Посібник-Практичні заняття-стат 2012
.pdf
153
випадку x > Me > Mo. Якщо вершина зміщена вправо, то це лівостороння асиметрія. В цьому випадку x < Me < Mo.
Асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямі або під впливом домінуючої причини розвитку, яка веде до зміщення центру розподілу. Очевидно, що в симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії A>0, при лівосторонній – A<0.
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Рис. 3.6 . Види розподілу:
– симетричний розподіл (Мо = Ме = х); – правостороння асиметрія (Мо > Ме > х);
– лівостороння асиметрія (Мо < Ме < х).
Найпростішою мірою асиметрії є відхилення від середньої арифметичної медіани чи моди. В симетричному розподілі характеристики центра мають однакові значення x = Мо = Ме в асиметричному – між ними існують певні розбіжності. Стандартизовані відхилення, які мають
назву коефіцієнта асиметрії, характеризують напрям та міру скошеності розподілу і розраховуються за формулами:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
x Me |
або A |
|
x Mo |
|
||||
|
|
|
; |
|
|
|
. |
(3.20) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Якщо має місце відхилення коефіцієнта асиметрії від нуля в той чи інший бік, то можна вести мову про більшу чи меншу асиметрію.
Вважають, що при |
|
A |
|
0,25 |
асиметрія низька |
при 0,25< |
|
A |
|
0,5 - |
|
|
|
|
помірна, або середня при A >0,5 - асиметрія висока.
Характеристики центру розподілу ґрунтуються на моментах розподілу. Момент розподілу – це середня k-го ступеня відхилень x a. Залежно від величини а моменти поділяють на первинні (а = 0), центральні a x і умовні (a = const). Ступінь k визначає порядок моменту. В загальному вигляді центральний момент k-го порядку розраховується за
формулою: |
|
|
|
M xi |
x k fі , |
(3.21) |
|
k |
fі |
|
|
|
|
|
|
153
154
де хі – значення окремої варіанти; x – середня арифметична;
k – ступінь моменту;
fi – частота окремої варіанти.
Для того, щоб характеристика скошеності не залежала від масштабу
вимірювання ознаки для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів, використовують стандартизований момент третього ступеня. В такому разі коефіцієнт асиметрії визначається за формулою:
|
M |
x |
x 3 f |
|
|
|
|
3 |
i |
i |
|
|
|
|
A 3 |
3 fi |
|
, |
(3.22) |
|
де М3 – центральний момент третього порядку; |
|
|||||
|
– середнє квадратичне відхилення. |
|
||||
Гостровершинність розподілу відображає скупченість значень ознаки навколо середньої величини та називається ексцесом. Для вимірювання ексцесу використовують коефіцієнт, побудований за допомогою стандартизованого моменту четвертого порядку, який розраховується за
формулою: |
|
|
x |
x 4 f |
|
|
|
E |
M |
|
|
|
|||
4 |
i |
i |
|
|
|||
4 |
4 fi |
|
, |
(3.23) |
|||
де М4 – центральний момент четвертого порядку.
Якщо Е = 3, то розподіл уважається нормальним, при E < 3 – плосковершинний, при E > 3 - розподіл має гостровершинну форму.
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Рис. 3.7. Види розподілу: |
|
|
|
|||||
− нормальний (Е = 3);
– гостровершинний (Е > 3);
– плосковершинний (Е < 3).
На практиці часто в одному розподілі поєднуються всі названі особливості, а саме: одновершинний розподіл може бути симетричним та гостровершинним, або плосковершинним з лівосторонньою асиметрією, або гостровершинним з правосторонньою асиметрією тощо.
Визначення характеристик концентрації, диференціації
154
155
та подібності розподілів
Процеси і явища в промисловому і сільськогосподарському виробництві, фінансовій та комерційній діяльності, демографічній, соціальній або політичній галузях, що вивчаються статистикою, як правило, характеризуються внутрішньою структурою, яка із часом може змінюватися. Динаміка структури викликає зміну внутрішнього змісту досліджуваних об’єктів і їх економічну інтерпретацію, приводить до змін встановлених причинно-наслідкових зв’язків. Тому вивчення структури і структурних зрушень займає дуже важливе місце в курсі статистики.
