Посібник-Практичні заняття-стат 2012

167

а) визначте середньо квартальну кількість працюючих і показник продуктивності праці за кожен квартал;

б) для кожного ряду обчисліть базисні або ланцюгові характеристики та на їх основі середньорічні абсолютні прирости та темпи приросту;

в) проведіть порівняльний аналіз інтенсивності динаміки кожного із показників.

Зробіть узагальнюючі висновки стосовно ситуації із ефективністю використання робочої сили, що склалася на підприємстві.

Показник	Минулий рік, квартал				Поточний
	І	ІІ	ІІІ	ІV	рік, І кв.
Кількість працюючих на
початок кварталу, осіб	82	78	74	76	78
Обсяг виробництва, тис. грн.	2816	2774	2835	3003	-

Ситуаційне завдання 3

Ситуація стосовно динаміки фінансових показників діяльності комерційного банку представлена даними таблиці.

Проведіть аналіз ситуації, що склалася у комерційному банку щодо динаміки його прибутковості. Для цього:

а) вкажіть види динамічних рядів, поясніть їх особливості; б) обчисліть ряд динаміки похідного показника – прибутковості

капіталу; в) для кожного ряду обчисліть базисні характеристики ряду динаміки,

та визначте за минулий рік середньо квартальні абсолютні прирости та темпи приросту капіталу, прибутку та прибутковості капіталу

г) проведіть порівняльний аналіз інтенсивності динаміки кожного із показників.

Зробіть узагальнюючі висновки стосовно ситуації із ефективністю діяльності, що склалася у комерційному банку.

	Показник, млн. грн.	Минулий рік, квартал				Поточний рік
						І квартал
		І	ІІ	ІІІ	ІV
	Капітал на початок кварталу	384	403	615	776	1210
	Прибуток за квартал	185	218	242	230	-

Завдання 1

Використовуючи взаємозв’язок показників часового ряду, визначте рівні виробництва товарів побутової хімії, абсолютну та відносну швидкість його зменшення:

Порядковий	Виробництво,	Базисні характеристики динаміки
номер року	тис. грн.	Абсолютний	Темп зростання,	Темп приросту,
		приріст, тис. грн.	%	%
1	600	Х	Х	Х

167

168

2				-2
3		-28
4			97
5				-6

Завдання 2

Використовуючи взаємозв’язок характеристик динаміки, визначте обсяги перевезення вантажів автотранспортом, абсолютну та відносну швидкість зростання обсягів, зробіть висновки.

Поряд	Перевезено	Ланцюгові характеристики динаміки
ковий	вантажів,	Абсолютний	Коефіцієнт	Темп	Абсолютне
№	млн. т	приріст,	зростання	приросту,	значення 1 %
року		млн. т		%	приросту, млн. т
1	300	Х	Х	Х	Х
2		20
3				5
4
5			1,1		3,6

Приклади розв’язання типових задач

Приклад 1

Дані про неподаткові надходження до доходів Зведеного бюджету області, млн. грн., наведені в таблиці.

	Показник			Роки
		2001	2002	2003	2004	2005
	Неподаткові	130	156	141	150	145
	надходження

Проаналізувати динаміку неподаткових надходжень до доходів Зведеного бюджету області, визначивши базисні та ланцюгові характеристики ряду динаміки і середньорічні: рівень ряду, абсолютний приріст та темп приросту.

Розв’язання

Динаміку неподаткових надходжень можна дослідити за допомогою статистичних характеристик ряду динаміки, таких як абсолютний приріст, темп зростання, темп приросту (базисні та ланцюгові), абсолютне значення 1 % приросту, середньорічний рівень неподаткових надходжень, середньорічний абсолютний приріст, темп зростання та темп приросту.

Виконаємо обчислення цих показників для неподаткових надходжень за і результати розрахунків представимо в таблиці.

