закони логіки абстраговані з дійсності.

Г.Клаус

Специфіка логічних законів порівняно із законами буття виявляється, на перший погляд, в тому, що люди значно легше ставляться до фактів їх порушення як у власному мисленні, так і щодо інших людей. Правильно мислити – це радше заклик, ідеал, але не те, що є імперативом повсякденного життя. Правильне мислення іноді вважають ознакою високоосвічених інтелектуалів. Решта не вбачає великого гріха у порушеннях того чи іншого логічного закону. Вимоги логічних законів подібні до правил морального життя: можна дотримуватися їх, а можна і порушувати: не завжди і не всіх чекає швидке покарання. Проте дотримання чи порушення подібних законів не призводить до їх скасування чи змін. Покарання несе порушник. В цьому також виявляється об’єктивність логічних законів.

Закони логіки універсальні. Їх вимоги чинні для всіх народів нашої планети, для всіх без винятку поколінь, для тих, хто жили в давні часи, і далеких нащадків. Саме закони логіки є вагомим фактором взаємопорозуміння між різними за етнічними, соціальними, віковими і іншими ознаками людьми. Завдяки однотипності структур мислення можливий переклад з однієї мови на іншу. Малі діти і дуже літні люди, жінки і чоловіки, фахівці різних професій, витончені інтелектуали і неписьменні – всі ці категорії людей пов’язані спільними законами мислення.

Ми не будемо розглядати дуже складне і дискусійне питання походження цих законів, не беремося обґрунтовувати позицію їх апріорності чи апостеріорного характеру. Логіка сприймає їх як даність. Її завдання - виявити ці закони, описати їх і зафіксувати в зручній для користування символічній формі, виробити процедури, які дозволяють розпізнати у будь-якій формальній структурі її закономірний характер. Значною мірою дане завдання логікою вже реалізоване, проте це не означає, що відкриті і описані всі без винятку логічні закони.

Коли я вивчав логіку і розглядав предикамети, тобто будь-яке співвідношення нескладних термінів і всіх мислимих в них речей (що давало мені невимовну насолоду), мені прийшло в голову, що логіки повинні відкрити нові предикаменти складних термінів, в яких висловлювання співвідносилися би для побудови силогізмів так само, як нескладні терміни співвідносяться у звичайних предикаментах для побудови речень.

Г.Лейбніц

Для зручності поділимо всі відомі закони логіки в такий спосіб: *закони традиційної логіки і *закони математичної логіки. Спочатку з’ясуємо те головне, що слід знати про закони традиційної логіки. Відомі 4 такі закони, вимоги яких відображають найбільш суттєві властивості нашого мислення – визначеність, несуперечливість, послідовність, обгрунтованість. Відповідно до цього розглянемо: *закон тотожності, *закон суперечності, *закон виключеного третього і *закон достатньої підстави. В тих чи інших формах зазначені закони були предметом уваги з дуже давніх часів. Проте виразної форми і докладного тлумачення їм надали два європейські мислителі – Арістотель (перші три закони) і Г.Лейбніц (четвертий закон).