У статистиці під структурою розуміють сукупність одиниць, яким притаманна певна стійкість внутрішньо групових зв’язків при збереженні основних ознак, що характеризують цю сукупність як ціле.
Основні напрямки вивчення структури:
характеристика структурних зрушень окремих частин сукупності за два або більше періодів часу;
узагальнююча характеристика структурних зрушень в цілому по сукупності;
оцінка ступеня концентрації, локалізації та децильної диференціації [5, 6, 15, 19].
Оцінювання інтенсивності структурних зрушень
Визначення структурних зрушень окремих частин сукупності та узагальнюючих характеристик структурних зрушень в цілому по сукупності базується на відносних показниках структури (див. методичні рекомендації до практичних занять за темою №5), що являють собою співвідношення окремих частин і цілого. При цьому вони можуть бути представлені як частка (коефіцієнт) або питома вага (%). Як часткові, так і узагальнюючі показники структурних зрушень можуть відображати або “абсолютну” зміну структури у процентних пунктах чи долях одиниці, або її відносну зміну у процентах чи коефіцієнтах. “Абсолютна” зміна показана в лапках, тому що цей показник є абсолютним за методологією розрахунку, а не за суттю та одиницями виміру.
“Абсолютний” приріст питомої ваги і - ої частини сукупності показує на скільки процентних пунктів збільшилася (+) або зменшилася (-) ця структурна частина в j – ий період часу порівняно із (j – 1) періодом:
|
di dij dij 1, |
(3.24) |
де dij |
- питома вага (частка) і - ої частини сукупності в j – ий період часу; |
|
dij-1 |
- питома вага (частка) і - ої частини сукупності в (j – 1) період часу. |
|
|
Темп зростання питомої ваги ( відносна зміна) |
і - ої частини |
сукупності є співвідношенням :
155
|
|
|
|
|
|
156 |
|
Tp |
|
|
dij |
|
100,%. |
(3.25) |
|
di |
dij 1 |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
Темп зростання питомої ваги представляють у %, це завжди додатна величина. Але, якщо в сукупності мали місце якісь структурні зрушення, то частина темпів зростання буде більшою за 100%, а частина - меншою.
Якщо сукупність, що досліджується, представлена даними не за два, а за три і більше періодів, то з’являється необхідність у визначенні середніх показників структурних зрушень. Так, середній “абсолютний” приріст питомої ваги і - ої частини сукупності визначають як середню арифметичну просту із послідовно визначених абсолютних приростів за кожен період часу. При цьому слід пам'ятати, що сума середніх абсолютних приростів питомої ваги для всіх k структурних частин сукупності, так як і сума їх приростів за один часовий інтервал, завжди повинна дорівнювати нулю.
Середній темп зростання питомої ваги ( відносна зміна) і - ої частини сукупності за кілька періодів часу визначається за формулою середньої геометричної простої.
Узагальнюючими показниками структурних зрушень у випадках, коли виникає необхідність оцінити структурні зрушення у соціальноекономічному явищі в цілому за якісь окремі часові періоди або у кількох структур, що відносяться до окремих об’єктів за один і той же часовий період, є лінійний та квадратичний коефіцієнти “абсолютних” структурних зрушень, які визначають за формулами:
лінійний коефіцієнт “абсолютних” структурних зрушень
|
|
k |
|
dij dij 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d1 d0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
, |
(3.26) |
|
|
||||||||
|
|
|||||||
|
|
k |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
де k – кількість структурних частин сукупності;
dij - питома вага (частка) і - ої частини сукупності в j – ий період часу; d - питома вага (частка) і - ої частини сукупності в (j – 1) період часу.
квадратичний коефіцієнт “абсолютних” структурних зрушень
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k |
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|||||
σd d |
|
i 1 |
|
ij |
ij 1 |
. |
(3.27) |
||||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лінійний та квадратичний коефіцієнти “абсолютних” структурних зрушень (у процентних пунктах) дозволяють отримати зведену оцінку швидкості зміни питомої ваги окремих частин сукупності. Для зведеної характеристики інтенсивності зміни питомої ваги окремих частин сукупності використовують квадратичний коефіцієнт відносних
структурних зрушень:
156
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d d |
2 |
, |
(3.28) |
||||
|
k |
ij |
ij 1 |
||||||
σ |
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
dij 1 |
|
|
|
||||
d1/d0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||
Цей показник відображає той середній відносний приріст питомої ваги (у відсотках), який спостерігався за період, що досліджується.