168

169

Використовуючи відповідні формули розраховуємо ланцюговий та

базисний абсолютні прирости:

ланцюгові (для 2001 р. розрахувати немає можливості, оскільки відсутні значення для попереднього року – ланцюгових характеристик завжди буде на одне значення менше, ніж років у періоді, що досліджується):

2002 = у2002 - y2001 = 156 – 130 = + 26;2003 = у2003 - y2002 = 141 – 156 = - 15; і т. д.

базисні

2001 = y2001 - y2001 = 0;

2002 = у2002 - y2001 = 156 – 130 = + 26;2003 = у2003 - y2001 = 141 – 130 = +11 і т. д.

Використовуючи відповідні формули, розраховуємо ланцюговий та

базисний коефіцієнти К і темпи зростання Тр:

ланцюгові
К 2002= y2002 / y 2001 = 156 / 130 = 1,200 і		Тр2002 = 1,2×100 = 120,0 %;
К2003= y2003 /y 2002 =141 /156 = 0,904 і Тр2003 =0,904×100 =90,4% і т. д.
базисні
	К2001 = y2001 / y2001 = 1,0;
К2002 =	у2002 / y2001 = 156 / 130 = 1,200 і	Тр2002 = 1,2×100 = 120,0%; ;
К2003 = у2003 /y2001 = 141 /130 =1,085 і Тр2003		= 1,085×100 =108,5% і т. д.
Використовуючи відповідні формули, розраховуємо ланцюговий та
базисний темпи приросту:
ланцюгові	Тпр2002=120 –100 =+20%; Тпр2003 =90,4 –100 = – 9,6% і т.д.;
базисні	Тпр2002= 120 –100 =+20%; Тпр2003 = 108,5 – 100 =+8,5% і т.д.

Абсолютне значення 1 % приросту розраховуємо тільки ланцюговим методом:

А %2002 = +26 / +20 = 1,30 млн. грн. на 1 % приросту і т.д.

Це означає, що у 2002 році на кожний 1 % приросту припадало 1,3 млн. грн. неподаткових надходжень.

Результати обчислення показників динамічного ряду

		Неподатк	Абсолютний		Коефіцієнт		Темп		Абсолютне
		ові	приріст, млн.грн.		зростання		приросту, %		значення
	Рік	надход-							1 %
			ба-зис-	лан-	ба-	лан-	ба-	лан-
		ження,							приросту,
				цю-	зис-	цю-	зис-	цю-
		млн. грн.	ний						млн. грн..
				говий	ний	говий	ний	говий
	2001	130	0	–	1,000	–	0	–	–
	2002	156	+26	+26	1,200	1,200	+20,0	+20,0	1,30	(↑)

169

														170
2003		141		+11		-15	1,085	0,904		+8,5	-9,6		1,56	(↓)
2004		150		+20		+9	1,154	1,064		+15,4	+6,4		1,41	(↑)
2005		145		+15		-5	1,115	0,967		+11,5	-3,3		1,52	(↓)
	Далі розраховуємо:
	– середньорічний рівень неподаткових надходжень як середню
арифметичну просту
					130 156 141 150 145				722
			y			5			5	144,4млн.грн..

–середньорічний абсолютний приріст

	за базисними			або	за ланцюговими абсолютними приростами
145130						2615 9 5
	5 1		3,75 млн. грн.,			4	3,75 млн. грн.
	–	середньорічний коефіцієнт зростання обчислюють за формулою
середньої геометричної простої:
	за базисними				або	за ланцюговими абсолютними
	приростами

Kз 41,115 1,028; Kз 41,20,9041,0640,967 1,028;

– середньорічний темп приросту

Тпр (1,028 1) 100 2,8%, або Тпр 102,8 100 2,8%.

Таким чином, можна зробити висновки, що у 2001 році порівняно з 2000 роком неподаткові надходження зросли на 26 млн. грн., а у 2002 році порівняно з 2001 роком – зменшилися на 15 млн. грн. В цілому ж за період із 2001 по 2005 рік неподаткові надходження зросли на 15 млн. грн., або у 1,115 рази чи на +11,5 %. За цей же період часу середньорічні надходження становили 144,4 млн. грн., а середньорічний абсолютний приріст їх становив 3,75 млн. грн. Тобто, в середньому за рік обсяг неподаткових надходжень за період з 2001 до 2005 року зростав на 2,8 %.

