§5. Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1. Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2. Точки разрыва. (Если они имеются).

3. Интервалы возрастания и убывания.

4. Точки максимума и минимума.

5. Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6. Области выпуклости и вогнутости.

7. Точки перегиба.(Если они имеются).

8. Асимптоты.(Если они имеются).

9. Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример.Исследовать функциюи построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определенияфункции является область (-¥; -1)È(-1; 1)È(1;¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотамикривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥;¥).

Точками разрывафункции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x= 0;x= -;x= ;x= -1;x= 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥<x< -,y¢¢< 0, кривая выпуклая

-<x< -1,y¢¢< 0, кривая выпуклая

-1 < x< 0,y¢¢> 0, кривая вогнутая

0 < x< 1,y¢¢< 0, кривая выпуклая

1 < x< ,y¢¢> 0, кривая вогнутая

<x<¥,y¢¢> 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания иубыванияфункции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥<x< -,y¢> 0, функция возрастает

-<x< -1,y¢< 0, функция убывает

-1 < x< 0,y¢< 0, функция убывает

0 < x< 1,y¢< 0, функция убывает

1 < x< ,y¢< 0, функция убывает

<x<¥,y¢¢> 0, функция возрастает

Видно, что точка х = -является точкоймаксимума, а точка х = является точкойминимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3/2 и 3/2.

Про вертикальные асимптотыбыло уже сказано выше. Теперь найдемнаклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y=x.

Построим графикфункции:

§ 5. Применение производной в экономике

5.1 Предельные микроэкономические показатели.

Рассмотрим однофакторную или одноресурсную, производственную функцию у=f(х), которая представляет собой зависимость объёма производимой продукции от объёма затраченного ресурса х. Часто этот ресурс – это количество живого человеческого труда, выраженного в человеко-часах или числе работников. Пусть в некоторый момент времени число работников фирмы равноа. Возникает вопрос о целесообразности принятия на работу ещё одного рабочего т. е оценить разностьf(а+Δа)-f(а), при Δа=1. Обычно производственные функции дифференцируемы, так что f(а+1)-f(а) ≈ f´(а). Еслиа велико, то это равенство довольно точное. Тогдаf´(а)- добавочная продукция, производимая новым сотрудником. ПустьС – цена единицы продукции, ар зарплата работника. Тогда, еслиСּf´(а) > р, то надо нанять ещё одного сотрудника, т. к. он принесёт фирме больше, чем она ему заплатит. Это золотое правило экономики(оно имеет универсальный характер.)

В экономике производную производственной функции называют предельной производительностью труда(при размере фирмыа), она приблизительно показывает на сколько увеличится объём выпускаемой продукции, если нанять ещё одного работника.

Рассмотрим некоторые экономические функции и определим экономический смысл их предельных величин (т. е. производных).

Функция спроса

D= D (р) – зависимость спросаD на некоторый товар от его ценыр.D´(р) показывает приблизительно увеличение спроса при увеличении цены на 1 единицу. ПосколькуD(р)– функция убывающая, то абсолютное значение производнойD´(р) показывает уменьшение спроса со стороны покупателей на товар при повышении его цены на единицу.

Функция предложения

S=S(р)– зависимость предложения некоторого товара от его ценыр.S´(р)показывает на сколько приблизительно увеличится предложение товара со стороны продавцов (производителей) при увеличении цены на 1 единицу.

Функция полезности

U(х)-субъективная числовая оценка полезности данным индивидом количества товарахдля него.U´(х)показывает приблизительную оценку дополнительной полезности от приобретения ещё одной единицы товара.U´(х)=М U(х)– предельная полезность.

Налоговая ставка

Зависимость налога Nв процентах от величины годового доходаQ:N=N(Q). ПустьP– само значение налога, которое надо платить с годового доходаQ.ТогдаP´(Q)= N

5.2 Эластичность функции и её свойства.

Производная функции у=f(х) даёт величину мгновенного изменения функцииупри значении аргументах.В экономике часто удобно знать: на сколько процентов изменится значение функцииу, если аргумент изменится на 1%. Для этого вводится понятие «эластичность функции» илиотносительная производная.

Рассмотрим функцию у=f(х). Пусть Δх – приращение аргумента, Δf(х) – соответствующее приращение функции. Тогда Δх/х относительное изменение аргумента, Δf(х)/f(х)- относительное изменение функции. Величина Δf(х)/f(х): Δх/х, т.е отношение относительного изменения функции к относительному изменению аргумента называетсясредней эластичностью функцииf(х)по аргументух на отрезке [х,х+Δх], а предел этого отношения при Δх→0 называетсяэластичностью функцииупо аргументу в точкехи обозначаетсяЕ_х^у т. е.

(1)