Для зведеної оцінки структурних зрушень у досліджуваній сукупності в цілому за весь часовий інтервал, що охоплює кілька тижнів, місяців, кварталів чи років, найбільш доцільно використовувати лінійний коефіцієнт “абсолютних” структурних зрушень за n періодів (у
процентних пунктах):
|
|
|
k |
|
d d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
i 1 |
|
in i1 |
|
|
, |
(3.29) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
k(n 1) |
|
|
||||
d d |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де din - питома вага (частка) і - ої частини сукупності в останній період часу;
di1 - питома вага (частка) і - ої частини сукупності в 1 - ий період часу.
Цей показник може використовуватися як для порівняння динаміки двох і більше структур, так і для аналізу динаміки однієї і тієї ж структури за різні за тривалістю періоди часу.
При порівнянні структури одного об’єкта за двома ознаками або структур двох об’єктів розраховують коефіцієнт подібності (схожості)
структур: |
dk |
|
|
|
P 1 0,5 |
dj |
|
|
|
|
|
. |
(3.30) |
|
де dj та dk - питома вага (частка) складових частин |
j – ої і k- ої |
|||
сукупностей.
Якщо структури однакові, Р = 1. Чим більші відхилення структур, тим менше значення коефіцієнта Р.
Аналіз рівномірності розподілу за допомогою коефіцієнтів локалізації, концентрації, децильної диференціації
Ще однією особливістю аналізу структури сукупностей є оцінка рівномірності або нерівномірності розподілу за досліджуваною ознакою між окремими складовими сукупності (наприклад, розподіл доходів чи майна між окремими групами населення, житлової площі між окремими групами домогосподарств, прибутку між групами підприємств, розшарування населення за рівнем середньодушового доходу і т. ін.).
Ступінь нерівномірності розподілу досліджуваної ознаки, не пов’язаний ні з обсягом сукупності, ні з чисельністю окремих груп, називають концентрацією. При дослідженні нерівномірності розподілу досліджуваної ознаки за територією поняття “концентрація” замінюють поняттям “локалізація”. Централізація означає зосередженість (скупченість) обсягу ознаки у окремих одиниць (наприклад, капіталу в
157
158
окремих комерційних банках, продукції якогось виду на окремих підприємствах і т. ін.).
Оцінка нерівномірності розподілу між окремими складовими сукупності ґрунтується на порівнянні часток двох розподілів – за кількістю елементів сукупності di і обсягом значень ознаки Di.. Якщо розподіл значень ознаки рівномірний, то di = Di, а відхилення часток свідчать про певну нерівномірність, яка вимірюється коефіцієнтами локалізації та концентрації.
Коефіцієнт локалізації визначається для кожної складової
сукупності за формулою: |
|
|
|
L |
Di |
100,. |
(3.31) |
|
|||
i |
d |
|
|
|
i |
|
|
де di - частка i-ої групи розподілу за кількістю елементів сукупності; Di - частка i-ої групи розподілу за обсягом значень ознаки..
Коефіцієнт концентрації (коефіцієнт Лоренца) є узагальнюючою для сукупності характеристикою відхилення розподілу від рівномірного і визначається за формулою:
k
di Di
K i 1 . (3.32)
2
Чим ближче значення цього показника до 1 (100%), тим вищий рівень концентрації, при значенні К=0 розподіл ознаки за всіма одиницями сукупності є рівномірним. При визначенні цього коефіцієнта можна оперувати як частками одиниці, так і відсотками. Порівняння структур на основі відхилень часток дозволяє вимірювати диференціацію сукупності за даними інтервальних рядів із нерівними інтервалами та атрибутивних рядів розподілу.
Оцінка рівня концентрації при вивченні економічних явищ дуже часто здійснюється по кривій концентрації Лоренца. Для її побудови необхідно мати частотний розподіл одиниць досліджуваної сукупності та відповідний до нього частотний розподіл ознаки, що вивчається. При цьому для зручності розрахунків і підвищення рівня аналітичності даних одиниці сукупності, як правило, розбиваються на рівні групи – 10 груп по 10% одиниць в кожній групі, або – 5 груп по 20% одиниць і т.д.