Приклад 2

Використовуючи характеристики ряду динаміки, провести порівняльний аналізи динаміки заощаджень населення в двох регіонах країни за умовними даними, наведеними в таблиці:

	Роки	Заощадження населення, млн. грн.
		у регіоні А	у регіоні Б
	2001	815	631
	2002	849	657

170

171

2003	863	655
2004	870	646
2005	895	671

Розв’язання:

При необхідності порівняння характеристик паралельних рядів динаміки явищ, що одночасно розвиваються у часі, попередньо проводять приведення їх до однієї основи, для чого переводять абсолютні показники рівнів кожного ряду у відносні, прийнявши рівень якогось одного періоду за одиницю або за сто (за суттю при цьому розраховуються для кожного ряду базисні коефіцієнти або темпи росту). Представимо результати розрахунку в таблиці. (Для регіону Б зроблені аналогічні розрахунки).

Результати приведення до однієї основи показників динамічних рядів

	Заощадження населення
Роки	у регіоні А	у регіоні Б
	у % до 2001 року	у % до 2001 року
2001	815:815∙100=100,0	100,0
2002	849:815∙100=104,2	104,1
2003	863: 815∙100=105,9	103,8
2004	870: 815∙100=106,8	102,4
2005	895:815∙100=109,8	106,3

Отримані значення темпів росту свідчать про те , що при взятому за основу рівні 2001 року темпи зростання грошових заощаджень значно вищі в регіоні А, ніж у регіоні Б.

Але не завжди результати такі очевидні. Порівняльний аналіз в цілому за весь період часу можна зробити, визначивши середньорічні темпи зростання або приросту по кожному регіону і порівнявши їх,

тобто визначити коефіцієнт випередження.

Визначаємо для кожного регіону середньорічні темпи зростання, використовуючи відповідні формули:

Для регіону А:

k m k1 k2...km m km m yn = 4 1,098 1,024.

y0

TрA k 100% 1,024100 102,4%.

Аналогічний розрахунок виконуємо для регіону Б:

171

172

TрБ k 100% m km 100 41,063100 1,015100 101,5%.

У середньому за рік у регіоні А грошові заощадження населення зростали на 2,4 %, а у регіоні Б – на 1,5 %.

Розраховуємо коефіцієнт випередження, як співвідношення темпів приросту (або темпів росту):

KвА/ Б 21,,54 1,6.

Таким чином, грошові заощадження населення за період 2001 – 2006 р. р. у регіоні А порівняно із регіоном Б зростали у 1,6 рази швидше.

Бібліографічний список до практичного заняття : [ 5 - 11, 15 - 20 ]

Практичні заняття до теми 8: Виявлення і вимірювання тенденцій розвитку

Мета: Закріпити теоретичні знання та отримати практичні навички щодо використання різних методів визначення основної тенденції розвитку в рядах динаміки.

План заняття

1.Застосування ступінчастої та ковзної середніх для згладжування коливних рядів

2.Обґрунтування типу трендового рівняння, інтерпретація параметрів

3.Екстраполяція тренду

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Тенденція (тренд) являє собою напрям розвитку певного соціальноекономічного явища. В деяких випадках тенденцію можна встановити за значеннями рівнів ряду динаміки. Наприклад, якщо рівні постійно збільшуються, чи зменшуються. Основні тенденції – зростання чи зниження – можна поділити за їх характером. Характер основної тенденції має певне графічне зображення, його можна також встановити за

172

173

допомогою абсолютних ланцюгових приростів. Якщо абсолютні ланцюгові прирости мають додатні значення, динамічний ряд має тенденцію до зростання. Якщо абсолютні ланцюгові прирости мають від’ємні значення, динамічний ряд має тенденцію до зниження. Якщо абсолютні ланцюгові прирости мають однакові значення, то характер тенденції рівномірний (рівномірне зростання чи рівномірне зниження). Якщо кожен наступний ланцюговий приріст більше за попередній, то тенденція має прискорений характер. Якщо кожен наступний ланцюговий приріст менше за попередній, то тенденція має уповільнений характер.

