1.2 Стійкість сас

Для того, щоб суднові автоматичні системи виконували своє призначення, вони повинні бути, перш за все, стійкими. Система вважається стійкою, якщо відхилення вихідної величини, що виникає в результаті зовнішнього збурення, після закінчення деякого часу стає менше заданого значення.

Отже, система, виведена із сталого стану, а потім надана самій собі, повинна повернутися в стан рівноваги. Якщо ж система після дії збурення не приходить в сталий стан, а здійснює коливання з постійною або зростаючою амплітудою, вона називається нестійкою.

Аналіз на стійкість – одне з основних завдань теорії автоматичного управління. Вперше загальне визначення стійкості було дане російським математиком А. М. Ляпуновим.

На підставі теорем Ляпунова були сформульовані умови стійкості лінійних і нелінійних систем, що отримали назви першого і другого методів Ляпунова і що дозволяють досліджувати стійкість широкого класу динамічних систем. Про стійкість лінійних САС міркують по збіжності процесу управління після припинення зовнішніх дій, тобто по характеру власного руху системи. Отже, про стійкість САС можна міркувати на основі розв’язання характеристичного рівнянні замкнутої САС:

,

за видом його коренів або розташуванню полюсів САС на комплексній площині.

САС буде стійкою, якщо всі дійсні корені характеристичного рівняння і всі дійсні частини комплексно-зв’язаного коріння від’ємні. Іншими словами, САС є стійкою, якщо передаточна функція замкнутої системи не матиме полюсів в правій напівплощині. Уявна вісьє межею стійкості на комплексній площині. При цьому заштрихована ліва напівплощина полюсів відповідає стійкій САС (рис. 4).

Дослідження поведінки САС в перехідному режимі, пов’язане з розв’язанням характеристичного рівняння і аналізом характеру його коріння, виконується порівняно легко лише в простих випадках, тобто при розв’язанні рівнянь другого або третього порядку. Розв’язання характеристичного рівняння вищих ступенів – складний і трудомісткий процес. Тому були знайдені методи, що дозволяють без обчислення коренів характеристичного рівняння САС міркувати про її стійкість.

Рис. 4 – Комплексна площина

Такі непрямі показники стійкості САС отримали назву критеріїв стійкості, які можуть бути розділені на аналітичні (критерій Вишнєградського, критерій Гурвица тощо) і частотні (критерій Михайлова, амплітудно-фазовий критерій, критерій D - розбиття).

1.3 Якісні показники сас

Основним завданням при проектуванні є створення САС, що не тільки задовольняють умовам стійкості, але і відповідають певним технічним вимогам. Дослідження САС з погляду якісних характеристик переслідує мету такого вибору схеми або значень окремих параметрів САС, щоб вона задовольняла поставленим технічним умовам.

При розробці будь-якої САУ виходять з виконання двох загальних умов: фізичної реалізації системи, що забезпечує відробіток вихідної величини та забезпечення заданих технічних вимог.

Якість САС повинна указувати, наскільки успішно справляється система з діями, що збурюють, і наскільки точно вона відтворює управляючі вхідні сигнали. Поняття про якість складається з окремих показників, які є характеристиками реакції системи на типові збурення.

Реакція системи на одиничну ступінчасту дію за нульових початкових умов називається перехідною функцією системи яка оцінюється за допомогою сукупності характеристик, званихпоказниками якості перехідного процесу системи. Ними є:

1) час регулювання ;

2) перерегулювання ;

3) число коливань .

Вважається, що система має необхідну якість, якщо показники якості не перевищують заданих значень, визначених призначенням системи (завданням).

Перехідна функція , що відповідає реакції САС з передаточною функцієюна одиничну ступінчасту функцію, знаходиться по її зображенню за допомогою зворотного перетворення Лапласа:

.

Крім того, перехідні функції (перехідні характеристики) САС можуть бути визначені при вирішенні диференціального рівняння, що описує динаміку системи або за допомогою моделювання САС на цифровій або аналоговій обчислювальній машині.

Разом з прямими методами визначення перехідної функції розроблені непрямі методи оцінки (критерії) якості, що дозволяють порівняно просто без розв’язання рівняння системи приблизно міркувати про показники якості систем. До основних непрямих методів відносяться: частотний та інтегральний методи, засновані на вивченні розподілу нулів і полюсів передаточної функції системи.

Визначення основних показників якості , , на типових перехідних процесах наведено на рис. 5.

Перехідний процес дає уявлення про те, за яким законом і як скоро вихідна величина набуває нових значень, що задається дією на вхід САС.