Найбільш відомим показником концентрації є коефіцієнт Джині, який зазвичай використовують для вимірювання диференціації або соціального розшарування. У загальному вигляді його розраховують за формулою:
k |
|
k |
|
D , |
|
G 1 2 d |
Dн d |
(3.33) |
|||
i 1 |
i |
i i 1 |
i |
i |
|
де di - частка i-ої групи розподілу за кількістю елементів сукупності; Di - частка i-ої групи розподілу за обсягом значень ознаки;
Dні – накопичена частка i-ої групи розподілу за обсягом значень ознаки..
158
159
Коефіцієнт Джині змінюється в тих же межах, що і коефіцієнт Лоренца.
Мірою оцінки розшарування |
сукупності слугує також коефіцієнт |
децильної диференціації. Децилі |
– це варіанти, які ділять обсяги |
сукупності на десять рівних частин. Існує дев’ять децилів, що |
|
визначаються за формулою, яка в загальному вигляді має таке вираження: |
|||
Dei xDei hDei |
0,1i fi SDei 1 |
|
|
|
, |
(3.34) |
|
|
fDei |
|
|
де і – порядковий номер дециля; xDe i – нижня межа і-го дециля;
h De i – ширина інтервалу, де розташований і-й дециль;fi – сума всіх частот сукупності;
SDe i – 1 – сума накопичених частот до інтервалу, де розташований і-й дециль; fDe i – частота інтервалу, де розташований і-й дециль.
Тоді коефіцієнт децильної диференціації, що є відношенням розмірів дев’ятого і першого дециля (наприклад, відношення мінімального середньодушового доходу 10% найбагатшого населення до максимального середньодушового доходу 10% найменш забезпеченого населення),
дорівнює: |
D9 |
|
|
D9 |
|
|
|
V |
, або |
V |
·100 %, |
(3.35) |
|||
D |
D |
||||||
D |
|
D |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
де D9 – дев’ятий дециль |
|
|
|
|
|||
D1 – перший дециль. |
|
|
|
|
|||
Задачі для розв’язання
Задача 1
Визначити моду та медіану ціни книг, що продаються на книжковому базарі, аналітичним та графічним методами, за наведеними у таблиці даними (дані умовні). Зробити висновки.
Ціна, грн. |
до 30 |
30 - 50 |
50 - 70 |
70 - 90 |
90 і |
Разом |
|
більше |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Обсяг, шт. |
65 |
220 |
180 |
98 |
27 |
590 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2
Розподіл жіночого взуття в магазині за його ціною (дані умовні), наведений у таблиці:
159
|
|
|
|
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ціна, грн. |
до 300 |
300-400 |
400-500 |
500-600 |
600 |
і |
Разом |
|
більше |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Кількість, |
30 |
150 |
80 |
40 |
20 |
|
320 |
|
пар |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Визначити моду, медіану та квартилі аналітичним та графічним методами. Зробити висновки.
Завдання 3
Інформація щодо розподілу комплектів посуду на складі магазину за їх ціною наведена в таблиці:
Ціна, грн. |
10-50 |
50-100 |
100-150 |
150-200 |
200-250 |
Разом |
Обсяг, шт. |
150 |
120 |
120 |
100 |
60 |
550 |
Визначити моду, медіану та 1 і 9 децилі аналітичним та графічним методами. Зробити висновки.
Задача 4
Оцінити розмах варіації ціни порцелянових виробів, що продаються у крамниці, загальну дисперсію та дисперсію частки виробів, ціна яких перевищує 500 грн., за наведеними в таблиці умовними даними:
Ціна, грн. |
100-150 |
150-300 |
300-500 |
500-800 |
800-2000 |
Разом |
|
|
|
|
|
|
|
Обсяг, шт. |
28 |
25 |
42 |
15 |
5 |
115 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5
Розподіл працівників підприємства за віком наведений у таблиці. Розрахувати такі показники варіації: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення віку робітників, лінійний та квадратичний коефіцієнти варіації. Зробити висновки щодо однорідності сукупності. Визначити дисперсію для працівників, вік яких менший за 30 р.
Оцінити форму розподілу на асиметричність та плосковершинність. Зробити висновки.