Застосування ступінчастої та ковзної середніх для згладжування коливних рядів

До найбільш простих методів згладжування динамічних рядів належать методи ступінчастої середньої та плинної середньої. Метод ступінчастої середньої (укрупнення інтервалів) полягає в тому, що рівні первинного динамічного ряду поєднуються в збільшені інтервали і розраховуються середні в кожному зі створених інтервалів.

Наприклад, утворюється новий динамічний ряд, в якому окремі інтервали – це об’єднання трьох інтервалів первинного динамічного ряду.

В такому разі середня кожного укрупненого інтервалу розраховується так:

				+ у3) : 3
у1		= (у1	+ у2		(3.52)
				+ у6) : 3
у2		= (у4	+ у5		(3.53)
у3		= (у7	+ у8	+ у9) : 3 і т. д.	(3.54)

Суть методу середньої плинної полягає в тому, що середні обчислюються також за збільшеними інтервалами, але на відміну від попереднього методу здійснюється послідовне пересування меж збільшених інтервалів на один первинний інтервал до кінця динамічного

ряду. У такому разі середні інтервалів розраховуються за формулами:
			у1		= (у1	+ у2	+ у3) : 3	(3.55)
							+ у4) : 3
			у2		= (у2	+ у3		(3.56)
	у 3 = (у3 + у4 + у5) : 3 і т. д.							(3.57)

Якщо значення рівнів похідного (згладженого) динамічного ряду не дають можливості встановити чітку тенденцію, проводять нове згладжування, при цьому беруть ще більші інтервали. Слід зауважити, що для об’єднання беруться інтервали первинного динамічного ряду. Згладжування повторюють доти, доки не виявиться чітка тенденція, або коли не залишиться три укрупнених інтервали, оскільки подальше згладжування вже не має сенсу. Через дві точки завжди можна провести

173

174

лінію, але при цьому можна отримати результат, протилежний реальному стану.

Обґрунтування типу трендового рівняння, інтерпретація параметрів

Якщо згладжування ряду динаміки не дає можливості виявити тенденцію розвитку або її характер, то відповідь на це питання можна напевне одержати за допомогою аналітичного вирівнювання заданого (вихідного) динамічного ряду методом найменших квадратів.

Метод аналітичного вирівнювання дає змогу не лише виявити тенденцію розвитку, а й кількісно виміряти її.

Під аналітичним вирівнюванням ряду динаміки у статистиці розуміють побудову функції Y = f(t), яка аналітично виражає залежність значень ознаки Y від часу t. Такі функції, а також їх графіки називають трендовими кривими. За допомогою трендової кривої завжди можна виявити основну тенденцію розвитку явища, що вивчається, а також її характер.

Процес побудови трендової кривої складається з двох етапів:

вибір виду функції f(t)

обчислення параметрів функції f(t).

Вид функції f(t) можна встановити візуально за кореляційним полем з урахуванням економічної (фізичної тощо) суті явища, що вивчається.

Кореляційне поле являє собою координатну площину tOy із зображеними на ній точками з координатами (ti, yi).

На практиці при виборі виду тренду перевага звичайно віддається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст:

лінійна – у = a + bt – (a – середній початковий рівень ознаки, b

–середній абсолютний приріст)

квадратична, або параболічна – y = a + bt + ct 2 – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середня початкова швидкість зростання,

с– середній приріст швидкості зростання)

показникові – y = a·b t – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середній темп зростання).

Після вибору виду залежності її параметри обчислюються за методом найменших квадратів. Цей метод забезпечує такий вибір параметрів тренду, щоб мінімізувати суму квадратів відхилень фактичних значень рівнів ряду від теоретичних рівнів, що розраховані за відповідних значень t.