а)	б)
Рис. 5 – Типові перехідні процеси: періодичний (а); аперіодичний (б)

Часом встановлення, або часом регулювання вважається час, за який величина

стане менше заданого значення . Зазвичайприймають рівною 5-10% величин стрибка на вході. Таким чином, часом регулюванняназивається час перехідного процесу, після закінчення якого відхиленнястає і надалі залишається меншим допустимого значення. Час регулюванняхарактеризує швидкодію системи.

Перерегулювання для лінійних систем визначається у відсотках по формулі:

.

Іншими словами, перерегулювання є відношенням найбільшого перевищення сталого значення вихідної величини до її сталого значення.

За показник якості САС може бути прийняте число коливань (число викидів) вихідної величинипротягом часу перехідного процесуа, іноді, вимагається, щоб коливання взагалі були відсутні.

Крім того, до реальних САС пред’являються вимоги точності, швидкодії і забезпечення захисту від перешкод (смуги пропускання).

У сталому режимі точність суднових автоматичних систем визначається:

• статичною помилкою абостатизмом (для статичних систем);

• швидкісною помилкою (для астатичних систем першого порядку);

• помилкою, пропорційною прискоренню (для астатичних систем другого порядку).

З вимогою точності САС безпосередньо пов’язано забезпечення смуги пропускання частот , при якій відбувається точний відробіток управляючої дії та обмеження збурюючої дії.

Швидкодія характеризується швидкістю наростання перехідного процесу за час зміни перехідної характеристики від 10 до 90 % сталого значення. Залежність швидкодії і частоти зрізу(або смуги пропускання) може бути приблизно прийнята у вигляді:

.

З швидкодією САС пов’язана одна з її важливих характеристик, звана добротністю. Добротність САС визначається відношенням загального коефіцієнта підсилення до постійної часу системи:

.

При проектуванні лінійних САС необхідно добиватися оптимального співвідношення між швидкодією, точністю і перешкодостійкістю.

У теорії САС використовують аналітичні методи непрямих оцінок якості перехідного процесу. Так для оцінки швидкодії перехідного процесу може бути використане поняття «Ступені стійкості».

Відомо, що САС стійка, якщо її полюси розташовуються в комплексній площині зліва від уявної осі. Якість перехідного процесу визначатиметься часом регулювання , яке залежить від абсолютних значень дійсних частин коренів характеристичного рівняння системи.

Швидкість загасання перехідного процесу визначається коренем, найменшим по абсолютній величині дійсної частини. Відповідно до цих міркувань, ступенем стійкості називають відстань від уявної осі до найближчого дійсного кореня або дійсної частини пари комплексно-зв’язаних коренів характеристичного рівняння (рис. 6). Якщо найближчим до уявної осі є дійсний корінь, то складова в перехідному процесі, визначувана цим коренем, представлятиме затухаючу експоненту . При цьому отримало назву аперіодичного ступеня стійкості.

Рис. 6 – Визначення ступеня стійкості за розташуванням полюсів на комплексній площині

Поставимо вимогу, щоб час перехідного процесу не перевищував при цьому відхилення до моменту часуне повинно перевищуватиm % початкового відхилення . Тоді величина дозволить визначити час регулювання:

.

Якщо найближчими до уявної осі є комплексно-зв’язані коріння вигляду , то складова, визначувана цими коріннями, матиме вид затухаючого коливального процесу:

.

В цьому випадку називаєтьсяколивальним ступенем стійкості. Для спрощення, припустивши, що , верхня межа часу перехідного процесу у вигляді нерівності може бути знайдена як:

.

Якщо час регулювання, визначений за вищенаведеними виразами, буде рівний або менший заданого часу регулювання за технічними вимогами, то дійсний час регулювання досліджуваної системи задовольнятиме вимогам якості.

У разі коливального перехідного процесу для оцінки якості САС важливо оцінити коливальність системи. Мірою коливальності є відношення уявної частини кореня, що характеризує кутову частоту коливань, до дійсної частини у вигляді:

.

Крім того, дійсна і уявна частини кореня характеристичного рівняння визначають період і частоту коливаньперехідного процесу.

Значення ступеня коливальності дозволяє знайти наближене значення перерегулювання перехідної характеристики з виразу:

.

Окрім описаного алгебраїчного методу оцінки якості САС, існують інтегральний, частотний методи, метод трапецеїдальних характеристик. Застосування того або іншого методу визначається наявними засобами оцінки якості САС.