Вік |
до 20 |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
50 і більше |
Разом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число робітників, |
15 |
55 |
60 |
50 |
40 |
220 |
|
осіб |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Задача 6
Використовуючи ряд розподілу автомобілів автопідприємства за величиною добового пробігу, проаналізувати сукупність на однорідність, форму розподілу на асиметричність та плосковершинність. Визначити
160
161
дисперсію для автомобілів, добовий пробіг яких перевищує180 км. Зробити висновки.
Добовий пробіг |
до 160 |
160-180 |
180-200 |
200 |
і |
Разом |
|
автомобіля, км |
більше |
||||||
|
|
|
|
||||
Всього |
20 |
28 |
36 |
16 |
|
100 |
|
автомобілів |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7
Результати обстеження 100 сімей, які перебувають у шлюбі 10 років, на наявність та кількість дітей наведені у таблиці:
Число дітей |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Разом |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число сімей |
12 |
38 |
26 |
15 |
8 |
1 |
100 |
Визначити загальну дисперсію кількості дітей у сім’ї та проаналізувати наведену сукупність на однорідність. Проаналізувати форму розподілу на асиметричність і плосковершинність. Визначити дисперсію для частки сімей, в яких троє і більше дітей. Зробити висновки.
Задача 8
Є дані щодо розподілу сімей за їх розміром, які наведені в таблиці.
Число членів |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Разом |
|
сім’ї |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Число сімей |
2 |
7 |
23 |
15 |
3 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначити загальну дисперсію двома способами. Проаналізувати сукупність на однорідність та оцінити форму розподілу на асиметричність та плосковершинність. Зробити висновки.
Задача 9
За наведеними даними про віковий розподіл автомобільного парку регіону (дані умовні), визначити структурні зрушення та оцінити їх інтенсивність для кожного типу рухомого складу за допомогою лінійного та квадратичного коефіцієнтів структурних зрушень; провести порівняльний аналіз; зробити висновки.
Вікова група |
Вантажні автомобілі, од. |
Автобуси, од. |
||
автомобілів (років) |
2000 р. |
2010 р. |
2000 р. |
2010 р. |
до 5 |
300 |
800 |
100 |
450 |
5 – 10 |
300 |
600 |
125 |
350 |
10 – 15 |
450 |
750 |
360 |
250 |
більше 15 |
450 |
350 |
315 |
200 |
Разом |
1500 |
2500 |
900 |
1250 |
161
162
Задача 10
Розподіл обсягів продаж взуття в магазині (дані умовні) наведений у таблиці: Оцініть інтенсивність структурних зрушень за допомогою лінійного коефіцієнту. Проведіть порівняльний аналіз структур за окремі періоди часу і в цілому за весь час. Зробіть висновки.
Тип взуття |
|
Питома вага, % до підсумку |
||
2007 рік |
|
2009 рік |
2011 рік |
|
|
|
|||
Жіноче |
40 |
|
30 |
50 |
Чоловіче |
35 |
|
45 |
30 |
Дитяче |
25 |
|
25 |
20 |
Разом |
100 |
|
100 |
100 |
Задача 11
Розподіл працівників підприємства за віком наведений у таблиці. Оцінити ступінь концентрації фонду заробітної плати робітників. Зробити висновки.
Вік |
робітників, |
Частка, % до підсумку |
||
років |
|
Кількість робітників |
Фонд заробітної плати |
|
До 20 років |
5,8 |
3,2 |
||
20 |
– 30 |
|
25,2 |
21,4 |
30 |
– 45 |
|
44,6 |
51,6 |
45 |
і старші |
24,4 |
23,8 |
|
Разом |
|
100,0 |
100,0 |
|
Задача 12
Використовуючи ряд розподілу автомобілів автопідприємства за величиною добового пробігу, зробити порівняльний аналіз структури автомобілів за інтенсивністю експлуатації. Зробити висновки.
Добовий |
пробіг |
до 160 |
160 - 180 |
180-200 |
200 |
і |
Разом |
автомобіля, км |
|
більше |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Всього автомобілів, у % до |
|
|
|
|
|
|
|
підсумка |
|
|
|
|
|
|
|
-на підприємстві А |
|
12 |
28 |
36 |
24 |
|
100 |
- на підприємстві В |
|
5 |
15 |
36 |
44 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ситуаційне завдання 1
Виникла необхідність проаналізувати забезпеченість магазинів одного із районів міста торгівельними площами. Були зібрані дані про розмір торгівельних площ магазинів міста (м²), що представлені далі у таблиці.
162