Найпростішою формулою, що відтворює тенденцію розвитку, є

лінійна функція:	a		at
y				(3.58)
t		0	1
Параметри a0 та		a1	згідно	методу найменших квадратів

знаходяться рішенням системи нормальних рівнянь:

174

		175
	a0n a1 t y
a0 t a1 t2 yt,		(3.59)

де y – фактичні рівні ряду

t – порядковий номер періоду або моменту часу.

Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Значення умовних періодів t залежать від того, парну чи непарну кількість рівнів має динамічний ряд.

Якщо число рівнів парне (наприклад, 6), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 3.10.

Таблиця 3.10

Значення параметра t у разі введення умовного нуля для парної кількості рівнів динамічного ряду

Фактичний період	1	2	3	4	5	6
Умовний період	– 5	– 3	– 1	1	3	5

Якщо число рівнів непарне (наприклад 7), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 3.11.

Оскільки мета введення умовного нуля – максимальне спрощення розрахунків, то відстані між сусідніми рівнями динамічного ряду з умовними періодами мають бути мінімальними, проте однаковими впродовж усього ряду. Таким чином, у разі парної кількості рівнів динамічного ряду відстані між будь-якими двома рівнями з умовними періодами дорівнюють двом; у разі непарної кількості рівнів динамічного ряду відстані між будь-якими двома рівнями з умовними періодами дорівнюють одиниці. Умовні періоди, розташовані ліворуч умовного нуля, набувають від’ємних значень, а ті, що розташовані праворуч – додатних.

Таблиця 3.11

Значення параметра t у разі введення умовного нуля для непарної кількості рівнів динамічного ряду

Фактичний період	1	2	3	4	5	6	7
Умовний період	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3

Незалежно від кількості рівнів у динамічному ряді з умовними періодами t = 0, а тому система нормальних рівнянь для лінійної моделі тренду матиме такий вигляд:

175

				176
	y na0
			.	(3.60)
yt a		t2
	1

Тоді параметри а0 та а1 для лінійної моделі тренду розраховуються за формулами:

a0	y	;	a1	yt
	n			2 .	(3.61)
				t

Якщо у трендовій моделі використовуються нелінійні функції, то вони приводяться до лінійного вигляду за допомогою певних математичних перетворень [13, с. 186 – 198; 16, с. 204 – 219]. Методика побудови трендових рівнянь за лінійною моделлю та моделлю квадратичної параболи наведена у прикладі 1 розв’язання типових задач до даної теми.

Елементи інтерполяції та екстраполяції на основі часових рядів

Зробити прогноз явища у означає обчислити значення ознаки Y на той майбутній період часу t, який нас цікавить. Очевидно, що будь-який прогноз може бути тільки наближеним і може вважатись реальним тільки за умови збереження у майбутньому тенденції розвитку явища та її характеру. Метод прогнозування на періоди за межами ряду динаміки (на майбутнє або за минулі періоди часу) називають екстраполяцією. Метод прогнозування на періоди пропущених періодів часу в середині ряду динаміки називають інтерполяцією.

Точковий прогноз здійснюється за допомогою екстраполяції трендової моделі, тобто прогнозоване значення явища обчислюється за встановленою формулою. При цьому слід мати на увазі той факт, що рівняння трендової кривої побудоване з використанням умовних періодів, а тому для визначення точкового прогнозу вводиться наступний період. Наприклад, якщо динамічний ряд містить шість періодів, то точкова оцінка розраховується для наступного, сьомого періоду (див. табл. 3.10) якщо динамічний ряд містить сім періодів, то точкова оцінка розраховується для наступного (умовного) четвертого періоду (див. табл. 3.11).

Інтервальний прогноз являє собою інтервал значень ознаки у, який із заданою ймовірністю покриває (або має покривати) справжнє значення. Інтервальна оцінка прогнозу, тобто довірчі межі, визначається з певною імовірністю

yt+ v ± t		sp,
де sp - похибка прогнозу; t -		довірче число для
імовірності; v - період упередження.
S S
	n 1 3(n 2v 1)2
p e		n	n(n2 1)

(3.62)

прийнятого рівня

(3.63)

176